M階差數(shù)列通項(xiàng)的求法.doc

m階差數(shù)列通項(xiàng)的求法摘要:人類研究數(shù)列已經(jīng)有悠久的歷史,有的數(shù)學(xué)家在這個領(lǐng)域里突破了許多難關(guān),就一般的等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的教求法，在高中教材中已經(jīng)給出，并介紹了探索的思想方法，但就解決一般的數(shù)列的通項(xiàng)求法則采用轉(zhuǎn)化的方法比較靈活，對于初學(xué)者來說比較難于把握，為了給一般數(shù)列建立一個模型，本文著重研究m 階差數(shù)列通項(xiàng)的求法，首先，任何課題的研究，不可避免地與已知概念相聯(lián)系，以已知概念為基礎(chǔ)。筆者從大量的等差數(shù)列（一階差數(shù)列）中發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列的通項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù)，試設(shè)想二階差數(shù)列、三階差數(shù)列m 階差數(shù)列的通項(xiàng)也是項(xiàng)數(shù)的二次、三次m次函數(shù)，在文中詳盡介紹函數(shù)表達(dá)式的存在性，建立m階差數(shù)列通項(xiàng)的一個模型用連續(xù)系統(tǒng)來證明離散化問題。關(guān)鍵詞：等差數(shù)列（一階差數(shù)列）、二階差數(shù)列、三階差數(shù)列、m階差數(shù)列。定義、一個數(shù)列中、每后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差、構(gòu)成一個新的數(shù)列、若在這個新數(shù)列中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差相等、原數(shù)列稱為二階差數(shù)列、類似地若三次、m次差相等、則稱為三階差數(shù)列m階差數(shù)列。下面研究，探索m階差數(shù)列通項(xiàng)的求法。大家熟知的自然數(shù)列1、2、3、n 的通項(xiàng)Sn=n,Sn是n的一次函數(shù)，又如1、3、5、7、9的通項(xiàng)Sn=2n-1，Sn是n的一次函數(shù)，那么是不是所有的一階數(shù)列的通項(xiàng)都是序數(shù)n的一次函數(shù)呢，我們可以通過證明來回答這個問題。設(shè)Sn=an+b（a,b為待定常數(shù)且a0）1N12345SnA+b2a+b3a+b4a+b5a+b(5a+b)-(4a+b)=( 4a+b)-( 3a+b)= ( 3a+b)- ( 2a-b)= ( 2a+b)- ( a+b)=a差為一定值a，那就是說所有的一階差數(shù)列的通項(xiàng)都是序數(shù)n的一次函數(shù)，研究二價差數(shù)列有兩個很有名的例子。例1、 求和1+2+3+n解：記S1=1, S2=1+2=3, S3=1+2+3=6, S4=1+2+3+4=10, Sn=1+2+3+n, 1 3 6 10 2 3 4 1 1所以二階差相等，是二價差數(shù)列。設(shè)二階差數(shù)列的通項(xiàng)為Sn=an2+bn+cN=1時，a+b+c=1,n=2時4a+2b+c=3,n=3時9a+3b+c=6,聯(lián)立成立方程組， 解關(guān)于a、b、c為未知數(shù)的方程組得： 所以通項(xiàng)為：Sn=n2+n=即1+2+3+n=，這跟教材中所得結(jié)果是一致的。于是有下面的命題：命題，二階差數(shù)列的通項(xiàng)可以用序數(shù)n的二次函數(shù)表示。證明：設(shè)Sn=an2+bn+c(sn表示通項(xiàng)，a、b、c為待定常數(shù)，n為序數(shù)，即項(xiàng)數(shù))，于是有，s1=a+b+c,s2=4a+2b+c,s3=9a+3b+cSn=an2+bn+c，因a+b+c, 4a+2b+c, 9a+3b+c, a(n-1)2+b (n-1)+c, an2+bn+c,3a+b, 5a+b （2n-3）a+b ,(2n-1)a+b 2a, 2a所以序數(shù)n的二次函數(shù)的二階差為定值2a即二階差數(shù)列的通項(xiàng)可以用序數(shù)的n的二次函數(shù)表示。例2、求知，12+22+32+n2解：記S1=12=1 S2=12+22=5 S3=12+22+32=14 S4=12+22+32+42=30 S5=12+22+32+42+52=55 S6=12+22+32+42+52+62=911 5 14 30 55 91 4 9 16 25 36 5 7 9 11 2 2 2此數(shù)列為三階差數(shù)列，通項(xiàng)可用序數(shù)n的三次函數(shù)表示，設(shè)Sn=an3+bn2+cn+d(a、b、c、d為待定常數(shù)，Sn為通項(xiàng))當(dāng)n=1、2、3、4時，分別有S1=1,S2=5,S3=14,S4=30,代入所設(shè)函數(shù)關(guān)系中，得解此方程組,得Sn=n3+n2+n=這與教材所得結(jié)果是一致的，于是有下面的命題：命題，三階差數(shù)列的通項(xiàng)可以用序數(shù)n的三次函數(shù)表示。證明：設(shè)自變量為序數(shù)n的三次函數(shù)表達(dá)式為Sn=an3+bn2+cn+d(a、b、c、d為待定常數(shù)，Sn為通項(xiàng))所以有，S1=a+b+c+d,S2=8a+4b+2c+d,S3=27a+9b+3c+d,S4=64a+16b+4c+d S5=125a+25b+5c+dSn-3=a(n-3)3+b(n-3)2+c(n-3)+d Sn-2=a(n-2)3+b(n-2)2+c(n-2)+d Sn-1=a(n-1)3+b(n-1)2+c(n-1)+d Sn=an3+bn2+cn+d 記A1=s2-s1, A2=S3-S2,A3=S4-S3An-1=Sn-Sn-1則A1=7a+3b+c,A2=19a+5b+c,A3=37a+7b+c A4=61a+9b+c,An-3=(3n2-15n+19)a+(2n-5)b+c An-2=(3n2-9n+7)a+(2n-3)b+c An-1=(3n2-3n+1)a+(2n-1)b+c記B1=A2-A1，B2=A3-A2，B3=A4-A3，Bn-2=An-1-An-2B1=12a+2b B2=18a+2b B3=24a+2b Bn-3=(6n-12)a+2b, Bn-2=(6n-6)a+2b記C1=B2-B1, C2=B3-B2, Cn-3=Bn-2-Bn-3C1=6a, C2=6a,Cn-3=6a,即三次差之后為定值6a，關(guān)于序數(shù)n的三次函數(shù)的階差相等，構(gòu)成一個三階差數(shù)列，因此三階差數(shù)列的通項(xiàng)可用序數(shù)n的三次函數(shù)表示。由以上對一階差數(shù)列、二階差數(shù)列、三階差數(shù)列的研究結(jié)果表明：命題，m階差數(shù)列的通項(xiàng)可用序數(shù)n的m次函數(shù)表示。證明：設(shè)序數(shù)n的m次函數(shù)表達(dá)式為： Sn=a0nm+a1nm-1+a2nm-2+am(其中，a0、a1、a2am為待定常數(shù)，Sn為通項(xiàng))首先證明表達(dá)式的存在性，n=1,2,3,m+1時，有方程組：(n+1)(3)(1)(2)線性方程組的系數(shù)行列式為：0（范德蒙行列式）2根據(jù)克萊姆法則，線性方程組系數(shù)行列式不等于零，方程組有唯一解3。因此，表達(dá)式存在且待定常數(shù)可求。下面證明序數(shù)n的m次函數(shù)表示的是一個m階差數(shù)列，若用二階差、三階差的方法證明，序數(shù)n的m次函數(shù)相減m次后差為定值，則操作起來會比較麻煩，且不易撐握，我們不妨換一種方法，把問題轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)：定義，函數(shù)y=f(x)在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，設(shè)在x0自變量x的改變量是x，相應(yīng)函數(shù)的改變量是y=f(x0+x)-f(x0),如果極限 存在稱函 f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），此極限稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)（或微商）表為，f(x0)或即f(x0)= 或= 4在求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)中，xR，實(shí)數(shù)是連續(xù)的，在我們所討論的問題中，自變量n是連續(xù)自然數(shù)，是離散的。因此所以對Sn=a0nm+a1nm-1+a2nm-2+am求m階導(dǎo)數(shù)，即：一階導(dǎo)數(shù)=ma0nm+(m-1)a1nm-1+(m-2)a2nm-2+am-1二階導(dǎo)數(shù)=m(m-1)a0nm-2+(m-1)(m-2)a1nm-3+am-2M階導(dǎo)數(shù)s(nm)=m(m-1)(m-2)3、2、1a0=m!a0 5這就是說序數(shù)n的m次函數(shù)，sn=a0nm+a1nm-1+a2nm-2+am為通項(xiàng)的數(shù)列，相減m次后，差為定值m!a0,因此，此數(shù)列為m階差數(shù)列