數(shù)學(xué)建模,單變量最優(yōu)化.ppt

趣味題 盡可能迅速回答下面的問題 1 某甲早8 00從山下旅店出發(fā) 沿一條路徑上山 下午5 00到達(dá)山頂并留宿 次日早8 00沿同一路徑下山 下午5 00回到旅店 某乙說 甲必在2天中的同一時刻經(jīng)過同一地點(diǎn) 為什么 2 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽 每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪 直至比賽結(jié)束 問共需要進(jìn)行多少場比賽 共需要進(jìn)行多少輪比賽 如果是N支球隊(duì)比賽呢 3 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作 每天下班后乘火車于6 00抵達(dá)T市車站 他的妻子駕車準(zhǔn)時到車站接他回家 一日他提前下班搭早一班火車于5 30抵T市車站 隨即步行回家 他的妻子像往常一樣駕車前來 在半路上遇到他 即接他回家 此時發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘 問他步行了多長時間 思考題 盡可能迅速回答下面的問題 續(xù) 答案 1 設(shè)想有兩個人一人上山 一人下山 同一天同時出發(fā) 沿同一路徑 必定相遇 2 36場比賽 因?yàn)槌谲婈?duì)外 每隊(duì)都負(fù)一場 6輪比賽 因?yàn)?隊(duì)賽一輪 32隊(duì)賽5輪 N隊(duì)需要N 1場 若2 K 1 N 2K則需要K輪 3 步行了25分鐘 設(shè)想他的妻子駕車遇到他后 先帶他去車站 在回家 汽車多行駛了10分鐘 于是帶他去車站這段路程跑了5分鐘 而到車站的時間是6 00 所以妻子駕車遇到他的時刻是5 55 數(shù)學(xué)建模案例之單變量最優(yōu)化生豬的最佳銷售時間 2010 3 8 問題 一頭豬重200磅 1磅 0 454kg 每天增重5磅 飼養(yǎng)每天需花費(fèi)45美分 豬的市場價格為每磅65美分 但每天下降1美分 問題 求出售豬的最佳時間 清晰問題 需要回答 獲得最大收益時的出售時間及其收益 1 問題分析與假設(shè) 符號說明 涉及的變量 1 豬的重量w 磅 2 飼養(yǎng)時間t 0 天 3 t天內(nèi)飼養(yǎng)豬的花費(fèi)C 美元 4 豬的市場價格p 美元 磅 5 售出生豬所獲得的總收益R 美元 6 我們最終獲得的凈收益P 美元 1 問題分析與假設(shè) 符號說明 涉及的常量 1 豬的初始重量200 磅 2 飼養(yǎng)每天的花費(fèi)0 45 美元 3 生豬增加重量s 5磅 天 4 當(dāng)前的市場價格0 65 美元 5 生豬的價格下降速率r 0 01美元 磅 天 1 問題分析與假設(shè) 符號說明 變量之間的關(guān)系 假設(shè)1 豬的重量從初始的200 磅 按每天s 5磅 增加 于是有關(guān)系 w 磅 200 磅 s 磅 天 t 天 假設(shè)2 當(dāng)前的市場價格0 65 美元 磅 生豬的價格下降速率r 0 01美元 磅 天 那么在t天時出售時生豬的價格為 p 美元 磅 0 65 美元 磅 r 美元 磅 天 t 天 1 問題分析與假設(shè) 符號說明 因此 我們有如下關(guān)系式 飼養(yǎng)生豬的總的費(fèi)用為 C 美元 0 45 美元 天 t 天 售出生豬時獲得的總收益為 R 美元 p 美元 磅 w 磅 最終獲得的凈收益為 P 美元 R 美元 C 美元 小技巧 分析中列出變量的單位有助于檢查所列等式是否有意義 當(dāng)生豬賣出獲得最大收益的時間即為最佳出售時間 因此原問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)表達(dá)就是求P達(dá)到最大時的時間t 0 其中P的表達(dá)式為 P t R t C t p w 0 45t 0 65 rt 200 st 0 45t 2 建立數(shù)學(xué)模型 由上述分析與基本假設(shè) 原問題的數(shù)學(xué)模型如下 2 1 其中 r s為模型參數(shù) 此處取值為s 5 r 0 01 3 模型求解 當(dāng)s 5 r 0 01時 這是一個單變量t的函數(shù)的最優(yōu)化問題 而且P t 是一個連續(xù)可微的函數(shù) 可以利用微積分知識求解 其求解過程如下 1 求駐點(diǎn) P t 2rst 200r 0 65s 0 45駐點(diǎn)為 t 0 45 0 65s 200r 2rs 3 1 代入常量參數(shù)得到 t 8 天 P 8 133 20 美元 3 模型求解 2 判斷是否為極值點(diǎn) 函數(shù)P t 在區(qū)間 0 8 是單調(diào)上升的 而在區(qū)間 8 是單調(diào)下降的 因此 P t 在點(diǎn)t 8達(dá)到全局最大值 133 20 圖1為P t 的圖形 圖1凈收益P t 關(guān)于時間t的曲線 至此 我們可以回答原來的問題答案 在8天后出售 可以獲得最大凈收益133 20美元 4 靈敏性分析 在實(shí)際問題中 我們不會有絕對準(zhǔn)確的信息 即使能夠建立一個完美的精確的模型 我們也可能采用較簡單和易于處理的近似方法 因此我們必須考察數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)鍵性 即使數(shù)學(xué)模型不完全正確 由其導(dǎo)出的結(jié)果仍然正確 在建模過程中我們提出了兩種類型的假設(shè) 1 數(shù)據(jù)假設(shè) 2 其它假設(shè)由于我們很少能夠保證這些假設(shè)都是完全正確的 因此我們需要考慮所得結(jié)果對每一條假設(shè)的敏感程度 它是數(shù)學(xué)建模過程中的一個重要方面 具體問題與所建立的模型以及求解方法有關(guān) 4 靈敏性分析 數(shù)據(jù)是由測量 觀察甚至猜測得到 因此需要考慮數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確的可能性 有些數(shù)據(jù)的具有相當(dāng)大的確定性 如生豬當(dāng)前的重量 生豬現(xiàn)在的價格 每天飼養(yǎng)花費(fèi) 有些數(shù)據(jù)的確定性卻很低 如豬的生長速率s 價格的下降速率r 在前面 我們假設(shè)s 磅 天 r 0 01 美元 天 1 考慮s不變 r發(fā)生變化時 最佳出售時機(jī)關(guān)于價格下降速率的靈敏性 先對r取幾個不同的值做實(shí)際計算 觀察其變化規(guī)律 計算結(jié)果見表1 觀察表1可以得到 隨著r增加 t 減小 更詳細(xì)的分析是考察 3 1 式 我們將s 5 磅 天 代入 3 1 中 可得 t 2 80 200r 10r 4 1 只要t 0 即0 r 0 014 最佳售出時間由 4 1 確定 它們的關(guān)系曲線見圖2 2 考慮r不變 s發(fā)生變化時 最佳出售時機(jī)關(guān)于生長速率的靈敏性 先對s取幾個不同的值做實(shí)際計算 觀察其變化規(guī)律 計算結(jié)果見表2 觀察表2可以得到 隨著s增加 t 增加 更詳細(xì)的分析是考察 3 1 式 我們將r 0 01代入 3 1 中 可得 t 65s 245 2s 4 2 只要t 0 即s 3 77 就可以繼續(xù)飼養(yǎng) 最佳售出時間由 4 2 確定 它們的關(guān)系曲線見圖3 3 在1 和2 中 我們將靈敏性數(shù)據(jù)表示成了絕對改變量的形式 但實(shí)際中相對改變量或者百分比改變的形式更加使用 例如 r的10 的下降導(dǎo)致了t的39 的增加 而s的10 的下降導(dǎo)致t的34 的下降 如果t的改變量為 t 則t的相對改變量為 t t 百分比改變量為100 t t 如果r的改變量為 r 導(dǎo)致t有 t的改變量 則相對改變量的比值為 令 r 0 按照導(dǎo)數(shù)的定義 我們有稱這個極限值為t對r的靈敏性 記為S t r 即有 將r 0 01 t 8代入 4 4 式右端 得S t r 7 2 4 5 即若r增加2 則t下降7 類似地 將s 5 t 8代入 4 6 式右端 得S t s 3 0625 4 7 即生豬的生長率增加1 會導(dǎo)致多等待3 的時間再將生豬售出 注 通常只需要選擇那些有較大不確定性的參數(shù)進(jìn)行靈敏性分析 對靈敏性系數(shù)的解釋還依賴于參數(shù)的不確定程度 這會影響我們對答案的自信度 5 穩(wěn)定性與穩(wěn)健性 前面我們已經(jīng)利用靈敏性分析評估了模型對不確定性數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性 現(xiàn)在我們來看看其他類型的假設(shè) 它們可能來自于數(shù)學(xué)處理的方便和簡化的目的 在回答問題之后 應(yīng)該考察這些假設(shè)是否過于特殊 以致使結(jié)果無效 在前面的假設(shè)中 極為重要的假設(shè)就是 豬的重量和每磅的價格都是時間的線性函數(shù) 這樣做顯然過于簡單化 不可能嚴(yán)格滿足 模型失效 例如 根據(jù)這些假設(shè) 從現(xiàn)在起的一年后 豬的重量將是w 2025磅 而賣出所得的收益為p 3 00美元 磅 因此 一個更實(shí)際的模型應(yīng)該既考慮這些函數(shù)的非線性性 并且考慮到隨著時間推進(jìn)的不確定性的增加 如果假設(shè)是錯的 模型又怎能給出正確的答案呢 雖然數(shù)學(xué)模型力求完美 但這是不可能達(dá)到的 一個更確切的說法數(shù)學(xué)模型力求接近完美 一個好的數(shù)學(xué)模型有穩(wěn)健性 是指雖然它給出的答案并不是完全精確的 但足夠近似從而可以在實(shí)際問題中應(yīng)用 現(xiàn)在讓我們來考慮售豬問題中的線性假設(shè) 其基本方程為 P t p t w t 0 45t 如果模型的初始數(shù)據(jù)和假設(shè)沒有與實(shí)際相差太遠(yuǎn) 則售豬的最佳時間應(yīng)該由P t 0確定 經(jīng)過簡單計算可得 p t w t p t w t 0 45 5 1 其中 5 1 左端是每天利潤的增值 右端是每天投入的資金 飼養(yǎng)費(fèi) 模型告數(shù)我們 只要利潤的增值比飼養(yǎng)的費(fèi)用增長快 就應(yīng)暫不賣出 繼續(xù)飼養(yǎng) 此外 利潤的增值包含兩個方面 1 p t w t 代表因價格下降而損失的價值 2 p t w t 代表由于豬增重而增加的價值 更一般的模型 5 1 在應(yīng)用中會遇到許多實(shí)際問題 我們無法知道p t w t 的具體形式 它們是否有意義 生豬是否可以在明天凌晨3點(diǎn)出售 豬價是否可以為無理數(shù)等等 看看一個具體的情況 一個農(nóng)民有一頭重量大約為200磅的豬 在上一周豬每天增重約5磅 5天前豬價為70美分 磅 但現(xiàn)在豬價下降為65美分 磅 他應(yīng)該怎么辦 顯然應(yīng)該以這些數(shù)據(jù) w 200 w 5 p 0 65 p 0 01 為依據(jù)確定何時出售 我們建立的模型正是這樣做的 我們知道p 和w 記在未來幾周內(nèi)不會保持常數(shù) 因此 p和w也不會是時間的線性函數(shù) 但是 只要p 和w 在這段時間內(nèi)的變化不太大 由于假設(shè)它們是線性的而導(dǎo)致的誤差就不會太大 下面我們給靈敏性分析的結(jié)果一個更一般化的解釋 由于S t s 3 假設(shè)在下幾周內(nèi)豬的實(shí)際增長率在每天4 5到5 5磅之間 即為預(yù)期值的10 內(nèi) 則最佳售豬時間會在8天的30 之內(nèi)變化 即5到11天 我們來考察仍在第8天賣出所導(dǎo)致的收益損失 收益 P t 0 65 0 Olt 200 st 0 45t最佳出售時間 t 65s 245 2s 計算結(jié)果見表3 由表3可得 最壞的兩種情況損失均不超過1美元 這說明在短期內(nèi)假設(shè)它們是線性的而導(dǎo)致的誤差就不會太大 在考慮價格 設(shè)我們認(rèn)為今后幾周內(nèi)價格的改變?yōu)閜 0 01 即每天下降1美分時最糟糕的情況 價格很有可能在今后會下降很慢 甚至達(dá)到穩(wěn)定 p 0 現(xiàn)在我們能說的只是至少要等8天再出售 對較小的p 接近0 模型暗示我們等較長的時間再出售 但我們的模型對較長的時間不再有效 因此 解決這個問題的最好的方法是將豬再飼養(yǎng)一周的時間 然后重新估計p p w w 再用模型重新計算 完 第一次討論作業(yè)題 一家有80000訂戶的地方日報計劃提高其訂閱價格 現(xiàn)在的價