蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.6橢圓(1).ppt

掌握橢圓的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何圖形及簡單性質(zhì) 第6課時橢圓 命題預(yù)測 1 本講主要考查橢圓的基本概念和性質(zhì) 用待定系數(shù)法求橢圓方程 橢圓第一 二定義的綜合運用 橢圓中各量的計算 關(guān)于離心率e的題目為熱點問題 各種題型均有考查 屬中檔題 2 考綱要求掌握橢圓的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì) 所以 近幾年的高考試題一直在客觀題中考查定義 性質(zhì)的理解和運用 在解答題中考查軌跡問題和直線與橢圓的位置關(guān)系 3 在解析幾何與向量的交匯處設(shè)計高考題 是近年來高考中一個新的亮點 主要考查 1 將向量作為工具解答橢圓問題 2 以解析幾何為載體 將向量作為條件融入題設(shè)條件中 4 利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程 利用判別式 根與系數(shù)關(guān)系來求解或證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題 應(yīng)試對策 率e確定橢圓的形狀 焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離p確定橢圓的大小 注意焦點在x軸和y軸上對應(yīng)的橢圓方程的區(qū)別和聯(lián)系 涉及橢圓上的點到兩個焦點的距離問題 常常要注意運用第一定義 而涉及橢圓上的點到某一焦點的距離 常常用橢圓的第二定義 對于后者 需要注意的是焦點與準(zhǔn)線的正確對應(yīng) 不能弄錯 1 在運用橢圓的兩種定義解題時 一定要注意隱含條件a c 離心 問題 準(zhǔn)確把握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征以及 標(biāo)準(zhǔn) 的含義 要能從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中讀出幾何性質(zhì) 能夠利用標(biāo)準(zhǔn)方程解決問題 橢圓的幾何性質(zhì)是需要重點掌握的內(nèi)容 要能夠熟練運用其幾何性質(zhì)來分析和解決問題 特別是橢圓的離心率 作為橢圓的幾何性質(zhì)之一 是高考的熱點 2 考綱要求掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 靈活運用橢圓的定義來解決 得到一個關(guān)于x 或y 的一元二次方程 再求判別式或應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系解題 由判別式可以得到字母關(guān)系的范圍 利用根與系數(shù)關(guān)系 數(shù)形結(jié)合的思想和 設(shè)而不求 的方法可以解決中點弦或弦的垂直等問題 橢圓在解答題的考查中計算量比較大 要有簡化運算的意識 可先運算字母關(guān)系 最后代入數(shù)值 這樣做可減少運算錯誤 提高運算的準(zhǔn)確性 3 解決直線與橢圓問題的通法是 將直線和橢圓的方程聯(lián)立 消元 4 由于平面向量具有 雙重性 與平面解析幾何在本質(zhì)上有密切的聯(lián) 因此 在解答此類問題時 要充分抓住垂直 平行 長度 夾角的關(guān)系 將向量的表達(dá)形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式 知識拓展 焦點三角形橢圓上的點P x0 y0 與兩焦點構(gòu)成的三角形PF1F2稱作焦點三角形 如圖 F1PF2 1 arccos當(dāng)r1 r2時 即P為短軸端點時 最大 且 max arccos 2 當(dāng) y0 b 即P為短軸端點時 S PF1F2最大 且最大值為bc 2 焦點弦 過焦點的弦 AB為橢圓 a b c 的焦點弦 A x1 y1 B x2 y2 弦中點M x0 y0 則弦長l 2a e x1 x2 2a 2ex0 通徑最短lmin 1 橢圓的定義 1 平面內(nèi)的動點的軌跡是橢圓必須滿足的兩個條件 到兩個定點F1 F2的距離的等于常數(shù)2a a 0 2aF1F2 2 上述橢圓的焦點是 橢圓的焦距是 思考 當(dāng)2a F1F2時動點的軌跡是什么圖形 提示 當(dāng)2a F1F2時 動點的軌跡是線段F1F2 和 F1 F2 F1F2 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) a b a b a b b a a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2c 0 1 a2 b2 探究 橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系 提示 離心率越接近1 橢圓越扁 離心率越接近0 橢圓就越接近于圓 0的點M總在橢圓內(nèi)部 則橢圓離心率的取值范圍是 答案 1 2010 東臺中學(xué)高三診斷 已知F1 F2是橢圓的兩個焦點 滿足 2 已知橢圓的方程是 1 a 5 它的兩個焦點分別為F1 F2 且F1F2 8 弦AB過F1 則 ABF2的周長為 解析 a 5 橢圓的焦點在x軸上 a2 25 42 a 由橢圓的定義知 ABF2的周長為4a 4答案 4 3 中心在原點 焦點在x軸上 若長軸長為18 且兩個焦點恰好將 長軸三等分 則此橢圓的方程是 解析 2a 18 2c 2a 6 a 9 c 3 b2 81 9 72 答案 4 揚州市高三期末調(diào)研 已知F1 F2是橢圓 的左 右焦點 弦AB過F1 若 ABF2的周長為8 則橢圓的離心率為 解析 由題意知 ABF2的周長為8 根據(jù)橢圓定義得4a 8 即a 2 又c2 a2 b2 1 所以橢圓的離心率e 答案 5 橢圓上有一點P到左準(zhǔn)線的距離為那么P到右焦點的距離為 解析 a 5 b 3 c 4 e 答案 8 PF2 10 2 8 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要有定義法 待定系數(shù)法 有時還可根據(jù)條件用代入法 用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟是 1 作判斷 根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在x軸上 還是在y軸上 還是兩個坐標(biāo)軸都有能 2 設(shè)方程 根據(jù)上述判斷設(shè)方程 a b 0 或 a b 0 或mx2 ny2 1 3 找關(guān)系 根據(jù)已知條件 建立關(guān)于a b c的方程組 4 得方程 解方程組 將解代入所設(shè)方程 即為所求 例1 江蘇南通調(diào)研題 一動圓與已知圓O1 x 3 2 y2 1外切 與圓O2 x 3 2 y2 81內(nèi)切 試求動圓圓心的軌跡方程 思路點撥 兩圓相切 圓心之間的距離與圓半徑有關(guān) 據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件 解 由已知 兩定圓的圓心和半徑分別是O1 3 0 r1 1 O2 3 0 r2 9 設(shè)動圓圓心為M x y 半徑為R 則由題設(shè)條件 可知MO1 1 R MO2 9 R MO1 MO2 10 由橢圓的定義知 M在以O(shè)1 O2為焦點的橢圓上 且a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 故動圓圓心的軌跡方程為 變式1 已知圓A x 3 2 y2 100 圓A內(nèi)一定點B 3 0 動圓P過B點且與圓A內(nèi)切 求圓心P的軌跡方程 解 設(shè) PB r 圓P與圓A內(nèi)切 圓A的半徑為10 兩圓的圓心距PA 10 r 即PA PB 10 大于AB 點P的軌跡是以A B兩點為焦點的橢圓 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 25 9 16 即點P的軌跡方程為 1 橢圓的性質(zhì)常涉及一些不等關(guān)系 例如對橢圓 a b 0 有 a x a b y b 0 e 1等 在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍 或者求這些量的最大值或最小值時 經(jīng)常用到這些不等關(guān)系 2 求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析 即使不畫出圖形 思考時也要聯(lián)想到圖形 當(dāng)涉及到頂點 焦點 準(zhǔn)線 長軸 短軸等橢圓的基本量時 要理清它們之間的關(guān)系 挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系 關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于e的等式或不等式 從而求出e的值或范圍 離心率e與a b的關(guān)系 3 求橢圓離心率問題 應(yīng)先將e用有關(guān)的一些量表示出來 再利用其中的一些 的兩焦點為F1 F2 P是橢圓上一點且 0 試求該橢圓的離心率e的取值范圍 思路點撥 利用0 x2 a2建立關(guān)于a與c的不等式 例2 即又聯(lián)立 消去y得 e2x c2 b2 又c2 a2 b2 e2 2c2 a2 據(jù)題意 P點在橢圓上 但不在x軸上 0 于是0 2c2 a2 c2 即 變式2 已知F1 F2是橢圓的兩個焦點 P為橢圓上一點 F1PF2 60 求橢圓離心率的范圍 解 設(shè)橢圓方程為 1 a b 0 PF1 m PF2 n 在 PF1F2中 由余弦定理可知 4c2 m2 n2 2mncos60 m n 2a m2 n2 m n 2 2mn 4a2 2mn 4c2 4a2 3mn 即3mn 4a2 4c2 又mn 當(dāng)且僅當(dāng)m n時取等號 4a2 4c2 3a2 e的取值范圍是 例3 設(shè)P x0 y0 是橢圓 a b 0 上任意一點 F1為其左焦點 1 求 PF1 的最小值和最大值 2 在橢圓 上求一點P 使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直 思路點撥 用x0 a e表示PF1 1 利用PF1與x0 a e之間的關(guān)系求最值 2 用PF1 PF2與x0 a e之間的關(guān)系及勾股定理列出x0 a e的方程 并求x0 解 1 對應(yīng)于F1的準(zhǔn)線方程為x PF1 a ex0 又 a x0 a 當(dāng)x0 a時 PF1min a 當(dāng)x0 a時 PF1max a 2 a2 25 b2 5 c2 20 e2 a ex0 2 a ex0 2 4c2 將數(shù)據(jù)代入得25 代入橢圓方程得P點的坐標(biāo)為 變式3 已知點P在橢圓 1 a b 0 上 F1 F2為橢圓的兩個焦點 求PF1 PF2的取值范圍 解 設(shè)P x0 y0 橢圓的準(zhǔn)線方程為y 不妨設(shè)F1 F2分別為下焦點 上焦點 則PF2 a PF1 PF2 當(dāng)y0 0時 PF1 PF2最大 最大值為a2 當(dāng)y0 a時 PF1 PF2最小 最小值為a2 c2 b2 因此 PF1 PF2的取值范圍是 b2 a2 y0 a a y0 a 1 直線與橢圓位置關(guān)系的判定把橢圓方程 1 a b 0 與直線方程y kx b聯(lián)立消去y 整理成形如Ax2 Bx C 0的形式 對此一元二次方程有 1 0 直線與橢圓相交 有兩個公共點 2 0 直線與橢圓相切 有一個公共點 3 0 直線與橢圓相離 無公共點 2 直線被橢圓截得的弦長公式 設(shè)直線與橢圓交于A x1 y1 B x2 y2 兩點 則AB k為直線斜率 例4 橢圓C 1 a b 0 的兩個焦點為F1 F2 點P在橢圓C上 且PF1 F1F2 PF1 1 求橢圓C的方程 2 若直線l過圓x2 y2 4x 2y 0的圓心M 交橢圓C于A B兩點 且A B關(guān)于點M對稱 求直線l的方程 思路點撥 1 可根據(jù)橢圓定義來求橢圓方程 2 解法一 設(shè)斜率為k 表示出直線方程 然后與橢圓方程聯(lián)立 利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式求解 解法二 設(shè)出A B兩點坐標(biāo) 代入橢圓方程 作差變形 利用中點坐標(biāo)公式及斜率求解 即點差法 解 1 因為點P在橢圓C上 所以2a PF1 PF2 6 a 3 在Rt PF1F2中 F1F2 故橢圓的半焦距c 從而b2 a2 c2 4 所以橢圓C的方程為 2 設(shè)點A B的坐標(biāo)分別為 x1 y1 x2 y2 已知圓的方程為 x 2 2 y 1 2 5 所以圓心M的坐標(biāo)為 2 1 從而可設(shè)直線l的方程為 y k x 2 1 代入橢圓C的方程得 4 9k2 x2 36k2 18k x 36k2 36k 27 0 因為A B關(guān)于點M對稱 所以 2 解得k 所以直線l的方程為y x 2 1 即8x 9y 25 0 經(jīng)檢驗 所求直線方程符合題意 變式4 斜率為1的直線l與橢圓 y2 1相交于A B兩點 則AB的最大值為 解析 設(shè)橢圓截直線于A x1 y1 B x2 y2 兩點 由消去y 得5x2 8tx 4 t2 1 0 則有x1 x2 t x1x2 AB x1 x2 當(dāng)t 0時 AB max 2 1 如果已知橢圓 1 a b 0 上一點P 需要解決有關(guān) PF1F2的問題 由于在 PF1F2中已知F1F2 2c PF1 PF2 2a 如果再給出一個條件 PF1F2可解 2 當(dāng)然如果涉及到橢圓上點到焦點的距離 也可考慮由 和方程推出的結(jié)論 焦半徑公式PF1 a ex0 PF2 a ex0 規(guī)律方法總結(jié) 1 求橢圓方程 1 可通過對條件的 量化 根據(jù)兩個條件利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 可利用求軌跡方程的方法求橢圓方程 3 在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上 能對橢圓性質(zhì)有更多的了解 如 1 a c與a c分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值 2 橢圓的通徑 過焦點垂直于長軸的弦 長 是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值等 4 求橢圓的離心率e 可根據(jù)已知條件列出一個關(guān)于a b c的齊次等式 再結(jié)合a2 b2 c2可得關(guān)于e的方程求解 求橢圓的離心率與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較 比求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程少一個條件 例5 2009 重慶卷 已知橢圓 1 a b 0 的左 右焦點分別為F1 c 0 F2 c 0 若橢圓上存在點P使 則該橢圓的離心率的取值范圍為 分析 在 PF1F2中根據(jù)正弦定理建立關(guān)系式和已知條件比較尋找關(guān)于離心率e的不等式 高考真題 規(guī)范解答 根據(jù)已知條件 PF1F2 PF2F1都不等于0 即點P不是橢圓的左 右頂點 故P F1 F2構(gòu)成三角形 在 PF1F2中 由正弦定理得 則由已知得 即aPF1 cPF2 設(shè)點P x0 y0 由焦點半徑公式 得PF1 a ex0 PF2 a ex0 則a a ex0 c a ex0 得x0 由橢圓的幾何性質(zhì)知x0 a 則 a 整理得e2 2e 1 0 解得e 1 又e 0 1 故橢圓的離心率e 1 1 故填 1 1 答案 1 1 全解密 本題考查橢圓的定義 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 正弦定理等基礎(chǔ)知識 但試題的核心考查點是分析問題 解決問題的能力 試題給出的實際上是給出了這個橢圓上點P到左 右焦點的兩條焦半徑之間的一個等量關(guān)系 要求考生根據(jù)這個等量關(guān)系建立關(guān)于離心率的不等式 對能力有較高的要求 試題設(shè)計新穎 是一道值得仔細(xì)品味的試題 命題探究 橢圓的焦點半徑 果在橢圓C 1 a b 0 中 點P x0 y0 F1 F2分別為左 右焦點 則PF1 a ex0 PF2 a ex0 F1F2 2c e為橢圓的離心率 其證明過程如下 由于 1 故 根據(jù)兩點間的距離公式PF1 又由于 a x0 a 所以0 c a x0 a c a 故PF1 x0 a a ex0 根據(jù)橢圓定義PF2 2a PF1 2a a ex0 a ex0 F1F2 2c 知識鏈接 注 1 通常把PF1 PF2稱為該橢圓的左 右焦點半徑 從這個規(guī)律可以看出焦點在x軸上的橢圓的焦點半徑只與點P的橫坐標(biāo)有關(guān) 同理可以寫出焦點在y軸上的橢圓的焦點半徑 2 由PF1 a ex0知當(dāng)x0 a時 PF1最小 當(dāng)x0 a時 PF1最大 雖然這時F1 F2已經(jīng)不能構(gòu)成三角形 但我們上面的推導(dǎo)并沒有用到P F1 F2構(gòu)成三角形這個條件 橢圓離心率范圍問題基本分析思路 求解橢圓的離心率實際上就是建立一個關(guān)于離心率的不等式 這個不等式可以通過建立a b c的不等式達(dá)到目的 在橢圓中建立不等式有如下一些思考途徑 一是橢圓幾何性質(zhì) 如根據(jù)橢圓上點的坐標(biāo)的范圍與已知條件建立不等式 二是涉及直線與橢圓相交時 直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后所得到的一元二次方程的判別式大于零 三是題目中給出的或能夠根據(jù)已知條件得出的不等關(guān)系式 方法探究 技巧點撥 在橢圓中 當(dāng)橢圓上的點不是其長軸的兩個端點時 這個點與橢圓的兩個焦點可以構(gòu)成一個三角形 這個三角形中一個邊長等于焦距 另兩個邊長之和等于長軸的長 在這個三角形中利用正余弦定理可以巧妙地解決一些問題 發(fā)散思維 本題也可以按如下方法解答 據(jù) 規(guī)范解答 知PF1 PF2 由橢圓的定義知PF1 PF2 2a 則PF2 PF2 2a 即PF2 由橢圓的幾何性質(zhì)知PF20 所以e2 2e 1 0 從而可求出離心率e的范圍 誤點警示 本題易出現(xiàn)的一個致命的錯誤就是忽視了隱含條件 PF1F2 PF2F1都不能等于0 這樣會導(dǎo)致在最后的答案中含有離心率等于 1 解答數(shù)學(xué)題目要注意對隱含條件的挖掘 確保答案準(zhǔn)確無誤 特別是解答選擇題和填空題尤為如此 1 已知橢圓x2 1和直線y 2x m恒有兩個不同的交點 求兩交點連線的中點軌跡方程 分析 解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題 除利用根與