17.3方向?qū)?shù)與梯度.doc

數(shù)學(xué)分析下冊(cè) 第十七章 多元函數(shù)的微分學(xué) 3 方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)目的 掌握方向?qū)?shù)與梯度的定義，學(xué)會(huì)計(jì)算方向?qū)?shù)與梯度教學(xué)要求 掌握方向?qū)?shù)與梯度的定義，掌握方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算教學(xué)建議 (1) 適當(dāng)介紹引入方向?qū)?shù)和梯度的意義（物理意義和計(jì)算方法上的意義）(2) 對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)方向?qū)?shù)存在性與偏導(dǎo)數(shù)存在性和可微性的區(qū)別與聯(lián)系教學(xué)程序一、 方向?qū)?shù)：（一）、方向?qū)?shù)的定義：定義 設(shè)三元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 . 為從點(diǎn)出發(fā)的射線 . 為上且含于內(nèi)的任一點(diǎn) , 以表示與兩點(diǎn)間的距離 . 若極限 存在 , 則稱(chēng)此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù) , 記為 或 、.對(duì)二元函數(shù)在點(diǎn), 可仿此定義方向?qū)?shù) . 易見(jiàn) 、 和 是三元函數(shù)在點(diǎn)分別沿軸正向、軸正向和軸正向的方向?qū)?shù) .例1 =. 求在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù),其中 （1） 為方向; （2） 為從點(diǎn)到點(diǎn)的方向.解 （1） 為方向的射線為. 即 . , .因此 , （2） 從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向數(shù)為方向的射線為 . , ;.因此 , （二）、 方向?qū)?shù)的計(jì)算:定理: 若函數(shù)在點(diǎn)可微 , 則在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在 , 且 + +,其中、和為的方向余弦. ( 證 ) 對(duì)二元函數(shù), +, 其中和是的方向角.注: 由 + + =(, , ( , ),可見(jiàn) , 為向量, , 在方向上的投影. 例2 ( 上述例1 ) 解 （1） 的方向余弦為=, =, =. =1 , = , =.因此 , = + +=. （2） 的方向余弦為 =, =, = .因此 , =.可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件 , 但不必要 .二、 梯度 ( 陡度 ):（一）、梯度的定義: , , . |= .易見(jiàn) , 對(duì)可微函數(shù), 方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影.（二）、 梯度的幾何意義: 對(duì)可微函數(shù) , 梯度方向是函數(shù)變化最快的方向 . 這是因?yàn)?|.其中是與夾角. 可見(jiàn)時(shí)取最大值 , 在的反方向取最小值 .（三）、梯度的運(yùn)算:1 . 2 (+) = +. 3 () = +. 4 . 5 () = .證: 4 , . .總結(jié)：的方向表示數(shù)量場(chǎng)在分