《向量的數(shù)乘運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計.doc

2.2.3 向量的數(shù)乘運算及幾何意義教學(xué)設(shè)計溫江二中 何汝兵一、教材分析：向量具有豐富的實際背景和幾何背景，向量既有大小，又有方向.但是引進向量，而不研究它的運算，則向量只是起到一個路標的作用；向量只有引進運算后才顯得威力無窮.本章從第二節(jié)開始學(xué)習向量的加法、減法運算及其幾何意義；本節(jié)接著學(xué)習向量的數(shù)乘運算及其幾何意義.向量數(shù)乘運算以及加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運算，向量的數(shù)乘運算其實是加法運算的推廣及簡化.教學(xué)時從加法入手，引入數(shù)乘運算，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量，既有大小，又有方向.特別是方向與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理.這樣平面內(nèi)任意一條直線就可以用點A和某個向量表示了.共線向量定理是本章節(jié)的重要的內(nèi)容，應(yīng)用相當廣泛，且容易出錯，尤其是定理的前提條件：向量是非零向量.共線向量的應(yīng)用主要用于證明點共線或線平行等，且與后學(xué)的知識有著密切的聯(lián)系.二、學(xué)情分析： 學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習了近一學(xué)期的高中課程內(nèi)容后，在思想和思維模式上已經(jīng)適應(yīng)了高中的課程和高中的教學(xué)方式。學(xué)生能適應(yīng)自主探究、師生互動的學(xué)習方式，動手操作能力強，勇于創(chuàng)新，敢于發(fā)表自己的見解。只要教師創(chuàng)設(shè)情境合理，精心設(shè)計問題串，循序漸進層層深入，學(xué)生能很快地構(gòu)建起新的數(shù)學(xué)知識，教師只要作必要的歸納，就會幫助學(xué)生上升到理性認識的層面。同時為了更熟練地掌握知識和應(yīng)用知識，需加強學(xué)生的課堂練習。三、教學(xué)目標：1、知識與技能 通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運算法則及其幾何意義的過程，掌握實數(shù)與向量積的定義；理解實數(shù)與向量積的幾何意義；掌握實數(shù)與向量積的運算律。2、過程與方法通過師生互動理解兩個向量共線的等價條件，能夠運用兩向量共線條件判斷兩向量是否平行，進而判定點共線或直線平行。3、情感態(tài)度與價值觀通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法（從特殊到一般、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、觀察、猜想、歸納、類比、總結(jié)等）；培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進取精神；通過具體問題，體會數(shù)學(xué)在實際生活中的重要作用。四、教學(xué)重難點教學(xué)重點：1理解并掌握向量數(shù)乘的定義及幾何意義；2熟練地掌握和運用實數(shù)與向量積的運算律；3掌握向量共線定理，會判定或證明兩向量共線。教學(xué)難點：對向量共線的等價條件的理解以及運用。五、教具選取三角板、投影儀、多媒體輔助教學(xué)。六、教學(xué)基本流程實例引入 探究：觀察、發(fā)現(xiàn)和類比 向量數(shù)乘運算的定義及其幾何意義口答題、練習題向量數(shù)乘運算律及其幾何意義例1及鞏固練習練習共線向量定理例3、例4講解歸納總結(jié)變式一、變式二講解例2講解課堂作業(yè)課堂小結(jié)作業(yè)布置七、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖復(fù)習回顧向量的加法、向量的減法教師提問學(xué)生回答復(fù)習回顧，引發(fā)新知引入新課已知非零向量，作出+和（）+（）+（）想一想：它們的大小和方向有什么變化？學(xué)生作圖，觀察并思考認識和理解向量數(shù)乘的幾何意義必須從幾何直觀入手，即通過讓學(xué)生自己作圖，以及獨立觀察、思考，讓學(xué)生對向量的伸縮有一個初步的感性認識，進而為下一步對向量的數(shù)乘的定義及其幾何意義的理性認識作好鋪墊。新課講解實數(shù)與向量的積的定義：一般地，實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當 時，問題1：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)與向量的積？小組合作交流，學(xué)生單獨作答通過引出向量的數(shù)乘的定義，讓學(xué)生體會從特殊到一般的思想方法問題2：你能說明它的幾何意義嗎？小組合作交流，學(xué)生單獨作答從從直觀入手，從具體開始，逐步抽象。通過師生互動，得到向量數(shù)乘的幾何意義是把向量沿的方向或反方向伸長或縮短倍。說一說：抽學(xué)生回答，并指出其幾何意義通過簡單口答題來鞏固學(xué)生對向量數(shù)乘的理解及應(yīng)用，同時滲透幾何問題向量化的一種思考方式。練一練：教材P90 練習2、3題學(xué)生單獨作答從心理學(xué)認為：概念一旦形成，必須及時鞏固實數(shù)與向量的積的運算律：（1）（結(jié)合律）；（2）（第一分配律）；（3）（第二分配律）問題4：數(shù)的運算和運算律是緊密相連的，運算律可以有效地簡化運算。類比數(shù)的乘法的運算律，你能說出數(shù)乘的運算律嗎？小組交流探討數(shù)學(xué)中引進一個新的量自然要看看它的運算及其運算律的問題。向量運算可以與學(xué)生熟悉的數(shù)的運算進行類比，從中得到啟發(fā)。而書的運算和運算律是緊密相連的，運算律可以有效的簡化運算。類比數(shù)的乘法的運算律引出數(shù)乘向量的運算律。問題5：你能解釋上述運算律的幾何意義嗎？小組交流探討例1 計算：（1）； （2）；（3）提問、及時評價獨立完成，單獨回答從心理學(xué)認為：概念一旦形成，必須及時鞏固，通過例1加深學(xué)生對數(shù)乘向量運算律的理解。練一練教材P90 練習5題學(xué)生單獨作答及時練習，及時鞏固，反饋學(xué)生的學(xué)習情況向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。對于任意的向量，以及任意實數(shù)，恒有本節(jié)作為向量線性運算的最后一節(jié)，有必要綜合認識向量線性運算。對于向量、，如果有一個實數(shù)，使，那么由向量數(shù)乘的定義知與共線，且向量是向量模的倍，而的正負由向量、的方向所決定.反過來，已知向量與共線，且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同方向時，有；當與反方向時，有.從上述兩方面可知（板書）共線向量定理：向量、共線，當且僅當有一個實數(shù)，使得.問題6：引入數(shù)乘向量后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量的位置關(guān)系嗎？思考: 1) 為什么要是非零向量?2) 可以是零向量嗎?3) 怎樣理解向量平行？與兩直線平行有什么異同？合作交流，獨立作答.師生共同活動引出向量共線的定理；引導(dǎo)學(xué)生理解向量共線只需看這兩個向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共線，當且僅當有一個實數(shù)，使得；且實數(shù)的唯一性是由向量和的模和方向同時決定.通過學(xué)生合作交流，促進學(xué)生合作的集體意識；通過學(xué)生獨立作答，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.練一練教材P90練習題4題學(xué)生單獨作答從心理學(xué)認為：概念一旦形成，必須及時鞏固引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)生思考作答共線向量定理的應(yīng)用一：判斷兩向量是否共線引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)生思考作答共線向量定理的應(yīng)用二：判斷三點共線引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)生思考作答共線向量定理的應(yīng)用三：判斷直線平行例3.如圖，已知任意兩個向量試作出你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)生思考作答這道例題是先讓學(xué)生猜想，再證明；利用向量共線證明點共線，具體方法是先證明向量共線，再證明向量有公共點；進而引出利用向量共線證明直線平行.例4.如圖，ABCD的兩條對角線相交于點M，且，你能用表示嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)生思考作答綜合運用向量的加、減、數(shù)乘等向量的線性運算.使學(xué)生明確：有了向量的線性運算，平面中的點、線段（直線）就可以得到向量表示，這是利用向量解決幾何問題的重要步驟.課堂小結(jié)一、 的定義及運算律； 向量共線定理， 向量與共線.二、 定理的應(yīng)用：（1） 證明向量共線；（2） 證明三點共線；A、B、C三點共線；（3） 證明兩直線平行： 直線AB直線CD.三、你體會到了那些數(shù)學(xué)思想.引導(dǎo)學(xué)生體會本節(jié)學(xué)習中用到的思想方法：特殊到一般，歸納，猜想，類比，分類討論，等價轉(zhuǎn)化.1.知識性內(nèi)容的總結(jié)，可以把課堂教學(xué)傳授的知識盡快轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素質(zhì).2.運用數(shù)學(xué)方法，創(chuàng)新素質(zhì)的小結(jié)能讓學(xué)生更系統(tǒng)，更深刻地理解數(shù)學(xué)理想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好個性品質(zhì).3.由學(xué)生口頭表述，不僅可以提高學(xué)生的綜合概括能力，還能提高學(xué)生的口頭表達能力.課后作業(yè)教材P9