高中數(shù)學(xué)典型例題解析導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.doc

資料收集于網(wǎng)絡(luò) 如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站 刪除 謝謝 高中數(shù)學(xué)典型例題分析第十章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用10.1導(dǎo)數(shù)及其運算一、知識導(dǎo)學(xué)1.瞬時變化率：設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變量為時，函數(shù)值相應(yīng)地改變，如果當(dāng)趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數(shù)c（也就是說平均變化率與某個常數(shù)c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數(shù)），那么常數(shù)c稱為函數(shù)在點的瞬時變化率。2.導(dǎo)數(shù)：當(dāng)趨近于零時，趨近于常數(shù)c。可用符號“”記作：當(dāng)時，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數(shù)在的瞬時變化率，通常稱作在處的導(dǎo)數(shù)，并記作。3.導(dǎo)函數(shù)：如果在開區(qū)間內(nèi)每一點都是可導(dǎo)的，則稱在區(qū)間可導(dǎo)。這樣，對開區(qū)間內(nèi)每個值，都對應(yīng)一個確定的導(dǎo)數(shù)。于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個函數(shù)稱為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為或（或）。4.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：1）函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則即，兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè)，是可導(dǎo)的，則5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù),且.6.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑難知識導(dǎo)析 1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是函數(shù)值相對于自變量的變化率2.運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,應(yīng)注意以下幾點（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù),層層求導(dǎo).(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)，不能混淆，一直計算到最后，常出現(xiàn)如下錯誤，如實際上應(yīng)是。(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如選成，計算起來就復(fù)雜了。3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認識，應(yīng)給予足夠的重視。4.表示處的導(dǎo)數(shù)，即是函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)；表示函數(shù)在某給定區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時是在上的函數(shù)，即是在內(nèi)任一點的導(dǎo)數(shù)。5.導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)在點處連續(xù)，未必在點可導(dǎo)，也就是說，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程可如下求得：（1）求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率。（2）在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行于軸（此時導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知,則 .例2已知函數(shù)判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)？分析： 分段函數(shù)在“分界點”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo) . 左右極限是否存在且相等。點評：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，是一個極限值，即，x0，包括x0，與x0，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù).例3求在點和處的切線方程。分析：點在函數(shù)的曲線上，因此過點的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點的方法求切線點評： 要注意所給的點是否是切點若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點坐標(biāo)例4求證：函數(shù)圖象上的各點處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)的圖象上各點處切線的斜率都小于1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于1，因此，應(yīng)先對函數(shù)求導(dǎo)后，再進行論證與求解. 例5（02年高考試題）已知，函數(shù)，設(shè)，記曲線在點處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設(shè) 與 軸交點為，求證： ；若，則分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 . 例6求拋物線 上的點到直線的最短距離. 分析：可設(shè) 為拋物線上任意一點，則可把點到直線的距離表示為自變量的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當(dāng)直線與拋物線相切時的切點到直線的距離即為本題所求. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.函數(shù)在處不可導(dǎo)，則過點處，曲線的切線 （ D ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結(jié)論2.在點x=3處的導(dǎo)數(shù)是_-1/6_.3.已知，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線的切線方程是 _. 5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標(biāo)與切線方程.6若過兩拋物線和的一個交點為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點，并求出定點的坐標(biāo). 10.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 知識導(dǎo)學(xué)1.可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù)在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或），則稱為函數(shù)的一個極大（小）值，稱為極大（小）值點.（2）求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟:求導(dǎo)數(shù)。求方程的根. 求方程的根.檢驗在方程的根的左右的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正，左側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.2.函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進行.求在內(nèi)的極值.將在各極值點的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.（2）若函數(shù)在上單調(diào)增加，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值.二、疑難知識導(dǎo)析1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意：（以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（?。?記住這個定理很有好處），然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大（?。┲?。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.例2已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍.例3當(dāng) ，證明不等式.點評：由題意構(gòu)造出兩個函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而導(dǎo)出及是解決本題的關(guān)鍵.例4設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運貨到工廠A所需運費最省?例5（2006年四川）函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）對滿足11的一切的值，都有0，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)的圖象與直線3只有一個公共點.例6若電燈B可在桌面上一點O的垂線上移動，桌面上有與點O距離為的另一點A，問電燈與點0的距離怎樣，可使點A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）分析：如圖，由光學(xué)知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強度有關(guān)的常數(shù)）要想點處有最大的照度，只需求的極值就可以了. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知函數(shù)，若是的一個極值點，則值為 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函數(shù)在處有極值為10，則= .3給出下列三對函數(shù)：， ，；其中有且只有一對函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是 ， .4已知函數(shù)有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點引拋物線的切線，使與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設(shè)在上的最大值為，（1）求的表達式；（2）求的最大值.10.3定積分與微積分基本定理一、知識導(dǎo)學(xué)1可微：若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)（是常數(shù)）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數(shù)在點可微，（1）中的稱為函數(shù)在點的微分，記作或.函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在可導(dǎo)，這時（1）式中的等于.若函數(shù)在區(qū)間上每點都可微，則稱為上的可微函數(shù).函數(shù)在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個原函數(shù).fuel n. 燃料由于，也是的原函數(shù)，其中為常數(shù).二、疑難知識導(dǎo)析1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個步驟，這里包含著很重要的數(shù)學(xué)思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應(yīng)用.1）一般情況下，對于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長度才能都趨近于0，但有的時候為了解題的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對每個小區(qū)間內(nèi)的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點或是右端點.3）求極限的時候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數(shù)不是唯一的，但我們只要選取其中的一個就可以了，一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因為.3利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.三 、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.分析：面積應(yīng)為各部分積分的代數(shù)和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數(shù)。所以不應(yīng)該將兩部分直接相加。例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數(shù)代入進行運算。例3根據(jù)等式求常數(shù)的值。1） 2）分析：利用微積分基本定理，求出原函數(shù)代入求解例4某產(chǎn)品生產(chǎn)x個單位時的邊際收入（） 求生產(chǎn)了50個單位時的總收入。（） 如果已生產(chǎn)了100個單位時，求再生產(chǎn)100個單位時的總收入。例5一個帶電量為的電