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橢圓的基本知識(shí)一、基本知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義：橢圓三定義，簡(jiǎn)稱和比積1、定義1：（和）到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距,定值為_。2、定義2：（比）到定點(diǎn)和定直線的距離之比是定值的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線，定值為_。3、定義3：（積）到兩定點(diǎn)連線的斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓。兩定點(diǎn)是長(zhǎng)軸端點(diǎn)，定值為。知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，其中。2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，其中。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的參數(shù)方程的參數(shù)方程為_。知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的一些重要性質(zhì)（1）對(duì)稱性：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心就是橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)；橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)頂點(diǎn)分別為_。橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。（4）離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。?）焦半徑：橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的連線段叫做焦半徑。對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的橢圓，左焦半徑，右焦半徑。（6）準(zhǔn)線方程：（7）焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，用表示，記作。（8）通徑：過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓的兩交點(diǎn)之間的距離稱為橢圓的通徑，長(zhǎng)用表示，記作。（9）切線方程：過橢圓上點(diǎn)的切線方程，可以用等效代替橢圓方程得到。等效代替后的切線方程是：。（10）極點(diǎn)與極線：若是橢圓外一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則點(diǎn)和切點(diǎn)弦分別稱為橢圓的極點(diǎn)和極線。切點(diǎn)弦的直線方程即極線方程是（極線定理）。（11）中點(diǎn)弦方程和弦中點(diǎn)軌跡：中點(diǎn)弦的方程：在橢圓中，若弦的中點(diǎn)為，弦稱為中點(diǎn)弦，則中點(diǎn)弦的方程就是，是直線方程。弦中點(diǎn)的軌跡方程：在橢圓中，過橢圓內(nèi)點(diǎn)的弦，其中點(diǎn)的方程就是，仍為橢圓。知識(shí)點(diǎn)五：橢圓和的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)軸長(zhǎng)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑二、規(guī)律方法1、如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三邊，滿足勾股定理。3、如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)的位置？橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。4、方程是表示橢圓的條件。5、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6、共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7、如何求解與焦三角形(是橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計(jì)算問題？焦三角形：以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上的三角形稱為焦三角形。半角是指的一半。則焦三角形的面積為：。8、直線與橢圓問題的有關(guān)計(jì)算問題（韋達(dá)定理的應(yīng)用）（1）弦長(zhǎng)公式（2）中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）三、四種題型與三種方法（一）四種題型 1、已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn),為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值。2、已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn),為橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值。3、已知橢圓外有一點(diǎn),為橢圓的左準(zhǔn)線，為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，求的最小值。4、定長(zhǎng)為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在橢圓上移動(dòng)，求的中點(diǎn)到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離。（二）三種方法1、橢圓的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，求三角形的最小面積。2、已知橢圓和直線，在上取一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)做橢圓，求在何處時(shí)所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求此橢圓。3、過橢圓的焦點(diǎn)的直線交橢圓于，求面積的最大值。四、經(jīng)典例題1、如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則_。2、已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為( )A8 B16 C25 D323、過點(diǎn)且與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)相同的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_。4、若橢圓的離心率是，則的值等于_。5、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是面積為的正三角形，則的值是_。6、在給定橢圓中，過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離