高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6.4 數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列求和精品課件 新人教A版.ppt

要點(diǎn)梳理1 若已知數(shù)列 an 滿足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 則可用求數(shù)列的通項(xiàng)an 2 若已知數(shù)列 an 滿足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 則可用求數(shù)列的通項(xiàng)an 6 4數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)列求和 累加法 累積法 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 3 等差數(shù)列前n項(xiàng)和sn 推導(dǎo)方法 等比數(shù)列前n項(xiàng)和推導(dǎo)方法 乘公比 錯(cuò)位相減法 sn na1 q 1 q 1 倒序相加法 4 常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n 3 1 3 5 2n 1 4 12 22 32 n2 5 13 23 33 n3 n2 n n2 5 1 分組求和 把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列 2 拆項(xiàng)相消 有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式 相加過(guò)程消去中間項(xiàng) 只剩有限項(xiàng)再求和 3 錯(cuò)位相減 適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和 4 倒序相加 例如 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo) 6 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有 基礎(chǔ)自測(cè)1 已知等比數(shù)列 an a1 3 且4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 則a3 a4 a5等于 a 33b 72c 84d 189解析由題意可設(shè)公比為q 則a2 a1q a3 a1q2 4a2 4a1 a3 4a1q 4a1 a1q2 又a1 3 q 2 a3 a4 a5 a1q2 1 q q2 3 4 1 2 4 84 c 2 如果數(shù)列 an 滿足a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首項(xiàng)為1 公比為3的等比數(shù)列 則an等于 a b c d 解析a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an c 3 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式是an 其中前n項(xiàng)和sn 則項(xiàng)數(shù)n等于 a 13b 10c 9d 6解析 an sn n n 1 而 d 4 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 2n 1 則數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為 a 2n n2 1b 2n 1 n2 1c 2n 1 n2 2d 2n n2 2解析sn 2n 1 2 n2 c 5 數(shù)列的前n項(xiàng)和為 a b c d 解析由數(shù)列通項(xiàng)公式得前n項(xiàng)和 b 題型一由遞推公式求通項(xiàng)公式 例1 分別求滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 設(shè) an 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列 且 n 1 an 1an 0 n 1 2 3 2 已知數(shù)列 an 滿足an 1 a1 2 依據(jù)已知數(shù)列的遞推關(guān)系適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變形 可尋找數(shù)列的通項(xiàng)的差an an 1或通項(xiàng)的商的規(guī)律 思維啟迪 題型分類(lèi)深度剖析 解 1 方法一 數(shù)列 an 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列 anan 1 0 1 0 令 t n 1 t2 t n 0 n 1 t n t 1 0 t 或t 1 舍去 即 方法二由 n 1 an 1an 0 得n an 1 an 1 an 0 即 an 1 an n 1 an 1 nan 0 an 0 an 1 an 0 n 1 an 1 nan 0 即 2 將已知遞推式化為將以上 n 1 個(gè)式子相加得 探究提高已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式這類(lèi)問(wèn)題要求不高 主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng) 再歸納 猜想an的方法 以及累加 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 累乘 an 等方法 知能遷移1由已知在數(shù)列 an 中a1 1 求滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式 1 an 1 2 an 1 2an 2n 1 解 1 因?yàn)閷?duì)于一切n n an 0 因此由an 1 得即 數(shù)列是等差數(shù)列 n 1 2 2n 1 即an 2 根據(jù)已知條件得即 數(shù)列是等差數(shù)列 即an 2n 1 2n 1 題型二錯(cuò)位相減法求和 例2 設(shè)數(shù)列 an 滿足a1 3a2 32a3 3n 1an n n 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng) 2 設(shè)bn 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和sn 1 由已知寫(xiě)出前n 1項(xiàng)之和 兩式相減 2 bn n 3n的特點(diǎn)是數(shù)列 n 與 3n 之積可用錯(cuò)位相減法 解 1 a1 3a2 32a3 3n 1an 當(dāng)n 2時(shí) a1 3a2 32a3 3n 2an 1 思維啟迪 得3n 1an an 在 中 令n 1 得a1 適合an an 2 bn bn n 3n sn 3 2 32 3 33 n 3n 3sn 32 2 33 3 34 n 3n 1 得2sn n 3n 1 3 32 33 3n 即2sn n3n 1 探究提高解答本題的突破口在于將所給條件式視為數(shù)列 3n 1an 的前n項(xiàng)和 從而利用an與sn的關(guān)系求出通項(xiàng)3n 1an 進(jìn)而求得an 另外乘公比錯(cuò)位相減是數(shù)列求和的一種重要方法 但值得注意的是 這種方法運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜 運(yùn)算量大 應(yīng)加強(qiáng)對(duì)解題過(guò)程的訓(xùn)練 重視運(yùn)算能力的培養(yǎng) 知能遷移2 2008 全國(guó) 文 19 在數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 設(shè)bn 證明 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 1 證明 an 1 2an 2n bn bn 1 bn 1 即bn 1 bn 1 b1 1 故數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為1 公差為1的等差數(shù)列 2 解由 1 知 bn n an n 2n 1 則sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 12sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n兩式相減 得sn n 2n 1 20 21 2n 1 n 2n 2n 1 題型三分組轉(zhuǎn)化求和 例3 求和sn 1 數(shù)列的通項(xiàng)an 2 求sn可用分組求和法 解和式中第k項(xiàng)為 思維啟迪 探究提高先將求和式中的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)分組調(diào)整 使之每一個(gè)組為等差或等比數(shù)列 然后分別求和 從而得出原數(shù)列的和 它是通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析研究 將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)能求和的新數(shù)列的和或差 從而求得原數(shù)列的和的一種求和方法 解前n項(xiàng)和為sn 1 1 1 4 7 3n 2 設(shè)s1 當(dāng)a 1時(shí) s1 n 當(dāng)a 1時(shí) s1 知能遷移3求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和 s2 1 4 7 3n 2 當(dāng)a 1時(shí) sn s1 s2 當(dāng)a 1時(shí) sn s1 s2 題型四裂項(xiàng)相消法求和 例4 12分 已知數(shù)列 an 中 a1 1 當(dāng)n 2時(shí) 其前n項(xiàng)和sn滿足 1 求sn的表達(dá)式 2 設(shè)bn 求 bn 的前n項(xiàng)和tn 解 1 an sn sn 1 n 2 sn sn 1 sn 即2sn 1sn sn 1 sn 3分由題意sn 1 sn 0 式兩邊同除以sn 1 sn 得 數(shù)列是首項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列 4分 1 2 n 1 2n 1 sn 6分 2 又bn 8分 tn b1 b2 bn12分使用裂項(xiàng)法求和時(shí) 要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng) 保留了哪些項(xiàng) 切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng) 未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn) 實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的 探究提高 知能遷移4已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)a1 1 公差d 0 且第二項(xiàng) 第五項(xiàng) 第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng) 第三項(xiàng) 第四項(xiàng) 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)bn n n sn b1 b2 bn 是否存在最大的整數(shù)t 使得對(duì)任意的n均有sn 總成立 若存在 求出t 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解 1 由題意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理得2a1d d2 a1 1 解得d 2 d 0 舍 an 2n 1 n n 2 bn sn b1 b2 bn假設(shè)存在整數(shù)t滿足sn 總成立 又sn 1 sn 0 數(shù)列 sn 是單調(diào)遞增的 s1 為sn的最小值 故 即t 9 又 t n 適合條件的t的最大值為8 方法與技巧1 求數(shù)列通項(xiàng)的方法技巧 1 通過(guò)對(duì)數(shù)列前若干項(xiàng)的觀察 分析 找出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的統(tǒng)一對(duì)應(yīng)關(guān)系 猜想通項(xiàng)公式 2 理解數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間滿足an sn sn 1 n 2 的關(guān)系 并能靈活運(yùn)用它解決有關(guān)數(shù)列問(wèn)題 2 an的兩種常見(jiàn)變形an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 累加法 an a1 累乘法 思想方法感悟提高 3 數(shù)列求和的方法技巧 1 倒序相加 用于等差數(shù)列與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和 2 錯(cuò)位相減 用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和 3 分組求和 用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和數(shù)列的求和 失誤與防范1 直接用公式求和時(shí) 注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程 2 重點(diǎn)通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律 在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上 判斷求和類(lèi)型 尋找求和的方法 或拆為基本數(shù)列求和 或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和 求和過(guò)程中同時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷 3 含有字母的數(shù)列求和 常伴隨著分類(lèi)討論 一 選擇題1 等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 2n 1 數(shù)列bn 其前n項(xiàng)和為sn 則sn等于 a b c d 以上都不對(duì) 定時(shí)檢測(cè) 解析 an 2n 1 答案b 2 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 an 2n 則a10等于 a 1024b 1023c 2048d 2047解析利用疊加法及等比數(shù)列求和公式 可求得a10 210 1 1023 b 3 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn n2 4n 2 則 a1 a2 a10 等于 a 66b 65c 61d 56解析當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 1 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 n2 4n 2 n 1 2 4 n 1 2 2n 5 a2 1 a3 1 a4 3 a10 15 a1 a2 a10 1 1 2 64 66 a 4 數(shù)列1 1 2 1 2 4 1 2 22 2n 1 的前n項(xiàng)和sn 1020 那么n的最小值是 a 7b 8c 9d 10解析 1 2 22 2n 1 2n 1 sn 2 22 2n n n 2n 1 2 n 若sn 1020 則2n 1 2 n 1020 n 10 d 5 若數(shù)列 an 的通項(xiàng)為an 4n 1 bn n n 則數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和是 a n2b n n 1 c n n 2 d n 2n 1 解析a1 a2 an 4 1 1 4 2 1 4n 1 4 1 2 n n 2n n 1 n 2n2 n bn 2n 1 b1 b2 bn 2 1 1 2 2 1 2n 1 n2 2n n n 2 c 6 數(shù)列an 其前n項(xiàng)之和為 則在平面直角坐標(biāo)系中 直線 n 1 x y n 0在y軸上的截距為 a 10b 9c 10d 9解析數(shù)列的前n項(xiàng)和為 直線方程為10 x y 9 0 令x 0 得y 9 在y軸上的截距為 9 b 二 填空題7 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 2n 1 則 解析當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 1 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 又 a1 1適合上式 an 2n 1 4n 1 數(shù)列 是以 1為首項(xiàng) 以4為公比的等比數(shù)列 8 已知數(shù)列2008 2009 1 2008 2009 這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和 則這個(gè)數(shù)列的前2009項(xiàng)之和s2009等于 解析由題意an 1 an 1 an an an 2 an 1 兩式相加得an 2 an 1 an 5 an 1 即 an 是以6為周期的數(shù)列 2009 334 6 5 a1 a2 a2009 a1 a2 a3 a4 a5 2008 2009 1 2008 2009 1 即s2009 1 1 9 有限數(shù)列 an 中 sn為 an 的前n項(xiàng)和 若把稱(chēng)為數(shù)列 an 的 優(yōu)化和 現(xiàn)有一個(gè)共2009項(xiàng)的數(shù)列 a1 a2 a3 a2009 若其 優(yōu)化和 為2010 則有2010項(xiàng)的數(shù)列 1 a1 a2 a3 a2009的優(yōu)化和為 解析依題意 s1 s2 s2009 2009 2010 又?jǐn)?shù)列1 a1 a2 a2009相當(dāng)于在數(shù)列a1 a2 a2009前加一項(xiàng)1 其優(yōu)化和為 2010 三 解答題10 數(shù)列 an 中 a1 3 an an 1 2n 1 0 n n 且n 2 1 求a2 a3的值 2 證明 數(shù)列 an n 是等比數(shù)列 并求 an 的通項(xiàng)公式 3 求數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 1 解 a1 3 an an 1 2n 1 0 n n 且n 2 a2 a1 4 1 6 a3 a2 6 1 1 2 證明 數(shù)列 an n 是首項(xiàng)為a1 1 4 公比為 1的等比數(shù)列 an n 4 1 n 1 即an 4 1 n 1 n an 的通項(xiàng)公式是an 4 1 n 1 n n n 3 解 an 4 1 n 1 n n n sn a1 a2 an 4 1 0 1 4 1 1 2 4 1 2 3 4 1 n 1 n 4 1 0 1 1 1 2 1 n 1 1 2 3 n 2 1 1 n 11 已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) sn為其前n項(xiàng)和 對(duì)于任意的n n 滿足關(guān)系式2sn 3an 3 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式是bn 前n項(xiàng)和為tn 求證 對(duì)于任意的正數(shù)n 總有tn 1 2sn 3an 3 2sn 1 3an 1 3 n 2 故2 sn sn 1 2an 3an 3an 1 即an 3an 1 n 2 1 解由已知得 故數(shù)列 an 為等比數(shù)列 且公比q 3 又當(dāng)n 1時(shí) 2a1 3a1 3 a1 3 an 3n 2 證明 bn tn b1 b2 bn 12 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 對(duì)一切正整數(shù)n 點(diǎn) n sn 都在函數(shù)f x 2x 2 4的圖象上 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)bn anlog2an 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn 解