2016年高考理科數(shù)學全國1卷-含答案.doc

*2016 年普通高等學校招生全統(tǒng)一考試理科數(shù)學第卷一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。2 x（1） 設集合 A 4 3 0 ， B x2x 3 0 ，則 A Bx x（A ）（ 3，32） （B）（ 3，32） （C）（1，32） （D）（32， 3）（2） 設(1 i)x 1 yi ，其中 x, y 是實數(shù)，則 x yi（A ）1 （B） 2 （C） 3 （D）2（3） 已知等差數(shù)列a 前 9 項的和為 27， a10 8，則 a100n（A ）100 （B）99 （C）98 （D）97（4） 某公司的班車在 7:30,8:00,8:30 發(fā)車， 小明在 7:50 至 8:30 之間到達發(fā)車站乘坐班車， 且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10 分鐘的概率是（A ）13（B）12（C）23（D）342 2x y（5） 已知方程 1表示雙曲線， 且該雙曲線兩焦點間的距離為 4，則m的取值范圍是2 2m n 3m n（A ）（ 1，3） （B）（ 1， 3） （C）（ 0 ，3 ） （D）（0 ， 3）（6） 如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是283，則它的表面積是（A ）17 （B）18 （C）20 （D）28（7） 函數(shù)yx22x e 在 2，2 的圖象大致為y y y y1 1 1 1-2 O 2 -2 O 2 -2 O 2 -2 2x x x O x（A） （B） （C） （D）理科數(shù)學試卷 A 型 第 1 頁（共 5 頁）*（8） 若a b 1，0 c 1，則開始（A ）c bca （B）abc bac輸入 x, y, n（C） a c b clogb log （D）loga c logb ca（9） 執(zhí)行右圖的程序框圖，如果輸入的 x 0, y 1, n 1，則輸n n 1n 1x x ,2y ny出 x,y 的值滿足否2 y 2x36（A ）y 2x （B） y 3x （C）y 4x （D）y 5x是輸出 x, y（10） 以拋物線 C 的頂點為圓心的圓交 C 于 A, B 兩點，交 C 的準線于 D , E 兩點已知 AB 4 2 ， DE 2 5，則 C 的焦點到準線的距離為結束（A ）2 （B）4 （C）6 （D）8（11） 平面 過正方體ABCD A1 B C D 的頂點 A ， 平面 CB1D1 ， 平面 ABCD m ， 平1 1 1面 ABB1 A n，則 m,n 所成角的正弦值為1（A ）32（B）22（C）33（D）13（12） 已知函數(shù) f (x) sin( x ) ( 0, ) ，2x 為 f (x) 的零點，4x 為 y f ( x) 圖象45的對稱軸，且 f (x) 在 ( , ) 單調，則 的最大值為18 36（A ）11 （B）9 （C）7 （D）5第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第 (13) (21) 題為必考題，每個試題都必須作答。第 (22) (24) 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分。（13） 設向量 a ( m,1) ，b (1, 2) ，且2 2 2a ，則 m b a b（14）5(2x x) 的展開式中，3x 的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答案）（15） 設等比數(shù)列a 滿足 a1 a3 10，a2 a4 5，則 a1a2 an 的最大值為 n（16） 某高科技企業(yè)生產產品 A 和產品 B 需要甲、 乙兩種新型材料 . 生產一件 A需要甲材料 1.5kg, 乙材料1kg，用 5 個工時； 生產一件 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg ，用 3 個工時 . 生產一件 A 產品的利理科數(shù)學試卷 A 型 第 2 頁（共 5 頁）潤為 2100 元，生產一件 B 產品的利潤為 900 元. 該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150kg，乙材料 90kg，則在不超過 600 工時的條件下，生產產品 A、產品 B 的利潤之和的最大值為 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（17） （本小題滿分 12 分）ABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a,b, c ，已知 2 cosC(a cos B b cos A) c .（）求 C ；3 3（）若 c 7 ，ABC 的面積為. 求ABC 的周長 .2（18） （本小題滿分 12 分）如圖，在以 A, B, C,D, E,F 為頂點的五面體中， 面 ABEF 為正方形， AF 2FD ， AFD 90 ，且二面角 D AF E 與二面角 C BE F 都是 60 .CD（）證明：平面 ABEF 平面 EFDC ；EA（）求二面角 E BC A的余弦值 .FB（19） （本小題滿分 12 分）某公司計劃購買 2 臺機器，該種機器使用三年后被淘汰 . 機器有一易損零件，在購買機器時，可以額外購買這種零件為備件， 每個 200 元. 在機器使用期間， 如果備件不足再購買， 則每個 500 元.頻數(shù) 現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜40 集并整理了 100 臺這種三年使用期內更換的易損零件，得下面柱狀圖：20以這 100 臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替 1 臺機器O8 9 10 11更換的易損零件數(shù)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的頻率， 記 X 表示 2 臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)， n表示購買 2 臺機器的同時購買的易損零件數(shù) .（）求 X 的分布列；（）若要求 P（X n） 0.5，確定 n的最小值；（）以購買易損零件所需要的期望值為決策依據(jù)，在 n 19 與 n 20 之中選其一，應選用哪個？理科數(shù)學試卷 A 型 第 3 頁（共 5 頁）（20） （本小題滿分 12 分）2 y2 x設圓 x 2 15 0的圓心為 A ，直線 l 過點 B (1,0) 且與 x軸不重合， l 交圓 A 于C, D 兩點，過 B 作 AC 的平行線交 AD 于點 E .（）證明 EA EB 為定值，并寫出點 E 的軌跡方程；（）設點 E 的軌跡為曲線C ，直線 l 交 C1于 M , N 兩點，過 B 且與 l 垂直的直線與圓 A 交于 P,Q1兩點，求四邊形 MPNQ 面積的取值范圍 .（21） （本小題滿分 12 分）已知函數(shù)fx 有兩個零點 .2(x) (x 2)e a( x 1)（）求 a的取值范圍；（）設x1,x 是 f (x) 的兩個零點，證明： x1 x 2 .2 2請考生在第（ 22）、（23）、（24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。（22） （本小題滿分 10 分）選修 4-1 ：幾何證明選講1如圖， OAB 是等腰三角形， AOB 120 . 以O 為圓心， OA2為半徑作圓 .（）證明：直線 AB 與 O 相切；D CO（）點 C, D 在 O 上，且 A, B,C, D 四點共圓，證明：AB CD .A B（23） （本小題滿分 10 分）選修 4-4 ：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系 xOy 中，曲線C 的參數(shù)方程為1xya1cost,a sint,( t 為參數(shù)， a 0 ). 在以坐標原點為極點， x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C ： 4 cos .2理科數(shù)學試卷 A 型 第 4 頁（共 5 頁）（）說明 C1 是哪一種曲線，并將 C1 的方程化為極坐標方程；（） 直線C 的極坐標方程為 0 ，其中 0 滿足 tan 0 2，若曲線 C1 與C2 的公共點都在3C 上，求 a.3（24） （本小題滿分 10 分）選修 4-5 ：不等式選講已知函數(shù) f (x) x 1 2x 3 .（）在答題卡第（ 24）題圖中畫出 y f (x)的圖像；（）求不等式 f (x) 1的解集 .y1 o x1理科數(shù)學試卷 A 型 第 5 頁（共 5 頁）2016 年全國卷高考數(shù)學（理科）答案與解析一、選擇題【答案】（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）A （7）D （8）C （9）C （10）B（11）A （12） B【解析】2 x x x（1） A x x 4 3 0 1 3 ，3B x2x 3 0 x x ，23A B x x 3 2（2） (1 i)x 1 yi 即 x xi 1 yi x 1x y，解得：xy1 1， x yi x2 y2 2 9(a a ) 9 2a a10 a1 9 5 5（3） S 9 27 a5 3， a10 8 19 a d ，52 2 10 5a100 a 90d 9810（4）如圖所示，畫出時間軸：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30A C D B小明到達的時間會隨機的落在圖中線段 AB 中，而當他的到達時間落在線段 AC 或 DB 時，才能保證他等車的時間不超過 10 分鐘，根據(jù)幾何概型，所求概率 10 10 1p 40 22 2x y2 n m n2（5） 1表示雙曲線，則 ( )(3 ) 0m ，2 2m n 3m n2 n 3m2m ，2c 4c2 ( 2 ) (3 ) 4 22m n m n m2解得 m 1， 1 n 3（6）原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的 1/8 后的三視圖，表面積是7/8 的球面面積和三個扇形面積之和，理科數(shù)學試卷 A 型 第 6 頁（共 5 頁） 7 2 1 2 S 4 2 3 2 17 8 42 2 2 2（7） f (2) 8 e 8 2.8 0，排除 A； f (2) 8 e 8 2.7 1，排除 B；x 0時， f2 x(x) 2x e ，1 1x 0f (x) 4x e ，當 x (0, ) 時， f (x) 4 e 04 41f (x) 在 (0, ) 單調遞減，排除 C；4故選 Dc c（8）對 A：由于 0 c 1 ，函數(shù) y xc 在R 上單調遞增，因此 a b 1 a b ，A 錯誤；對 B：由于 1 c 1 0 ，函數(shù) y xc 1 在 1, 上單調遞減，c 1 c 1 c ca b a b ba ab ，B 錯誤1b c ，只需比較 lna c ln b對 C：要比較 a log c和 logb a和 aln a和blnclna，只需比較ln cbln b和ln caln a，只需 bln b構造函數(shù)f x xln x x 1，則f x ln x 1 1 0 f x，在1,上單調遞增，因此f a f b 0 aln a blnb 01 1aln a bln b又由 0 c 1 得 ln c 0 ， ln ln log logc cb c a ca baln a blnb，C 正確對 D：要比較 loga c 和logb c ，只需比較 lnlnca和lnlncb而函數(shù) y ln x在 1, 上單調遞增，故 1 ln ln 0 1 1a b a blna ln b又由 0 c 1 得 ln c 0 ， ln ln log logc cc ca blna lnb，D 錯誤故選 C【2 用特殊值法，令1 1 1 11a 3,b c 得32 2 ，排除 A； 22, 22 3 2 2 3 ，排除 B；213 log 2 2 log 3 2 ，C 正確；21 1log3 log 2 ，排除 D；選 C】 2 2（9）如下表：循環(huán)節(jié)運行次數(shù)n 1x x x y y ny2判斷2 2 36x y是否輸出n n n 1運行前 0 1 / / 1第一次 0 1 否 否 2第二次122 否 否 3第三次326 是 是理科數(shù)學試卷 A 型 第 7 頁（共 5 頁）3輸出x ， y 6 ，滿足y 4x，故選C2（10）以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理設拋物線為2 2y px p 0 ，設圓的方程為2 2 2x y r ，題目條件翻譯如圖：F設A x0 ,2 2p， D , 5 ，2A x0 ,2 2點 在拋物線2 2y px 上， 8 2 px0 p2, 5在圓2 2 2x y r 上，5p222D r點 A x0 ,2 2點 在圓2 2 2x y r 上，2 2x0 8 r 聯(lián)立解得： p 4 ，焦點到準線的距離為 p 4 2【如圖，設拋物線方程為2 2y px ，圓的半徑為 r,AB, DE 交 x 軸于C,F 點，則AC 2 2 ，即 A 點縱坐標為 2 2 ，則A 點橫坐標為4p，即OC4p，由勾股定理知2 2 2 2DF OF DO r ，2 2 2 2AC OC AO r ，即2 p 2 2 4 2( 5) ( ) (2 2) ( )2 p，解得 p 4 ，即 C 的焦點到準線的距離為 4】（11）如圖所示： 平面 CB1D1 ，若設平面CB D 平面1 1ABCD m ，則mm1 1又平面 ABCD 平面ABC D ，結合平面 B1D1C 平面 A1B1C1D1 B1D11 1 1 1 B1D1m1 ，故B Dm1 1D CBA同理可得： CD1n故 m 、 n 的所成角的大小與B D 、CD 所成角的大小1 1 1相等，即CD B 的大小1 1A1D1B1C1理科數(shù)學試卷A 型 第 8 頁（共5 頁）而 B1C B1D1 CD1 （均為面對交線） ，因此3CD B ，即 sin CD1B1 1 1 32（12）由題意知：4+ k 1 + k +24 2則 2k 1，其中 k Zf x 在 , 5( )18 36單調，5 T36 18 12 2, 12接下來用排除法若11, 4 ，此時 ( ) sin 11f x x f (x) ， 在4 3 ,18 44遞增，在35 ,44 36遞減，不滿足 f (x) 在 5,18 36單調；若9,4 ，此時f (x) sin 9x ，滿足 f (x) 在4 5 ,18 36單調遞減理科數(shù)學試卷 A 型 第 9 頁（共 5 頁）二、填空題【答案】（13）-2 （ 14）10 （15）64 （16）216 000【解析】（13） 由已知得 a b (m 1,3) , 2 222 2 2 2 2 2a b a b (m 1) 3 m 1 1 2 ，解得 m 2 22 2 2a b a b 得 a b ， m 1 1 2 0，解得 m 2 （14）5(2 x x) 的展開式的通項為rr5 r x 5 r x r 5 r r x 2 ( r 0 ，1，2， ，5)，令 5 3C (2 ) ( ) 2 C5 52得 r 4，所以 x3 的系數(shù)是 42C 105（15） 設等比數(shù)列a 的公比為 q(q 0) ，na1a2a3a4105a1a q12a q13a q1105，解得a1q812，n 41a ，n2a a1 2an12( 3) ( 2)（n4）1212n( n 7)112n722494故 當26n 3或 4時， a1a2 an 取得最大值2 64（16） 設生產 A 產品x 件， B 產品y件，根據(jù)所耗費的材料要求、工時要求等其他限制條件，構造線性規(guī)則約束為1.5 x 0.5 y 150x 0.3 y 905x 3 y 600x 0y 0*x N*y N目標函數(shù) z 2100 x 900 y作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0)理科數(shù)學試卷A 型 第 10 頁（共5 頁）在 (60,100) 處取得最大值， z 2100 60 900 100 216000三、解答題（17）解：（I）由已知及正弦定理的，2 cosC (sin Acos B sin B cos A) sin C ，即 2 cosC sin( A B) sin C ，故 2 sin C cos C sin C ，可得 1cos C ， 2C 3（II）由已知，123 3ab sin C ，2又C ， ab 6，32 b ab C2由已知及余弦定理得， a 2 cos 7 ，2 b2 2故 13 a b ，a ，從而 ( ) 25ABC 的周長為 5 7（18）解：（I）由已知可得 AF DF，AFFE， AF平面 EFDC 又 AF 平面 ABEF，故平面 ABEF 平面 EFDC （II）過 D 作 DGEF，垂足為 G，由() 知 DG平面 ABEF，以 G 為坐標原點， 的方向為 x 軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 G-xyz理科數(shù)學試卷 A 型 第 11 頁（共 5 頁）由( ) 知 DFE 為二面角 的平面角，故 =60，則 ， ，可得 ， ， ， ，由已知， ABEF， AB平面 EFDC ，又平面 ABCD 平面 EFDC =CD，故 AB CD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC ， CEF 為二面角 C- BE- F 的平面角， CEF =60，從而可得 C(-2,0, ), ， ， ， ，設 是平面 BCE 的法向量，則，即 , 可取 ，設是平面 ABCD 的法向量，則同理可取 ， ，則 ， ，故二面角 E- BC- A 的余弦值為 .（19）解：（I）由柱狀圖并以頻率代替概率可得， 一臺機器在三年內需更換的易損零件數(shù)位8,9,10,11 的概率分別為 0.2,0.4,0.2,0.2 ，從而P(X=16)=0.2 0.2=0.04 ，P( X=17)=2 0.2 0.4=0.16 ，P( X=18)=2 0.2 0.2+0.4 0.4=0.24 ，P( X=19)=2 0.2 0.2+2 0.4 0.2=0.24 ，P( X=20)=2 0.2 0.4+0.2 0.2=0.2 ，P( X=21)=2 0.2 0.2=0.08 ，P( X=22)= 0.2 0.2=0.04 ，所以 X 的分布列為X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 （II ）由 ( )知 P( X18)=0.44 ，P( X 19)=0.68 ，故 n 的最小值為 19（III ）記Y 表示 2 臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元） ，當 n=19 時， EY =19 2000.68+(19 200+500) 0.2+(19 200+2 500) 0.08+(19 200+3500) 0.04=4040 當 n=20 時， EY =20 2000.88+(20 200+500) 0.08+(20 200+2500) 0.04=4080 可知當 n=19 時所需費用的期望值小于n=20 時所需費用的期望值，故應選 n=19理科數(shù)學試卷A 型 第 12 頁（共5 頁）（20）解：（I） ，EBAC ，故 EBD =ACD =ADC ，故 2 y2又圓 A 的標準方程為 (x 1) 16, 從而 ， 2 2x y由題設得 A (-1,0) ，B (1,0) ， ，由橢圓定義可得點 E 的軌跡方程為： 1（ 0）y 4 3（II ）當 l 與 x 軸不垂直時，設 l 的方程為 y k(x 1（) k 0）， M ( 1, y ) ， N( x2, y2 ) x1由yk(x2 y23x41)12 x k x k2 2 2，得 (4k 3) 8 4 12 0則28kx x ，1 224k 324k 12x x ；1 224k 3212( k 1)2MN 1 k x x 1 224k 31過點 B(1,0) 且與 l 垂直的直線 m： y (x 1)，A 到 m 的距離為kk221，22 4k 32 2PQ 2 4 ( ) 4 22 k 1k 1故四邊形 MPNQ 的面積1 1S MP PQ 12 1 22 4k 3可得當 l 與 x 軸不垂直時，四邊形 MPNQ 面積的取值范圍為 (12，8 3) 當 l 與 x 軸垂直時，其方程為 x 1, MN 3, PQ 8 ，四邊形 MPNQ 的面積為 12綜上，四邊形 MPNQ 面積的取值范圍為 12，8 3）（21）解：x x（I） f ( x) (x 1)e 2a( x 1) (x 1)( e 2a)（i）設 a 0 ，則 f (x) (x 2)ex ， f (x) 只有一個零點（ii ）設 a 0 ，則當 x ( ，1) 時， f (x) 0；當 x (1， ) 時， f (x) 0 f (x) 在( ，1) 單調遞減，在 (1， ) 單調遞增又 f (1) e，f (2) a ，取 b 滿足 b 0且 ab ln ，則 2理科數(shù)學試卷 A 型 第 13 頁（共 5 頁）a 32 a b b2f (b) (b 2) a(b 1) ( ) 0，2 2故 f (x) 存在兩個零點（iii ）設 a 0，由 f ( x) 0 得 x 1或 x ln( 2a) 若ea ，則ln( 2a) 1，故當 x (1， ) 時， f ( x) 0 ，因此 f (x) 在(1， ) 單調2遞增又當 x 1時， f (x) 0， f (x) 不存在兩個零點；若ea ，則ln( 2a) 1，故當 x (1，ln( 2a ) 時， f ( x) 0 ；當 x (ln( 2a )， )2時，f (x) 0因此 f (x) 在(1，ln( 2a ) 單調遞減，在(ln( 2a)， ) 單調遞增 又當 x 1時， f (x) 0 ， f (x) 不存在兩點零點綜上， a的取值范圍為 (0， ) （II ）不妨設x1 x ，由( ) 知， x1 ( ，1) ，x2 (1， ) ，2 x2 ( ，1) ， f (x) 在 ( ，1)2單調遞減， x1 x 2 f (x ) f (2 x ) ，即 f (2 x2 ) 0 2 1 2f (22