配方法解一元二次方程.doc

“配方法解一元二次方程”說課 于曉靜：北京市十一學(xué)校 中學(xué)高級(jí) 一、教材的地位和作用配方法是以配方為手段、以平方根定義為依據(jù)解一元二次方程的一種基本方法，其中所涉及的完全平方式、求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根以及解一元一次方程等都是學(xué)生已有的知識(shí)與技能，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)技能方面的基礎(chǔ)。 本節(jié)在此基礎(chǔ)上，通過經(jīng)歷探索解方程的過程，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)思想，總結(jié)配方法的基本步驟。 配方法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在二次根式、代數(shù)式的變形及二次函數(shù)中都有廣泛應(yīng)用，也 是進(jìn)一步完善方程體系的有效載體。 二、教學(xué)目標(biāo) 1 知識(shí)與技能： （ 1）理解配方法的意義，會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； （ 2）在學(xué)習(xí)的過程，體會(huì)配方法的運(yùn)用， 進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感，提高代數(shù)運(yùn)算能力。 2 過程與方法： 通過探索配方法的過程，讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 3 情感與態(tài)度： 學(xué)生在獨(dú)立思考中感受探究的興趣，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值， 促進(jìn)形成學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。 三、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：配方并運(yùn)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。 難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)并理解配方的方法。 因本節(jié)課中研究的方程不具備直接開平方法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，需要合理添加條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即 “配方 ”，所以 如何配方就成為本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)，如何找到對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)成為解決問題的關(guān)鍵。 弄清楚配方法就是將方程變形為熟悉的能用直接開平方法求解的形式，在這里關(guān)鍵要掌握配方的方法，也就是配方法解一元二次方程的基本步驟，這是基本，也是關(guān)鍵。 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)過程設(shè)計(jì)為以下五個(gè)環(huán)節(jié)： 環(huán)節(jié)一：引出新知； 環(huán)節(jié)二：探索與發(fā)現(xiàn)； 環(huán)節(jié)三：歸納與概括； 環(huán)節(jié)四：鞏固與應(yīng)用； 環(huán)節(jié)五：回顧與反思。 環(huán)節(jié)一：引出新知 通過問題 1：具有什么結(jié)構(gòu)特征的一元二次方程能用直接開平方法解？你能舉出這樣的例子嗎？ 喚起學(xué)生的回憶，明確能用直接開平方法解的方程的特點(diǎn)是：等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，即 。這是后面配方轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，也是對(duì)比研究的基礎(chǔ)。 通過對(duì)問題 2中： （ 1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） 這四個(gè)方程的觀察與求解，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)能用直接開平方法求解的方程都可以轉(zhuǎn)化成一般形式，一般形式的方程也能逆向轉(zhuǎn)化為可以直接開平方的形式，所以總結(jié)出解一元二次方程的基本思路是將 形式轉(zhuǎn)為 的形式，而怎樣轉(zhuǎn)化就成為探索的方向，如何進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化則是下一步探究活動(dòng)的核心。 環(huán)節(jié)二：探索與發(fā)現(xiàn) 這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，共分為兩部分。 第一部分，通過“做一做 ”引發(fā)學(xué)生思考，在二次項(xiàng)系數(shù)為 1的完全平方公式左邊，常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)具有怎樣的關(guān)系。以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究的形式展開，以小組合作探究的方式總結(jié)，目的是使學(xué)生能夠體會(huì)并理解完全平方公式的特點(diǎn)，從而達(dá)到對(duì)配方法的完全理解，實(shí)現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)的理解和教學(xué)難點(diǎn)的突破。學(xué)生總結(jié)出規(guī)律后，然后通過完全平方公式給出證明，體現(xiàn)從特殊到一般的思維過程以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。 第二部分，設(shè)計(jì)了兩道例題，第（ 1）是二次項(xiàng)系數(shù)為 1的情況，第（ 2）題是二次項(xiàng)系數(shù)不為 1的情況。通過對(duì)例（ 1） 的分析，使學(xué)生明確對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是 1的一元二次方程，配方時(shí)要注意在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，同時(shí)規(guī)范配方法解方程時(shí)的一般步驟。 對(duì)于對(duì)例（ 2）二次項(xiàng)的系數(shù)不為 1的一元二次方程的觀察與分析，讓學(xué)生思考解決的辦法，通過把系數(shù)化為 1，將其轉(zhuǎn)化為系數(shù)為 1的方程，目的是通過這樣的思考讓學(xué)生把新知識(shí)及時(shí)納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并能認(rèn)識(shí)到新知識(shí)可以通過舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化得到。 在這兩道例題的分析過程中，特別注意了每一步的方法及依據(jù)是什么，讓學(xué)生明確是怎樣一步步實(shí)現(xiàn)配方的，并理解每一步的算理是什么。 例（ 1） ；（ 2）（ 1） （ 2）解： 環(huán)節(jié)三：歸納與概括 在完成上述探究活動(dòng)后，提出問題 4、 5，引導(dǎo)學(xué)生回顧探究過程，進(jìn)行階段性小結(jié)。明確配方的目的是通過配成完全平方形式來(lái)解方程。對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不是 1的一元二次方程，配方時(shí)要注意首先把二次項(xiàng)系數(shù)化 1，然后兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。 問題 4：配方的目的是什么？配方時(shí)應(yīng)注意什么？ 問題 5：通過上述題目，你能歸納出配方法求一元二次方程的步驟嗎？ （ 1）二次項(xiàng)系數(shù)化 1； （ 2）常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)； （ 3）方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； （ 4）配成完全平方的形式； （ 5）利用直接開平方法求解。 環(huán)節(jié)四：鞏固與應(yīng)用在此環(huán)節(jié)中設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)，練習(xí) 1通過辨析幾個(gè)一元二次方程的解法，找出出錯(cuò)的原因，加深對(duì)配方法過程的理解。 練習(xí) 2中，師生共同關(guān)注一元二次方程中一次項(xiàng)系數(shù)不同時(shí)，對(duì)于配方規(guī)律的進(jìn)一步運(yùn)用。通過解一次項(xiàng)系數(shù)分別是正偶數(shù)、負(fù)奇數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)的一元二次方程，層層深入地加深對(duì)配方規(guī)律的認(rèn)識(shí)。（ 3）（ 4）兩個(gè)題目練習(xí)二次項(xiàng)系數(shù)不為 1的情況，鞏固利用配方法解方程的基本技能。 練習(xí) 1：認(rèn)真觀察下面方程的解法是否正確 練習(xí) 2：用配方法解方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 環(huán)節(jié)五：回顧與反思 圍繞以下三個(gè)問題，讓學(xué)生展開討論： 1 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么數(shù)學(xué)方法？ 2 我們獲得這個(gè)方法，經(jīng)歷