代數(shù)結(jié)構(gòu)與初等數(shù)論2014下試卷A.doc

制卷人簽名： 制卷日期： 審核人簽名： 審核日期： 裝 訂線 湘潭大學20 年 學期級代數(shù)結(jié)構(gòu)與初等數(shù)論試卷（A卷） 適用年級專業(yè) 考試方式閉卷 考試時間 120 分鐘學院 信息工程學院 專業(yè) 計算機科學與技術(shù) 班級 學號 姓名 題號一二三四五六七八總分閱卷教師得分得分一、單項選擇題（共20分，每小題2分）1、設(shè)都是整數(shù)。于是，若 則（ ）。A ； B； C； D。2、質(zhì)數(shù)和整數(shù)互質(zhì)當且僅當（ ）。A ； B； C； D。3、6階群的子群不可能是（ ）群。A 2階； B5階； C3階； D6階。4、下列運算中在自然數(shù)集合N上可結(jié)合的是（ ）A ； B； C； D。5、設(shè)Q為有理數(shù)集，在Q上定義運算*為。于是，的幺元是（ ）。A ； B0； C； D1。6、設(shè)H和K都是G的子群。于是，（ ）也是G的子群。 AHK； B； CH-K D. 。7、設(shè)G是非空有限集合，若定義在G上的乘法運算是封閉的且滿足結(jié)合律和消去律，則G（ ）。A不一定是群； B一定不是群； C一定是群。 8、對于任意一個環(huán)R，在R中（ ）。A有零元并且有幺元； B有零元但不一定有幺元； C有零元無幺元；9、設(shè)S=1,2,100，x, y S，下面定義的運算關(guān)于集合S封閉的是（ ）。Axy=x+y； Bxy=x除y的余數(shù)； Cxy=maxx, y； D. xy=x,y的最小公倍數(shù)。10、設(shè)L，和L，是兩個等價的格，x，yL。于是xy=y當且僅當xy=x當且僅當（ ）。Axy； Bxy； Cy x； D. yx。得分二、填空題（共20分，每個空格1分） 1、設(shè)S是非空有限集，代數(shù)系統(tǒng)中，關(guān)于運算的幺元為 ,零元為 。2、當有限群的階為 時，它無非平凡子群。3、設(shè)Z是整數(shù)集，則循環(huán)群的生成元為 和 ，周期均為 。4、無限循環(huán)群共有 個生成元，若一個生成元為, 則另一個為 。5、任何質(zhì)數(shù)階的群必是 群，并且其子群必是 。6、設(shè)R是一個環(huán)，若R除自己和(0)外沒有別的理想，則R稱為 環(huán)。7、設(shè)H是群G的子群，a，bG。于是，任意兩個左陪集aH和bH或者 ，或者 。8、若R是一個環(huán)，則R對它的乘法不可能作成一個群。因為 。9、設(shè)L，是一個代數(shù)格，于是，運算和滿足結(jié)合律、 和 。10、設(shè)L，是有界格，a，bL，若a和b互為余元素，則有ab= 和ab= 。11、循環(huán)群的生成元為 和 。得分三、判斷題（共20分，每小題2分。你認為正確的請在題后的括號內(nèi)打“”，否則打“”）1. 若和互質(zhì)，而，則必有。 （ ）2. 若和都互質(zhì)，則和不一定互質(zhì)。 （ ）3 設(shè)、是整數(shù)，且，于是， （ ）4. 設(shè)、是整數(shù)。若且，則 （ ）5 域必是整環(huán)，但整環(huán)不一定是域。 （ ）6 無限循環(huán)群的所有子群都是無限循環(huán)群。 （ ）7 設(shè)H是G的正規(guī)子群，于是，對任意的aG，hH，有ah=ha成立。 （ ）8 設(shè)R是實數(shù)集，“”是數(shù)值間的小于等于關(guān)系，S=xR|0 x 1，于是，S，是一個格。（ ）9 設(shè)L，是任意一個有限格，于是，L的任意非空子集S都有一個最大下界和最小上界。 （ ）10 設(shè)L，是一個有余格，于是，L中的每一個元素恰有一個余元素。 （ ）得分四、簡答題（共20分）1、解同余方程（4分）根據(jù)2、設(shè)Q為有理數(shù)集，在Q上定義運算為：，其中，“+”和“-”為普通數(shù)的加、減運算。請回答以下問題（6分，每小題2分）：(1) 求代數(shù)系統(tǒng)中的幺元，即對任意，滿足的。(2) 求中元素的逆元（若存在），即滿足（幺元）的。(3) 試計算。3、設(shè)和為域上的多項式。試列出被除的豎式并給出商式和余式。（4分）4、設(shè)G是非零實數(shù)集合，在G上定義的運算為數(shù)的普通乘法。請指出下述映射哪些是G到G的同態(tài)映射，并給出其同態(tài)核ker()。（6分，每小題1分） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 得分五、 證明題（共20分，每小題5分）1、設(shè)N為自然數(shù)集合，。試證