高中數(shù)學(xué)算法初步章末小結(jié)與測(cè)評(píng)教學(xué)案新人教A版.docx

第一章 算法初步核心必知1預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P34P45，回答下列問(wèn)題(1)小學(xué)學(xué)過(guò)的求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是什么？提示：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)(2)輾轉(zhuǎn)相除法的操作步驟是什么？提示：兩個(gè)數(shù)中用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)，再用除數(shù)除以余數(shù)，如此重復(fù)，直到所得余數(shù)為0，即可求得兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)(3)更相減損術(shù)的操作步驟什么？提示：第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判定它們是否都是偶數(shù)若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)(4)應(yīng)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值時(shí)應(yīng)怎樣操作？提示：求多項(xiàng)式的值時(shí)，先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1anxan1，再由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式vk(k2,3,4，n)的值(5)將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是什么？提示：“除k取余法”2歸納總結(jié)，核心必記(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)輾轉(zhuǎn)相除法：又叫歐幾里得算法，是一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法更相減損術(shù)：我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)中介紹的一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法(2)秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)anxnan1xn1a1xa0的值時(shí)，常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值，共進(jìn)行n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算其過(guò)程是：改寫(xiě)多項(xiàng)式為：f(x)anxnan1xn1a1xa0(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0.設(shè)v1anxan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.(3)進(jìn)位制進(jìn)位制進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾其他進(jìn)位制與十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)化()其他進(jìn)位制化成十進(jìn)制其他進(jìn)位制的數(shù)化成十進(jìn)制時(shí)，表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式()十進(jìn)制化成k進(jìn)制的方法“除k取余法”問(wèn)題思考(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有什么聯(lián)系？提示：都是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法二者的實(shí)質(zhì)都是遞推的過(guò)程二者都是用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)(2)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有什么區(qū)別？提示：輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)別以除法為主兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算次數(shù)較少相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果以減法為主兩個(gè)整數(shù)的差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多相減，差與減數(shù)相等得結(jié)果相減前要做是否都是偶數(shù)的判斷(3)當(dāng)所給的多項(xiàng)式按x的降冪排列“缺項(xiàng)”時(shí)，用秦九韶算法改寫(xiě)多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)注意什么？提示：所缺的項(xiàng)寫(xiě)成系數(shù)為零的形式，即寫(xiě)成0xn的形式課前反思通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：(1)輾轉(zhuǎn)相除法是什么？ ；(2)更相減損術(shù)是什么？ ；(3)秦九韶算法是什么？ ；(4)進(jìn)位制及進(jìn)位制間的互化： .觀察如圖所示的內(nèi)容：思考1輾轉(zhuǎn)相除法的算理是什么？ 名師指津：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)思考2更相減損術(shù)的算理是什么？名師指津：所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)講一講1用輾轉(zhuǎn)相除法求612與468的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)所得結(jié)果嘗試解答用輾轉(zhuǎn)相除法：6124681144,468144336,144364，即612和468的最大公約數(shù)是36.用更相減損術(shù)檢驗(yàn)：612和468為偶數(shù)，兩次用2約簡(jiǎn)得153和117,15311736,1173681,813645,45369,36927,27918,1899，所以612和468的最大公約數(shù)為92236.求最大公約數(shù)的兩種方法步驟(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即利用帶余除法，用數(shù)對(duì)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對(duì)，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的較小數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)(2)利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的一般步驟是：首先判斷兩個(gè)正整數(shù)是否都是偶數(shù)若是，用2約簡(jiǎn)，也可以不除以2，直接求最大公約數(shù)，這樣不影響最后結(jié)果練一練1用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1 785的最大公約數(shù)；解：因?yàn)? 7858402105，8401058.所以840和1 785的最大公約數(shù)是105.觀察如圖所示的內(nèi)容：思考秦九韶算法的原理是什么？名師指津：秦九韶算法是按從內(nèi)到外的順序依次計(jì)算求值的設(shè)f(x)anxnan1xn1a1xa0，將其改寫(xiě)為f(x)(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0令v0an，則有公式其中k1,2，n.這樣我們便可由v0依次求出v1，v2，vn：v1v0xan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.講一講2利用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)x65x56x4x23x2當(dāng)x2時(shí)的值為()A320 B160C320 D300嘗試解答將多項(xiàng)式變式為f(x)(x5)x6)x0)x1)x3)x2，v01，v12(5)7，v27(2)620，v320(2)040，v440(2)181，v581(2)3159，v6159(2)2320，即x2時(shí)，多項(xiàng)式的值為320.答案：A利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值的關(guān)鍵是能正確地將所給多項(xiàng)式改寫(xiě)，然后由內(nèi)向外逐次計(jì)算，由于后項(xiàng)計(jì)算需用到前項(xiàng)的結(jié)果，故應(yīng)認(rèn)真、細(xì)心，確保中間結(jié)果的準(zhǔn)確性練一練2用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)1235x8x26x45x53x6在x4時(shí)的值時(shí)，v3的值為()A144 B136 C57 D34解析：選B根據(jù)秦九韶算法多項(xiàng)式可化為f(x)(3x5)x6)x0)x8)x35)x12.由內(nèi)向外計(jì)算v03；v13(4)57；v27(4)634；v334(4)0136.觀察如圖所示的內(nèi)容：思考1進(jìn)位制應(yīng)如何表示？名師指津：若一個(gè)數(shù)為十進(jìn)制數(shù)，其基數(shù)可以省略不寫(xiě)，若是其他進(jìn)位制，在沒(méi)有特別說(shuō)明的前提下，其基數(shù)必須寫(xiě)出，常在數(shù)的右下角標(biāo)明基數(shù)思考2常見(jiàn)的進(jìn)位制有哪些？名師指津：(1)二進(jìn)制：只使用0和1兩個(gè)數(shù)字；滿二進(jìn)一，如1110(2)(2)八進(jìn)制：使用0,1,2,3,4,5,6,7八個(gè)不同數(shù)字；滿八進(jìn)一，如7110(8)；(3)十六進(jìn)制：使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F(xiàn)這十六個(gè)不同的數(shù)碼，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)分別代表十進(jìn)制中的10,11,12,13,14,15；滿十六進(jìn)一，如F12E10(16)講一講3(1)把二進(jìn)制數(shù)101 101(2)化為十進(jìn)制數(shù)；(2)把十進(jìn)制數(shù)458轉(zhuǎn)化為四進(jìn)制數(shù)嘗試解答(1)101 101(2)1250241231220211203284145，所以二進(jìn)制數(shù)101 101(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為45.(2)45813 022(4)進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換方法(1)將k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是：先將這個(gè)k進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果(2)十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制，采用除k取余法，也就是除基數(shù)，倒取余練一練3(1)二進(jìn)制數(shù)算式1 010(2)10(2)的值是() A1 011(2) B1 100(2)C1 101(2) D1 000(2)(2)下列各組數(shù)中最小的數(shù)是()A1 111(2) B210(6)C1 000(4) D101(8)解析：(1)選B二進(jìn)制數(shù)的加法是逢二進(jìn)一，所以選B.(2)選A統(tǒng)一化為十進(jìn)制數(shù)為1 111(2)15；210(6)78；1 000(4)64；101(8)65.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點(diǎn)是會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，會(huì)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，會(huì)在不同進(jìn)位制間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化難點(diǎn)是會(huì)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值2本節(jié)課要掌握以下幾類問(wèn)題：(1)掌握求最大公約數(shù)的兩種方法步驟，見(jiàn)講1.(2)掌握秦九韶算法步驟，見(jiàn)講2.(3)進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換方法，見(jiàn)講3.3本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：(1)弄不清秦九韶算法的原理而致錯(cuò)，如講2；(2)進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)換的方法混淆而致錯(cuò)，如講3.課下能力提升(八)學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練題組1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1下列關(guān)于利用更相減損術(shù)求156和72的最大公約數(shù)的說(shuō)法中正確的是()A都是偶數(shù)必須約簡(jiǎn)B可以約簡(jiǎn)，也可以不約簡(jiǎn)C第一步作差為1567284；第二步作差為728412D以上都不對(duì)解析：選B約簡(jiǎn)是為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)捷，故不一定要約簡(jiǎn)，A錯(cuò)C中第二步應(yīng)為847212，故選B.2用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需做減法運(yùn)算的次數(shù)是()A2 B3 C4 D5解析：選C29484210,21084126,1268442,844242，共做4次減法運(yùn)算31 624與899的最大公約數(shù)是_解析：1 6248991725，8997251174，725174429，174296，故1 624與899的最大公約數(shù)是29.答案：294用兩種方法求210與98的最大公約數(shù)解：用輾轉(zhuǎn)相除法：21098214，98147.210與98的最大公約數(shù)為14.用更相減損術(shù)：210與98都是偶數(shù)，用2約簡(jiǎn)得105和49，1054956,56497，49742,42735，35728,28721，21714,1477.210與98的最大公約數(shù)為2714.題組2秦九韶算法5用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)7x66x53x22當(dāng)x4時(shí)的值時(shí)，先算的是()A4416 B7428C44464 D74634解析：選D因?yàn)閒(x)anxnan1xn1a1xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0，所以用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)7x66x53x22當(dāng)x4的值時(shí)，先算的是74634.6用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)3x64x55x46x37x28x1當(dāng)x0.4時(shí)的值時(shí)，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是()A6,6 B5,6 C5,5 D6,5答案：A7利用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)3x612x58x43.5x37.2x25x13當(dāng)x6時(shí)的值，寫(xiě)出詳細(xì)步驟解：f(x)(3x12)x8)x3.5)x7.2)x5)x13.v03，v1v061230，v2v168188，v3v263.51 124.5，v4v367.26 754.2，v5v46540 530.2，v6v5613243 168.2.所以f(6)243 168.2.題組3進(jìn)位制及其轉(zhuǎn)化8以下各數(shù)有可能是五進(jìn)制數(shù)的是()A15 B106 C731 D21 340解析：選D五進(jìn)制數(shù)中各個(gè)數(shù)字均是小于5的自然數(shù)，故選D.9完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化(1)1 034(7)_(10)；(2)119(10)_(6)解析：(1)1 034(7)17307237470368.(2)119(10)315(6)答案：(1)368(2)31510若k進(jìn)制數(shù)123(k)與十進(jìn)制數(shù)38相等，則k_.解析：由k進(jìn)制數(shù)123可知k4.下面可用驗(yàn)證法：若k4，則38(10)212(4)，不合題意；若k5，則38(10)123(5)成立，所以k5.答案：511若1 0b1(2)a02(3)，求數(shù)字a，b的值及與此相等的十進(jìn)制數(shù)解：1 0b1(2)a02(3)，123b21a322，且a只能取1,2，b只能取0,1.整理得9a2b7.當(dāng)b0時(shí)，a(不合要求，舍去)；當(dāng)b1時(shí)，a1.ab1.102(3)1 011(2)，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為132211.能力提升綜合練1用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)x33x22x11當(dāng)xx0時(shí)的值時(shí)，應(yīng)把f(x)變形為()Ax3(3x2)x11 B(x3)x2(2x11)C(x1)(x2)x11 D(x3)x2)x11解析：選Df(x)x33x22x11(x23x2)x11(x3)x2)x11，故選D.245和150的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別是()A5,150 B15,450 C450,15 D15,150解析：選B利用輾轉(zhuǎn)相除法求45和150的最大公約數(shù)：15045315,45153,45和150的最大公約數(shù)為15.45和150的最小公倍數(shù)為15(4515)(15015)450，故選B.3下列各數(shù)中，最小的是()A101 010(2) B111(5)C32(8) D54(6)解析：選C101 010(2)12502412302212102042,111(532(8)38128026,54(6)56146034.又42343126，故最小的是32(8)4(2016福州高一檢測(cè))三進(jìn)制數(shù)2 022(3)化為六進(jìn)制數(shù)為abc(6)，則abc_.解析：2 022(3)23303223123062.三進(jìn)制數(shù)2 022(3)化為六進(jìn)制數(shù)為142(6)，abc7.答案：75用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)15x8x210x36x412x53x6當(dāng)x4時(shí)的值時(shí)，v0，v1，v2，v3，v4中最大