自動(dòng)控制原理第5章 頻率響應(yīng)法.ppt

第5章頻域分析法 自動(dòng)控制原理 普通高等教育 十一五 國家級(jí)規(guī)劃教材 機(jī)械工業(yè)出版社 自動(dòng)控制原理 2 5 1概述5 2頻率特性的基本概念5 3頻率特性的圖示方法5 4頻域穩(wěn)定性判據(jù)5 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度5 6控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性5 7頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 第5章頻域分析法 本章將討論頻率特性的基本概念 典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)間的聯(lián)系等 自動(dòng)控制原理 3 5 1概述 頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種圖解方法 頻率特性和傳遞函數(shù)一樣 可以用來表示線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性 建立在頻率特性基礎(chǔ)上的分析控制系統(tǒng)的頻域法彌補(bǔ)了時(shí)域分析法中存在的不足 因而獲得了廣泛的應(yīng)用 所謂頻率特性 是指在正弦輸入信號(hào)的作用下 線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 自動(dòng)控制原理 4 5 2頻率特性 5 2 1頻率特性的基本概念 首先以圖RC網(wǎng)絡(luò)為例 說明頻率特性的概念 RC網(wǎng)絡(luò)的輸入和輸出的關(guān)系可由下面微分方程描述 式中 T RC為時(shí)間常數(shù) 網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為 自動(dòng)控制原理 5 設(shè)輸入是一個(gè)正弦信號(hào) 即 可得 取拉普拉斯反變換 得輸出信號(hào) 式中第一項(xiàng)為輸出的瞬態(tài)分量 第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量 隨著t趨于無窮大 瞬態(tài)分量趨于零 于是 自動(dòng)控制原理 6 如果取s j代入 則 該式能完全描述RC網(wǎng)絡(luò)在正弦函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相位隨輸入頻率變化的情況 因此 將1 jwT 1 稱做該RC網(wǎng)絡(luò)的頻率特性 表列出了RC網(wǎng)絡(luò)幅頻特性和相頻特性的計(jì)算數(shù)據(jù) 自動(dòng)控制原理 7 根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如下 自動(dòng)控制原理 8 5 2 2頻率特性的求取 假定輸入信號(hào)r t 為 一般線性定常系統(tǒng)輸入 輸出關(guān)系如圖所示 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 自動(dòng)控制原理 9 n m 式中 z1 z2 zm是傳遞函數(shù)G s 的零點(diǎn) s1 s2 sn是傳遞函數(shù)G s 的極點(diǎn) 這些極點(diǎn)可能是實(shí)數(shù) 也可能是共軛復(fù)數(shù) 但對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)來說 它們都具有負(fù)實(shí)部 系統(tǒng)輸出c t 的拉普拉斯變換為 C s G s R s 自動(dòng)控制原理 10 展成部分分式為 對(duì)式進(jìn)行拉普拉斯反變換 可得系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)r t 的響應(yīng)為 即 自動(dòng)控制原理 11 通過上述分析 得到頻率特性的定義 即 系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性 就稱為頻率特性 一般記為 它包含了兩部分內(nèi)容 幅值比是依賴于角頻率w的函數(shù) G jw 稱為系統(tǒng)的幅頻特性 穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)對(duì)正弦輸入信號(hào)的相移 稱為系統(tǒng)的相頻特性 系統(tǒng)的頻率特性G jw 可以通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G s 來求取 即 這里的結(jié)論同RC網(wǎng)絡(luò)討論的結(jié)果是一致的 自動(dòng)控制原理 12 5 3頻率特性的圖示方法 頻域分析法是一種圖解方法 采用頻域法分析閉環(huán)系統(tǒng)的特性時(shí) 通常需畫出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線 頻率特性的圖示方法主要有三種 即極坐標(biāo)圖 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)幅相圖 現(xiàn)分述如下 5 3 1極坐標(biāo)圖 頻率特性G jw 是頻率w的復(fù)變函數(shù) 其模 G jw 與相角 G jw 可以在復(fù)平面上用一個(gè)矢量來表示 當(dāng)頻率w從 變化時(shí) 矢量端點(diǎn)的軌跡就表示頻率特性的極坐標(biāo)圖 極坐標(biāo)圖又稱幅相圖或奈魁斯特 Nyquist 圖 在極坐標(biāo)圖上 規(guī)定矢量與實(shí)軸正方向的夾角為頻率特性的相位角 且按逆時(shí)針方向?yàn)檎M(jìn)行計(jì)算 自動(dòng)控制原理 13 1 典型環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖 1 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性都是常量 分別等于K及0 不隨頻率w而變化 2 積分環(huán)節(jié) 當(dāng)w由零趨向無窮大時(shí) 幅頻特性則由 逐漸減少到0 而相位總是 90 因此積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)曲線是沿復(fù)平面中虛軸下半部變化的直線 如圖5 5所示 積分環(huán)節(jié)是相位滯后環(huán)節(jié) 它的低通性能好 3 慣性環(huán)節(jié) 表5 2慣性環(huán)節(jié)在幾個(gè)特定頻率下的幅值與相角 自動(dòng)控制原理 14 可以證明 圖5 6中的頻率特性曲線是一半圓 圓心在實(shí)軸上的0 5K處 半徑R 0 5K 設(shè) 配方后可得 所以 在復(fù)平面上G jw 為一圓心在 K 2 0 點(diǎn) 半徑為K 2的半圓 如圖下半部分所示 當(dāng) w 0時(shí) 因?yàn)镚 jw 與G jw 互為共軛關(guān)系 關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱 即如上半圓所示 自動(dòng)控制原理 15 4 一階微分環(huán)節(jié) 5 振蕩環(huán)節(jié) 6 延滯環(huán)節(jié) 2 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖 如果某環(huán)節(jié)在右半s平面有極點(diǎn) 則稱該環(huán)節(jié)為不穩(wěn)定環(huán)節(jié) 不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的幅頻特性表達(dá)式與穩(wěn)定環(huán)節(jié)完全相同 但相頻特性卻有較大差別 自動(dòng)控制原理 16 對(duì)于G1 jw 當(dāng)w 0時(shí) G1 j0 K 180 當(dāng)w 時(shí) G1 j 0 90 對(duì)于G2 jw 當(dāng)w 0時(shí) G2 j0 K 0 當(dāng)w 時(shí) G2 j 0 90 分析0 w 中間過程的幅值和相角所在的象限 畫出頻率特性的極坐標(biāo)曲線如圖所示 自動(dòng)控制原理 17 3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由一系列典型環(huán)節(jié)組成的 因此 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積 即 若寫成極坐標(biāo)形式 為 5 23 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性可根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)頻率特性的模及相角公式 令w從0 變化 按照 幅值相乘 相角相加 的原則進(jìn)行計(jì)算 從而繪制極坐標(biāo)圖 自動(dòng)控制原理 18 解開環(huán)頻率特性 確定極坐標(biāo)曲線的起始點(diǎn)和終止點(diǎn) 當(dāng)w 0時(shí) G jw 1 0 當(dāng)w 時(shí) 如果 T 則 G jw 0 極坐標(biāo)曲線在第 象限變化 如果 T 則 G jw 0 極坐標(biāo)曲線在第 象限變化 如圖5 12所示 自動(dòng)控制原理 19 5 3 2對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 通過半對(duì)數(shù)坐標(biāo)分別表示幅頻特性和相頻特性的圖形 稱為對(duì)數(shù)坐稱圖或波德 Bode 圖 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖在頻率法中應(yīng)用最為廣泛 它的主要優(yōu)點(diǎn)是 利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可以將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算 可以擴(kuò)大所表示的頻率范圍 而又不降低低頻段的準(zhǔn)確度 可以用漸近線特性繪制近似的對(duì)數(shù)頻率特性 從而使頻率特性的繪制過程大大簡化 1 對(duì)數(shù)坐標(biāo)對(duì)數(shù)頻率特性曲線由對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性兩部分組成 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性的橫坐標(biāo)都是頻率w 采用對(duì)數(shù)分度 單位為弧度 秒 rad s 對(duì)數(shù)幅頻特性的縱坐標(biāo)表示幅值比的對(duì)數(shù)值 定義為L w 20lg G jw 5 26 采用線性分度 單位是分貝 用字母dB表示 對(duì)數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)表示相位差j G jw 采用線性分度 單位是度 自動(dòng)控制原理 20 對(duì)數(shù)頻率特性的坐標(biāo)如圖所示 在對(duì)數(shù)分度的橫坐標(biāo)中 當(dāng)變量增大或減小10倍 稱為十倍頻程 dec 坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長度 此外 零頻率不能表示在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中 自動(dòng)控制原理 21 2 典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線 1 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性函數(shù)為G jw K 0 K 0 由于幅值和相角都不隨頻率w變化 所以 對(duì)數(shù)幅頻特性是一條平行于橫軸且縱坐標(biāo)值為20lg G jw 20lgK dB 的直線 對(duì)數(shù)相頻特性恒為0 自動(dòng)控制原理 22 1 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 2 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 2 積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié) 自動(dòng)控制原理 23 3 慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié) 1 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 2 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 自動(dòng)控制原理 24 4 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其頻率特性為 自動(dòng)控制原理 25 用兩條漸近線近似表示振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線也將產(chǎn)生誤差 誤差最大值發(fā)生在振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率w wn處 誤差的表達(dá)式為 自動(dòng)控制原理 26 5 延滯環(huán)節(jié)延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性分別為 對(duì)數(shù)幅頻特性是一條0dB的直線 而相頻特性隨w增加迅速下降 如圖 自動(dòng)控制原理 27 3 系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線 因?yàn)橄到y(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是若干個(gè)典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積 所以對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性可分別表示為 在繪制對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖時(shí) 幅值的乘法運(yùn)算變成了加法運(yùn)算 自動(dòng)控制原理 28 繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般步驟和方法歸納如下 1 寫出以時(shí)間常數(shù)表示 以典型環(huán)節(jié)頻率特性連乘積形式的開環(huán)頻率特性 2 求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率 并從小到大依次標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的橫坐標(biāo)上 3 計(jì)算20lgK的分貝值 其中K是系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù) 過w 1 20lgK這一點(diǎn)做斜率為 20vdB dec的直線 此即為低頻段的漸近線 其中v是開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù) 4 繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的其它漸近線 5 給出不同w值 計(jì)算對(duì)應(yīng)的 i 再進(jìn)行代數(shù)相加 畫出系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性曲線 自動(dòng)控制原理 29 例5 6某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下 試?yán)L制其對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 解首先將傳遞函數(shù)改寫為用時(shí)間常數(shù)表示的形式 其頻率特性為 求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率如下 對(duì)于慣性環(huán)節(jié) 由wT 1 得轉(zhuǎn)角頻率w 1 T 本題的轉(zhuǎn)角頻率分別為0 5 2和8 并將它們依次標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上 自動(dòng)控制原理 30 具有相同幅頻特性的系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小 最小相位名稱由此得 例如 如果兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 和 則圖中分別表示了這兩個(gè)系統(tǒng)的相頻特性 而它們的幅頻特性是相同的 4 最小相位系統(tǒng) 如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在復(fù)平面s的右半面既沒有極點(diǎn) 也沒有零點(diǎn) 則稱該傳遞函數(shù)為最小相位傳遞函數(shù) 具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng) 反之 則稱為非最小相位系統(tǒng) 自動(dòng)控制原理 31 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性之間有著確定的單值關(guān)系 也就是說 如果系統(tǒng)的幅頻特性已定 那么這個(gè)系統(tǒng)的相頻特性也就唯一地被確定了 反之亦然 然而 對(duì)于非最小相位系統(tǒng)而言 上述關(guān)系是不成立的 判斷已經(jīng)畫出的對(duì)數(shù)頻率特性是否為最小相位系統(tǒng) 既要檢查對(duì)數(shù)幅頻特性曲線高頻漸近線的斜率 也要檢查當(dāng)w時(shí)的相角 若w時(shí)幅頻特性的斜率為 20 n m dB dec 其中n m分別為傳遞函數(shù)中分母 分子多項(xiàng)式的階數(shù) 而相角等于 90 n m 則是最小相位系統(tǒng) 否則就不是 對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng) 因?yàn)樗膫鬟f函數(shù)在s平面的右半面有極點(diǎn)而屬于非最小相位系統(tǒng) 為了統(tǒng)一起見 以后凡是沒有特殊說明 一般都是指最小相位系統(tǒng)而言 對(duì)于這類系統(tǒng)有時(shí)可以不必繪制它的對(duì)數(shù)相頻特性曲線 自動(dòng)控制原理 32 例5 7某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示 試確定其傳遞函數(shù) 解設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為 因?yàn)?所以K 10 因此 所求開環(huán)傳遞函數(shù) 自動(dòng)控制原理 33 5 3 3對(duì)數(shù)幅相圖 對(duì)數(shù)幅相圖是將對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的幅頻特性與相頻特性繪制到一張圖上來表示系統(tǒng)頻率特性的圖形 也稱為尼柯爾斯 Nichols 圖 對(duì)數(shù)幅相圖是直角坐標(biāo)圖 橫坐標(biāo)為相位差j 單位是度 縱坐標(biāo)是幅值比的對(duì)數(shù)值L w 20lg G jw 單位是分貝 dB 曲線上的每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)固定的頻率 因此 對(duì)數(shù)幅相圖可以通過對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖容易地畫出來 例如 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為 當(dāng)w 0時(shí) L w 0dB j 0 曲線起始于坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng)w 1 T時(shí) L w 3dB j 45 自動(dòng)控制原理 34 5 4頻域穩(wěn)定性判據(jù) 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)無需求取閉環(huán)特征根 可根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定 并能指出系統(tǒng)不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù) 在實(shí)際中得到了廣泛地應(yīng)用 奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的映射定理 又稱幅角定理 5 4 1映射定理 假設(shè)復(fù)變函數(shù)F s 是s的單值解析函數(shù) 那么對(duì)于s平面上的任一點(diǎn) 在F s 平面上必定有一個(gè)對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn) 設(shè)s為一復(fù)數(shù)變量 F s 是s的有理分式函數(shù) 設(shè)其形式為 自動(dòng)控制原理 35 復(fù)變函數(shù)F s 的幅角可表示為 假定在s平面上的封閉曲線 s包圍了F s 的一個(gè)零點(diǎn) z1 而其它零 極點(diǎn)都位于封閉曲線之外 則當(dāng)變點(diǎn)s沿著s平面上的封閉曲線 s順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí) 向量 s z1 的幅角的增量 s z1 2p弧度 而其它各向量的幅角增量為零 這時(shí) 函數(shù)F s 幅角的增量為 如果在s平面畫一條封閉曲線 并使其不通過F s 的任一奇點(diǎn) 則在F s 平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線 自動(dòng)控制原理 36 這意味著在F s 平面上的映射曲線 F沿順時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)變化一周 即F s 的幅角變化了 2p弧度 如圖所示 同理 若s平面上的封閉曲線 s包圍F s 的Z個(gè)零點(diǎn) 則在F s 平面上的映射曲線 F將按順時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)變化Z周 用類似分析方法可以推論 若s平面上的封閉曲線 s包圍F s 的P個(gè)極點(diǎn) 則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線 s順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí) 在F s 平面上的映射曲線 F將按逆時(shí)針方向圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)變化P周 綜上所述 可歸納如下 如果s平面上的封閉曲線以順時(shí)針方向包圍函數(shù)F s 的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn) 則F s 平面上的映射曲線 F相應(yīng)地包圍坐標(biāo)原點(diǎn)N次 且 Z P若 P N為正值 包圍方向?yàn)轫槙r(shí)針 若 P N為負(fù)值 包圍方向?yàn)槟鏁r(shí)針 自動(dòng)控制原理 37 5 4 2奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的特征根都具有負(fù)實(shí)部 或均不在右半s平面 奈魁斯特通過映射定理把s平面上的這一穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)換到頻率特性平面 從而形成了在頻率域內(nèi)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則 1 復(fù)變函數(shù)F s 的選擇設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 開環(huán)傳遞函數(shù)G s H s 一般為兩個(gè)多項(xiàng)式之比 為 閉環(huán)傳遞函數(shù) 則閉環(huán)特征式 自動(dòng)控制原理 38 考慮到開環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪m均小于分母的最高次冪n 故復(fù)變函數(shù)F s 的分子和分母兩個(gè)多項(xiàng)式的階次是相同的 因此 F s 可改寫為 特征函數(shù)F s 具有如下特點(diǎn) F s 的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn) F s 的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同 F s 和G s H s 只差常數(shù)1 因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件為使特征函數(shù)F s 的零點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部 或者說F s 的所有零點(diǎn)都不在s平面的右半平面內(nèi)即可 自動(dòng)控制原理 39 2 封閉曲線 s的選擇及奈氏判據(jù) 為了將幅角定理應(yīng)用于頻率域判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 選取s平面上的封閉曲線 s使之包圍整個(gè)s右半平面 該封閉曲線由整個(gè)虛軸 從s j 到s j 和右半平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構(gòu)成 這一封閉曲線通常稱作奈魁斯特軌跡 其方向?yàn)轫槙r(shí)針 如圖所示 因此 在右半s平面內(nèi)是否包圍F s 的零點(diǎn)和極點(diǎn)的問題 也就歸結(jié)為在奈魁斯特軌跡內(nèi)是否包圍F s 的零點(diǎn)和極點(diǎn)的問題 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 不通過 1 j0 點(diǎn) 且逆時(shí)針包圍 1 j0 點(diǎn)的周數(shù)N等于開環(huán)傳遞函數(shù)正實(shí)部根的個(gè)數(shù)P 即N P 自動(dòng)控制原理 40 關(guān)于奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)有如下說明 對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng) 即P G s H s 在右半s平面無極點(diǎn) 當(dāng)且僅當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 不通過也不包圍 1 j0 點(diǎn) 即N 0時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng) 即P 0 G s H s 在右半s平面含有P個(gè)極點(diǎn) 當(dāng)且僅當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 逆時(shí)針包圍 1 j0 點(diǎn)P周 即N P時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 如果N P 則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)為Z N P 當(dāng)開環(huán)頻率特性曲線G jw H jw 通過 1 j0 點(diǎn)時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 自動(dòng)控制原理 41 例5 8某系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的正頻段如圖中的實(shí)線所示 并已知其開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半部 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定 所以P 0 補(bǔ)畫頻率特性的負(fù)頻段 如圖中的虛線所示 從圖中看到 當(dāng)w從 向 變化時(shí) G jw H jw 曲線不包圍 1 j0 點(diǎn) 即N 0 因此Z N P 0 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 自動(dòng)控制原理 42 2 F s 在虛軸上有極點(diǎn) 如果在開環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié) 則映射定理便不能直接應(yīng)用 一種改進(jìn)的辦法是對(duì)奈魁斯特軌跡進(jìn)行修正 使其繞過虛軸上的開環(huán)極點(diǎn) 并將這些極點(diǎn)排除在奈魁斯特軌跡所包圍的區(qū)域之外 但仍包圍F s 在右半s平面內(nèi)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn) 以在原點(diǎn)處有極點(diǎn)為例 修正的奈魁斯特軌跡由以下幾部分組成 變點(diǎn)s從 j 沿負(fù)虛軸運(yùn)動(dòng)到j(luò)0 后 從j0 到j(luò)0 變點(diǎn)s沿半徑為e e 的無限小的半圓運(yùn)動(dòng) 然后再從j0 沿正虛軸運(yùn)動(dòng)到j(luò) 從j 開始的軌跡仍是半徑為無窮大的半圓 變點(diǎn)再沿此軌跡返回到原起始點(diǎn) 自動(dòng)控制原理 43 解開環(huán)頻率特性函數(shù) 畫出G jw H jw 曲線 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的沒有極點(diǎn) 故P 0 從圖中可以看到奈魁斯特曲線順時(shí)針包圍 1 j0 點(diǎn)2周 N 2 因此Z N P 2 有2個(gè)特征根在右半s平面 系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定 自動(dòng)控制原理 44 例5 11設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析不同K值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 畫出G jw H jw 曲線 如圖 G jw H jw 曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處的頻率 代入幅值表達(dá)式中 得 當(dāng)K T1 T2 T1T2時(shí) G jw H jw 曲線正好通過 1 j0 點(diǎn) 此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 當(dāng)K T1 T2 T1T2時(shí) G jw H jw 曲線包圍 1 j0 點(diǎn)2周 系統(tǒng)有2個(gè)不穩(wěn)定特征根 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 自動(dòng)控制原理 45 3 奈魁斯特判據(jù)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用 應(yīng)用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 需要畫出全頻段的G jw H jw 曲線 以便得到封閉的圍線 因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)頻率特性在w 0與w 0 段的曲線是鏡像對(duì)稱的 所以只需畫出w 0 變化時(shí)的G jw H jw 曲線即可 為了說明這種方法的應(yīng)用 首先介紹極坐標(biāo)圖上頻率特性曲線穿越的概念 隨著w增加 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線逆時(shí)針穿過 1 j0 點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸 稱為一次正穿 記為N 1 隨著w增加 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線順時(shí)針穿過 1 j0 點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸 稱為一次負(fù)穿 記為N 1 如圖所示 如果開環(huán)頻率特性曲線起始或終止于 1 j0 點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸 稱為半次穿越 記為N 1 2或N 1 2 自動(dòng)控制原理 46 將極坐標(biāo)圖上的穿越點(diǎn)轉(zhuǎn)換到對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上 極坐標(biāo)圖中 G jw H jw 1的幅值與對(duì)數(shù)幅頻特性圖中的0dB線相對(duì)應(yīng) 極坐標(biāo)圖中的負(fù)實(shí)軸與對(duì)數(shù)相頻特性圖中的 2k 1 線相對(duì)應(yīng) 沿頻率w增加方向 相頻特性曲線自下而上穿過 2k 1 線稱為正穿越 反之稱為負(fù)穿越 如圖所示 式中P為開環(huán)不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù) Z為閉環(huán)不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù) 綜上 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可表述為 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在對(duì)數(shù)幅頻特性L w 0dB的頻段內(nèi) 相頻特性曲線對(duì) 2k 1 線的負(fù)穿越與正穿越次數(shù)之差滿足 自動(dòng)控制原理 47 例5 12設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 當(dāng)K 10時(shí) 試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解畫出開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性及其補(bǔ)作的虛直線 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定 P 0 由圖知N 0 N 1 所以Z 2 N N P 2 有2個(gè)特征根在右半s平面 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 自動(dòng)控制原理 48 5 5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量 穩(wěn)定裕量 開環(huán)頻率特性G jw H jw 與 1 j0 點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度 可用來表示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度 也稱穩(wěn)定裕度 5 5 1相角裕量在 w 頻段內(nèi) 若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G jw H jw 與單位圓相交 則交點(diǎn)處的頻率wc稱為幅值穿越頻率 又稱剪切頻率或截止頻率 它滿足 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量通常用幅值裕量和相角裕量來衡量 相角裕量定義為 相角裕量也稱相角裕度或相位裕度 表示使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)開環(huán)頻率特性的相角尚可減少或增加的數(shù)值 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上 相角裕度為幅值穿越頻率wc處相角與 180 的差值 自動(dòng)控制原理 49 5 5 2幅值裕量 在 w 的頻段內(nèi) 若系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G jw H jw 與負(fù)實(shí)軸相交 則交點(diǎn)處的頻率wg稱為相位穿越頻率 它滿足 幅值裕量定義為相位穿越頻率wg所對(duì)應(yīng)的開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù) 用Kg表示 即 幅值裕量也稱幅值裕度或增益裕度 表示使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)開壞頻率特性的幅值尚可增大或縮小的倍數(shù) 顯然 對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng) 幅值裕度大于1 一階和二階系統(tǒng)的幅值裕度為 自動(dòng)控制原理 50 對(duì)于最小相位系統(tǒng) 當(dāng) G jwg H jwg 0時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 反之 當(dāng) G jwg H jwg 1或Kg dB 0時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng) G jwg H jwg 1或Kg dB 0時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) 相位裕度和幅值裕度的極坐標(biāo)圖表示 自動(dòng)控制原理 51 5 5 3穩(wěn)定裕度的計(jì)算 例5 13某單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求當(dāng)K 10和K 100時(shí)系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度 解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 式中開環(huán)放大系數(shù)K 0 2K 兩個(gè)轉(zhuǎn)角頻率分別是w1 1 w2 5 當(dāng)K 10時(shí) 有 解之得wc 1 23 計(jì)算相角裕度 自動(dòng)控制原理 52 解之得wg 2 24 計(jì)算幅值裕度 所以 K 10時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 當(dāng)K 100時(shí) 計(jì)算幅值穿越頻率wc 3 9 相角裕度g 23 6 相位穿越頻率wg 2 24 幅值裕度Kg 10 5dB 所以K 100時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 由 自動(dòng)控制原理 53 5 6控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 本節(jié)介紹利用已有的開環(huán)頻率特性來繪制閉環(huán)頻率特性的方法 并介紹常用的閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo) 5 6 1閉環(huán)頻率特性曲線的繪制1 單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特 對(duì)于如圖所示的單位反饋閉環(huán)系統(tǒng) 其閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 自動(dòng)控制原理 54 在工程中 實(shí)際上比較常用的是等M圓和等N圓以及尼柯爾斯圖線 直接根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線繪制單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性曲線 如果已知開環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖 利用W jw 和G jw 的幾何關(guān)系 可得閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性 自動(dòng)控制原理 55 1 等M圓圖和等N圓圖 幅值M為 這是一個(gè)圓的方程 圓心位于 半徑為 當(dāng)M為不同數(shù)值時(shí) 可以繪制一簇等M圓 自動(dòng)控制原理 56 等N圓是復(fù)平面上表示閉環(huán)頻率特性等相角的一簇圓 也稱為等圓 閉環(huán)頻率特性的相角為 整理后得 令 對(duì)于給定的值 N也是常數(shù) 配方得 其圓心位于 半徑為 自動(dòng)控制原理 57 2 尼柯爾斯圖 將等M圓和等N圓轉(zhuǎn)換到對(duì)數(shù)幅值和相角坐標(biāo)圖上就得到尼柯爾斯圖 自動(dòng)控制原理 58 例5 15設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 試應(yīng)用尼柯爾斯圖求取閉環(huán)系統(tǒng)波德圖 解在繪有等M線和等線的尼柯爾斯圖上 畫出上述開環(huán)對(duì)數(shù)幅相特性曲線 該曲線與等M線和等線的交點(diǎn)給出了相應(yīng)頻率下閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值和相角 因此 可以求出閉環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 自動(dòng)控制原理 59 2 非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 對(duì)于非單位反饋系統(tǒng) 其閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 閉環(huán)頻率特性可寫成 在尼柯爾斯圖上畫出特性曲線 并在不同頻率點(diǎn)處讀取和 值 可以求得 的幅值和相角 自動(dòng)控制原理 60 5 6 2閉環(huán)頻域性能指標(biāo) 用閉環(huán)頻率特性來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能 通常用以下指標(biāo) 1 諧振峰值Mr 諧振峰值是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值 2 諧振頻率 諧振頻率是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時(shí)的頻率 3 帶寬頻率 帶寬頻率是閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅值由其初始值M 0 減小到0 707M 0 時(shí)的頻率 也稱頻帶寬度 閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)示于下圖 自動(dòng)控制原理 61 5 7頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 我們知道 在系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上 可以進(jìn)一步考查其瞬態(tài)響應(yīng)性能 由于時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)最為直觀 最具有實(shí)際意義 因此 系統(tǒng)性能的優(yōu)劣最終是用時(shí)間響應(yīng)性能指標(biāo)來衡量 所以研究頻率特性的性能指標(biāo)與瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 對(duì)于用頻域法分析 設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)是非常重要的 開環(huán)頻域指標(biāo)主要包括剪切頻率wc 相角裕度g以及幅值裕度Kg 閉環(huán)頻域指標(biāo)主要包括諧振峰值Mr 諧振頻率wr以及帶寬頻率wb 時(shí)域暫態(tài)指標(biāo)可以用相對(duì)超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間來描述 本節(jié)主要討論上述性能指標(biāo)之間的關(guān)系 自動(dòng)控制原理 62 5 7 1開環(huán)頻域性能指標(biāo)與瞬態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系 1 相角裕度和相對(duì)超調(diào)量之間的關(guān)系典型二階系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 其幅頻特性和相頻特性分別為 相位裕度 自動(dòng)控制原理 63 相角裕度隨變化的曲線如圖所示 可見 當(dāng) 的范圍內(nèi) 它們的關(guān)系可以近似地表示為 0 01 上