數學期望E(x)D(x).ppt

第四章 數字特征 引言 一 數學期望問題 隨機變量的均值應如何定義 例如 甲 乙兩射手 各射擊十次 X Y分別表示他們射中的環(huán)數 如表 評價這兩射手的水平 解 現求在這十次射擊中 平均擊中的環(huán)數 結果 甲平均擊中的環(huán)數9 3 乙平均擊中的環(huán)數9 1 甲水平較高 根據概率的統計定義作分析 擊中次數Ni與N的比值 是這N次試驗中射中環(huán)數的頻率 按概率的統計定義 當N很大時 Ni N接近于射中環(huán)數的概率 1 離散型隨機變量的數學期望 1 定義設離散型隨機變量X的分布律為P X xk pk k 1 2 若級數絕對收斂 則稱此級數的和為隨機變量X的數學期望 記為E X 即 注釋 1 X的期望E X 是一個數 它形式上是X的可能值的加權平均 其權重是其相應的概率 實質上它體現了X取值的真正平均 為此我們又稱它為X的均值 因為它完全由X的分布所決定 所以又稱為分布的平均值 2 E X 作為刻劃X的某種特性的數值 不應與各項的排列次序有關 所以 定義中要求級數絕對收斂 例1 設有某種產品投放市場 每件產品投放可能發(fā)生三種情況 按定價銷售出去 打折銷售出去 銷售不出去而回收 根據市場分析 這三種情況發(fā)生的概率分別為0 6 0 3 0 1 在這三種情況下每件產品的利潤分別為10元 0元 15元 即虧損15元 問廠家對每件產品可期望獲利多少 解 設X表示一件產品的利潤 單位元 X是隨機變量 且X的分布律為 依題意 所要求的是X的數學期望E X 10 0 6 0 0 3 15 0 1 4 5 元 2 幾種典型的離散型隨機變量的數學期望i X服從參數為p的 0 1 分布 E X 0 1 p 1 p p ii 若X B n p 則E X np 證明 X的分布律為 iii 若X P 則E X 證明 X的分布律為 2 連續(xù)型隨機變量的數學期望 1 定義設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f x 若積分絕對收斂 則稱此積分的值為隨機變量X的數學期望 記為E X 即 例1 若X N 2 求E X 解 X的概率密度為 特別地 若X N 0 1 則E X 0 1 幾個常見連續(xù)型隨機變量的數學期望i 若X U a b 則E X a b 2 證 X的概率密度為 ii 若X N 2 則E X iii 若X服從指數分布 則E X 1 3 隨機變量的函數的數學期望定理設Y是隨機變量X的函數 Y g X g是連續(xù)函數 1 X是離散型隨機變量 它的分布律為P X xk pk k 1 2 若絕對收斂 則有 2 X是連續(xù)型隨機變量 它的概率密度為f x 若絕對收斂 則有 注釋A 在計算隨機變量的函數Y g X 的期望時 我們可以先確定Y g X 的分布進而計算函數Y的期望E Y 但由前兩章的討論可以看出 確定Y g X 的分布并不容易 因此在計算隨機變量函數的期望時 我們一般利用定理的結論去計算 定理的重要意義在于當我們求E Y 時 不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了 B 在計算一些分布較復雜甚至難以確定的隨機變量的期望時 如能將X表示成有限個簡單隨機變量之和 那么利用期望的性質計算就可大大簡化我們的問題 這也是計算期望的一個技巧 C 上述定理還可以推廣到二個或二個以上隨機變量的函數情況 例如 設Z是隨機變量X Y的函數Z g X Y g是連續(xù)函數 那么 Z也是一個隨機變量 若二維隨機變量 X Y 的概率密度為f x y 則有 這里設上式右邊的積分絕對收斂 又若 X Y 為離散型隨機變量 其分布律為P X xi Y yj pij i j 1 2 則有 這里設上式右邊的級數絕對收斂 例 及 解 根據隨機變量函數數學期望的計算公式 有 求 例 及 解 根據隨機變量函數數學期望的計算公式 有 求 例 及 解 根據隨機變量函數數學期望的計算公式 有 求 完 例1 有5個相互獨立工作的電子裝置 它們的壽命Xk k 1 2 3 4 5 服從同一指數分布 其概率密度為 0 若將這5個電子裝置串聯工作組成整機 求整機壽命N的數學期望 解 Xk k 1 2 3 4 5 的分布函數為 1 由第三章知N min X1 X2 X3 X4 X5 的分布函數為 因而N的概率密度為 于是N的數學期望為 注對任意的隨機變量 其數學期望不一定存在 例如 1 隨機變量X的取值為 易驗證滿足分布律的兩個條件 但 發(fā)散 所以E X 不存在 2 隨機變量X的概率密度為 柯西分布 所以E X 不存在 三 數學期望的性質數學期望具有以下幾條重要性質 設以下所遇到的隨機變量的期望是存在的 1 C為常數 則有E C C 2 設X是一個隨機變量 C常數 則有E CX CE X 3 設X Y是兩個隨機變量 則有E X Y E X E Y 這一性質可以推廣到任意有限個隨機變量之和的情況 4 設X Y是相互獨立的隨機變量 則有 E XY E X E Y 這一性質可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況 5 若X 0 則E X 0 由此性質可推得下面性質 若X Y 則E X E Y E X E X 證 只對連續(xù)型隨機變量證明 3 和 4 設二維隨機變量 X Y 的概率密度為f x y 其邊緣概率密度為fX x fY y 因為 3 得證 又若X和Y相互獨立 此時f x y fX x fY y 故有 例 一民航送客車載有20位旅客自機場開出 旅客有10個車站可以下車 如到達一個車站沒 有旅客下車就不停車 求 設每位旅客在各個車站下車是等可能的 并設各旅客是否下車相互獨立 解 引入隨機變量 易知 例14 解 引入隨機變量 易知 現在來求 按題意 下車的概率為 因此20位旅客都不在第 站下車的概率為 概率為 即 例14 解 即 例14 解 即 由此 進而 次 注 然后利 用隨機變量和的數學期望等于隨機變量數學期望之 和來求數學期望的 這種處理方法具有一定的普遍 意義 完 第二節(jié)方差 例 甲 乙兩射手 各射擊十次 X Y分別表示他們射中的環(huán)數 如表 問哪一個選手技術較好 解 E X 9 0 E Y 9 0 但直觀上 他們射擊的水平有差異 甲較穩(wěn)定 相對與E X 的偏離較小 所以甲的技術較好 需要刻劃隨機變量在其中心位置附近分散程度的大小這一特征 其中最重要的是方差 二 方差的定義1 定義設X是一個隨機變量 若E X E X 2存在 則稱E X E X 2為X的方差 記為D X 或Var X 即 D X E X E X 2 注釋 1 方差是隨機變量X與其 中心 E X 的偏差平方的平均 它表達了X的取值與其期望值E X 的偏離程度 若X取值較集中 則D X 較小 反之 若取值較分散 則D X 較大 2 應用上 常用量 稱為標準差或均方差 記為 X 3 對任意的隨機變量D X 不一定存在 例如 Cauchy分布 因為E X 不存在 所以D X 不存在 2 方差的計算公式 2 D X E X2 E X 2證明 D X E X E X 2 E X2 2X E X E X 2 E X2 2E X E X E X 2 E X2 E X 2 例1 甲 乙兩射手的例中 例2 隨機變量X的概率密度為求E X D X 3 方差的性質假定以下所遇到的隨機變量的方差存在 1 設C是常數 則D C 0 2 設X是隨機變量 a是常數 則D aX a2D X 從而D aX b a2D X 3 設X Y是兩個相互獨立的隨機變量 則有D X Y D X D Y 證 D X Y E X Y E X Y 2 E X E X Y E Y 2 E X E X 2 E Y E Y 2 2E X E X Y E Y 由于X Y相互獨立 X E X 與Y E Y 也相互獨立 由數學期望的性質 2E X E X Y E Y 2E X E X E Y E Y 0于是得D X Y D X D Y 這一性質可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況 4 D X 0的充要條件是X以概率1取常數C 即 P X C 1 顯然 這里C E X 二 二項分布設X b n p 其分布律為 證 令Xi服從參數為P的 0 1 分布 i 1 2 n 且X1 X2 Xn相互獨立 則X1 X2 Xn b n p 于是E X E X1 X2 Xn np D X D X1 X2 Xn D X1 D X2 D Xn np 1 p npq 將X表示成n個隨機變量之和 可將方差的計算簡化 這是計算方差的一個技巧 則E X np D X npq 二 泊松分布設若X 其分布律為則E X D X 所以方差為D X E X2 E X 2 泊松分布只含一個參數 因而只要知道它的數學期望或方差就能