核電站安全性分析與發(fā)展預(yù)測數(shù)學(xué)建模.doc

核電站安全性分析與發(fā)展預(yù)測陳宗則 熊桄清 張澤榮 摘要本文意在解決核電站的發(fā)展預(yù)測問題。發(fā)展預(yù)測涉及到核電站的安全性考核以及核電站經(jīng)濟效益的研究。為此本文一共分為問題提出、問題分析、模型假設(shè)、模型建立與求解、模型評價、參考文獻以及附錄七大部分。其中包含三個模型的研究，核泄漏放射性物質(zhì)擴散模型模型I，核電站邊際效益評估模型模型II以及核電站發(fā)展預(yù)測模型模型III。模型I是為了模擬核泄漏的擴散范圍與路徑，運用了煙霧擴散模型，結(jié)論是擴散面積約為173.57平方公里。模型II是研究核電站的最大經(jīng)濟效益與技術(shù)進步的關(guān)系，模型為邊際效益模型。先建立經(jīng)濟收益Y的函數(shù)，在通過求導(dǎo)得出邊際效益函數(shù)。邊際效益為0時總經(jīng)濟收益最大化，一次可得出經(jīng)濟層面上，為使總經(jīng)濟收益最大化的合理核電站數(shù)目與技術(shù)進步的配對組合解集。模型III在模型I、模型II的基礎(chǔ)上從總經(jīng)濟收益函數(shù)出發(fā)，推導(dǎo)出綜合考慮安全因素與經(jīng)濟收益的發(fā)展預(yù)測模型。由此得出使中國現(xiàn)有7座核電站承擔(dān)起未來20年發(fā)生核泄露風(fēng)險所要求的技術(shù)進步的臨界值。如若現(xiàn)實的技術(shù)進步大于臨界值，則可以擴大建設(shè)核電站；反之則不宜擴建，但是核發(fā)電技術(shù)依然值得發(fā)展。三個模型綜合研究了核電站的安全性、效益型以及發(fā)展趨勢。同時在將情景極可能簡化的前提下，得出相對可信的預(yù)測結(jié)果。具有較強的參考價值。關(guān)鍵詞：煙霧擴散模型 邊際效益分析模型 量化分析 控制變量法一、問題的提出 2011年3月11日，日本遭受了9級大地震并引發(fā)了強烈的海嘯。這次大地震及其引發(fā)的海嘯不僅給日本以重創(chuàng)，而且由此造成的福島核電站的核泄漏更是引起了全世界對核電站及其安全的重新思考。請從互聯(lián)網(wǎng)或報刊上搜集有關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立評估核電站安全的數(shù)學(xué)模型?？紤]：（1） 隨著人們生活水平的提高，用電量大幅增加，假設(shè)不建設(shè)核電站，用電量和發(fā)電量之間的差距有多大？建設(shè)一個某種規(guī)格的核電站能提供多少電力？建設(shè)核電站的經(jīng)濟成本和效益如何？目前國內(nèi)有幾個核電站、在建或準備建設(shè)的有幾個？也就是要求建立建設(shè)核電站必要性的數(shù)學(xué)模型并分析；（2） 以秦山或大亞灣核電站為例（選一個），如果這些地方出現(xiàn)了嚴重的自然災(zāi)害造成了核泄漏（需要你自己作出合理假設(shè)），那么，在一定氣象條件（一定風(fēng)向、風(fēng)力、下雨等）的情況下建立核擴散的數(shù)學(xué)模型，并討論對周圍多大范圍的居民進行疏散以及其他的應(yīng)對措施和可能的后果；綜合前兩問給出核電站的發(fā)展前景預(yù)測。二、問題的分析 自然災(zāi)害造成核電站的核泄漏問題具有不可預(yù)測性與嚴重性。不可預(yù)測性指的是自然災(zāi)害發(fā)生的不可預(yù)測；嚴重性指的是核泄漏帶來的居民生命財產(chǎn)損失的危害嚴重。不可預(yù)測性與嚴重性使對于核電站安全的評估問題轉(zhuǎn)化為對從事發(fā)之后補救措施實施過程的有效性和成本的評估問題。而對于事后補救措施研究的首要問題就是對于核泄漏影響區(qū)域的模擬。為此我們建立了核泄露放射性物質(zhì)泄露模型模型I。模型I采用了煙霧擴散模型，通過量化固定風(fēng)向風(fēng)力和降雨等因素，定量分析了發(fā)射性物質(zhì)可能的擴散范圍?；诖耍覀兌ㄐ詫⒂懻撛谖廴痉秶鷥?nèi)所需采取的補救措施的可行性，已經(jīng)經(jīng)濟成本。從而對核電站安全性進行評估。對于核電站的發(fā)展預(yù)測問題，我們分為三大步：第一步是利用擴散模型模擬出核泄漏可能污染的區(qū)域，從而計算損失成本；第二步是建立邊際效益模型，并且利用分離變量法，研究技術(shù)進步對于效益的影響，從而得出效益關(guān)于技術(shù)進步的函數(shù)，由此我們建立了核電站邊際效益模型模型II；第三步基于擴散模型得出污染范圍以及邊際效益模型得出效益技術(shù)進步函數(shù)，我們建立了發(fā)展預(yù)測模型模型III，討論在不同技術(shù)進步的假設(shè)下，核電站的發(fā)展趨勢。三、模型假設(shè)一、核泄露放射性物質(zhì)泄露模型模型I1、核泄漏看作在地面某一點向四周等強度低隨時釋放放射性物質(zhì)，放射性物質(zhì)在無窮空間擴賽，不計地形影響。2、放射性物質(zhì)擴散服從擴散定律，即單位時間通過單位法向面積的流量與它的濃度梯度成正比。3、放射性物質(zhì)在穿過降雨時，其強度由于雨水的吸收而減少，減少比率為常數(shù)。4、風(fēng)的影響只考慮放射原點的某一風(fēng)向、某一風(fēng)速的影響。風(fēng)的影響范圍，隨著時間而減小。二、核電站邊際效益評估模型模型II1、排除通貨膨脹影響因素，以及假設(shè)現(xiàn)金回報率為0。2、以大亞灣核電站為標準核電站3、由于大亞灣核電站截止2009年7月31日，大亞灣核電站1號機組實現(xiàn)安 全運行2539天，創(chuàng)造了國內(nèi)核電站單機組安全運行最高紀錄。所以假定安全運行是核電站的常規(guī)狀態(tài)，既不考慮發(fā)生事故。4、假設(shè)目前只有火電站（化石燃料為能源的發(fā)電站）和核電站（新興綠色能源核電站）5、假設(shè)投入到研究核電技術(shù)的資金等于技術(shù)進步帶來的經(jīng)濟收益三、核電站發(fā)展預(yù)測模型模型III1、滿足模型I、II假設(shè)2、核電站發(fā)生事故的概率與全世界核電站的發(fā)生泄露概率頻率相等四、模型的建立與求解核泄露放射性物質(zhì)泄露模型模型I一、模型設(shè)計放射性擴散的范圍和強度主要受到放射源的自然擴散、風(fēng)以及降雨的影響。自然擴散符合煙霧擴散模型，在給定放射源濃度等數(shù)據(jù)時，可以求出靜態(tài)擴散范圍。風(fēng)力具有加大擴散面積的作用，而降雨具有吸收稀釋放射性元素的作用。二、變量解釋k:擴散系數(shù)Q：放射性物質(zhì)泄漏總量C：某一點的放射性物質(zhì)濃度t:擴散的時間r：降雨對于放射性物質(zhì)的吸收比率ws：風(fēng)速wa：風(fēng)向wd：風(fēng)力影響范圍每天減小量三、模型建立與求解1、建立空間坐標軸將核泄漏時設(shè)為t0=0，以核電站為坐標原點，建立以正東為x正方向，正北為y正方向，建立三維直角坐標系。2、推導(dǎo)放射源自然輻射范圍半徑：時刻t無窮空間中任意一點（x,y,z）的放射性物質(zhì)濃度記為C。根據(jù)假設(shè)2，單位時間通過單位法相面的流量為： q=-kgradC（1）k是擴散系數(shù)，grad表示梯度，負號表示有濃度高香濃度低的地方擴散?？疾炜臻g域，的體積為V，包圍的曲面為S，S的外法線向量為n,則在t,t+t內(nèi)通過的流量為： Q1=tt+tSqnddt（2）而內(nèi)放射性物質(zhì)的增量為： Q2=vC（t）-C(t+t)dV（3）有質(zhì)量守恒定律： Q1= Q2（4）根據(jù)曲面面積分的奧氏公式： Sqnd=vdiv q dV（5）其中div是散度記號。有（1）（5）不難得到： =kdiv(gradC)=k(2C/x2+2C/y2+2C/z2)，t0,- x,y,z或t時，C0通過將x2+y2+z2=R2代入方程（8）可以解除R：R2=(-4)ktln(C/Q) (4kt)3/2（9）R為在給定擴散系數(shù)k，影響時間t，放射性物質(zhì)濃度C，以及放射源總泄漏量Q的情況下的受自然擴散影響范圍的半徑，即在不考慮風(fēng)力、降雨情況下的影響范圍。通過matlab，可以實現(xiàn)該模型的圖像生成，如圖一。在此假定：k=0.00001(擴散系數(shù))Q=1000000（放射源總量）C=100（放射性物質(zhì)濃度）t=1000000(秒)（擴散時間）（程序見附錄一，此次輸入?yún)?shù)為：expand(0.00001,1000000,100,1000000,0.5,0,0,0)）計算機生成圖像為：圖一球面半徑R=7.12公里，即距離放射源7.12公里內(nèi)均有受到污染3、考慮風(fēng)力與降雨因素的影響:降雨因素：假設(shè)降雨對于放射性物質(zhì)的吸收率為r,則方程（9）變?yōu)椋篟2=(-4)ktln(C/(1-r)Q) (4kt)3/2（10）風(fēng)力因素：只考慮產(chǎn)生在輻射原點某一角度wa，某一強度ws的風(fēng)力影響。風(fēng)力的影響范圍從R開始每天減少wd，并且對于影響范圍內(nèi)每一點的作用相同。具體計算機模擬實現(xiàn)見附錄一。綜上兩個因素，在matlab上生成考慮了風(fēng)速和降雨因素的影響范圍圖像（程序見附錄一，輸入?yún)?shù)為：expand(0.00001,1000000,100,1000000,0.5,0.04,0.785,0.3)）變量假設(shè)：k=0.00001(擴散系數(shù))，參考了其他元素粒子的擴散系數(shù)均為此數(shù)量級Q=1000000毫西弗（放射源總量），發(fā)生七級核泄漏時的放射性物質(zhì)泄漏量C=100毫西弗（放射性物質(zhì)濃度），會對人體產(chǎn)生危害的濃度t=1000000(秒)（擴散時間）r=0.5(假設(shè)雨水對于放射性物質(zhì)的吸收率為50%)ws=0.04(公里每小時)（假設(shè)作用在放射源的風(fēng)速為40米/小時）wa=0.785（假設(shè)風(fēng)向與x0y面平行，且與x軸成正45度角）wd=0.3（假設(shè)風(fēng)力影響范圍從R開始，每天減弱300米）計算機生成圖像為：圖二注：圖形最大半徑球的半徑R=7.12公里，最小半徑球的半徑R0=3.52公里，圖形中分線長度為：7.12+11.11（球心位移）+3.52=21.75（公里）。即放射性物質(zhì)最遠可達沿風(fēng)向距離放射源21.75公里處。圖形面積為：(14.24+7.04)*7/2+pi*7.122/2+*3.522/2=173.57（平方公里）四、模型結(jié)果分析模型的分析結(jié)果說明在給定的條件下，擴散的最遠距離為21.75公里。由于現(xiàn)實中風(fēng)向的不確定性，出于安全考慮，在核泄漏的中心周邊21.75公里范圍的居民都應(yīng)該撤離。從模型可以看出，主要影響范圍的因素主要有核泄漏的總量，以及核泄漏在擴散過程中的稀釋。因此控制核泄漏主要有兩點可以考慮。一個是核泄漏源，一個是風(fēng)力對于核泄漏影響過程。從核泄漏源考慮，可以通過注水，封堆等控制方法減少核泄漏的量。比如建立一個檢測系統(tǒng)，一旦發(fā)生核泄漏，可以自動注水或者封堆，以減少核物質(zhì)的泄露總量。從核泄漏擴散過程考慮，可以通過人工降水來吸收泄露出的核物質(zhì)，或者在核電站的選址時考慮地形因素，盡量選擇背風(fēng)點選址。核電站邊際效益評估模型II：一、模型設(shè)計本模型擬用核電站的邊際經(jīng)濟效用來衡量核電站的存在必要性。假設(shè)核電站的總經(jīng)濟效用主要受以下因素影響：1、建設(shè)核電站的投資的產(chǎn)出與成本2、用于技術(shù)研發(fā)的資金3、發(fā)電量供需缺口4、環(huán)保優(yōu)勢二、變量解釋Y：所有核電站總經(jīng)濟效益產(chǎn)出D：全國對于用供電經(jīng)濟效用總需求缺口 N：現(xiàn)有核電站總數(shù)目I：建設(shè)一座核電站所需投資的金額（元）Qn：一座核電站年發(fā)電量（千瓦時）Qc：全國每年的用電量（千瓦時）Pe：電價(元/每千瓦時）R：真實GDP增長率r:環(huán)境治理投資占GDP的比重Ep:環(huán)保系數(shù)Cn:核電站碳排放量Cf:火電站太排放量Td：投資于單個核電站促進技術(shù)進步的資金所帶來的經(jīng)濟效益t:研究的時間范圍k：中國用于研究開發(fā)領(lǐng)域經(jīng)費占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重三、模型建立本模型通過研究邊際分析，研究核電站最優(yōu)數(shù)量，如果最有數(shù)量等于或大于目前我國已有核電站數(shù)目+在建核電站數(shù)目+計劃建設(shè)核電站數(shù)目，那么我們認為核電在有繼續(xù)建設(shè)的需求；反之，則沒有必要性。模型為：一、本模型認為所有核電站的總經(jīng)濟效益分三部分影響因素：1、核電站在研究時間范圍內(nèi)通過發(fā)電產(chǎn)生的經(jīng)濟收益，即： (QnNPe t (1-r) -Ep（1.1）其中QnN為所有核電站總發(fā)電量，Pe為電價，t為有效時間；因為考慮到核電站為綠色能源，解約了治理環(huán)境的成本，所以出去了治理環(huán)境的成本。在這里假設(shè)核電站用于治理環(huán)境的資金占總產(chǎn)出的比例與中國投入環(huán)境治理的費用占GDP的比重相同，即r。與此同時，引入判斷核電站是否為綠色電站的指標環(huán)保系數(shù)Ep，如果Cn(Cn+Cf)0.5,則Ep=0，反之為1。2、建設(shè)時投入的建設(shè)成本，即：IN（1.2）其中I為投資成本，N為核電站的數(shù)量3、由于技術(shù)進步帶來的經(jīng)濟效益，即：TdN（1.3）其中Td為一座核電站由于技術(shù)進步產(chǎn)生的經(jīng)濟收益綜合（1.1）、（1.2）、（1.3），得出所有核電站的總經(jīng)濟效益函數(shù)Y：Y= (QnPe(1+r) EptNIN+TdN（1）二、本模型技術(shù)進步主要受國內(nèi)對于發(fā)展該技術(shù)的投資的影響：1、假設(shè)國內(nèi)對于發(fā)展核電站的需求是國內(nèi)總發(fā)電量與所有核電站發(fā)電量得差值的貨幣表示，即：C=( Qc- QnN) Pe (1+R)t（2.1）其中，Qc- QnN為國內(nèi)總發(fā)電量與所有核電站發(fā)電量得差值，Pe為電價，目的在于將該差值用貨幣表示；與此同時，考慮到對于技術(shù)進步的需求會隨著經(jīng)濟增長而增加，所以在此假設(shè)對于技術(shù)進步的需求每年以真實GDP增長率增長，即：(1+R)t。2、對于技術(shù)進步的投資為對于技術(shù)進步的需求的函數(shù)，即：kC（2.2）在此假定對于核電站技術(shù)進步的投資額占需求額的比重與我國投資于研究開發(fā)領(lǐng)域資金占GDP的比重相等，即為k。3、技術(shù)進步帶來的單位核電站經(jīng)濟產(chǎn)出等于技術(shù)進步的投資，即：Td=kC（2）在此假設(shè)技術(shù)是可以無成本復(fù)刻的，所以一旦技術(shù)進步了，所有的核電站的經(jīng)濟效益都同時提升相同量，且等于投資額。三、將所有核電站的總經(jīng)濟效益Y變形:將（2.1）、（2）代入（1）中，得：Y= (QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t)N- kQn Pe (1+R)tN2（3.1）令:a=(QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t);b= kQn Pe (1+R)t則（3.1）變?yōu)椋篩=aN-bN2（3.2）對Y關(guān)于N求導(dǎo)，得出所有新建核電站邊際經(jīng)濟效益產(chǎn)出：= a-2bN（3.3）有邊際效益理論知，當邊際效益為0時，總效益達到最大化。令核電站的邊際經(jīng)濟效益產(chǎn)出為0，即=0,得最大核電站數(shù)量N*為：N*=（3）其中a=QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t;b= kQn Pe (1+R)t那么出于（3）上的每一點都是可以使總效益最大化的，或者說是邊際效益為0的點。我們認為這就是最合理的核電站數(shù)目。通過計算機實現(xiàn)模型II在這里，我們打算用控制變量法，隔離出技術(shù)進步因素K對于合理核電站數(shù)目的影響。以k為自變量，研究合理核電廠數(shù)N：Qn=150000000000（千瓦時）單座核電廠年發(fā)電量（數(shù)據(jù)來自中國核能協(xié)會網(wǎng)關(guān)于大亞灣核電站年上網(wǎng)電量統(tǒng)計）Pe=全國電價并不唯一，但大多分布在0.20.8之間，故在此假設(shè)為0.6元/千瓦時r=1.49% 為國家環(huán)境治理投資占GDP的比重（數(shù)據(jù)來自中國環(huán)境保護部官網(wǎng)，2008年環(huán)境統(tǒng)計年報）Ep=1，由之前的定義知，由于Cn(Cn+Cf)=00.5（數(shù)據(jù)來自中廣核集團官網(wǎng)）I=2646800000000（元人民幣），單座核電廠總投資額。折合美元40.72億美元（數(shù)據(jù)來源中廣核集團官網(wǎng)）Qc=47000000000000（千瓦時）全國年用電量（數(shù)據(jù)來自中國電力聯(lián)合會官網(wǎng)中國電力聯(lián)合會）t=為考察年限，在此定20年。R=為真實GDP增長率。真實GDP增長率每年略有不同，在此設(shè)為8%。其函數(shù)圖象為：（具體程序見附錄二，測試數(shù)據(jù)為：nuclear(150000000000,0.6,0.0149,1,2646800000000,47000000000000,20，0.08）)圖四注：1（1）平行于K軸的是N=0,直線一；（2）平行于N軸的是K=0.62（%），直線二；（3）曲線為：N*= ，其中R為自變量。設(shè)為曲線1.其中：a=QnPe(1-r)-1EptI+ k QcPe (1+R)t;b= kQn Pe (1+R)t結(jié)果分析（2）如圖四，在給定時間和其他因素的基礎(chǔ)上，單一研究技術(shù)進步K對于核電站數(shù)量的影響，可見核電站數(shù)量呈現(xiàn)增長趨勢，但是邊際增長遞減。當技術(shù)進步率在0.62%水平左右時，核電站的合理數(shù)目為0，也就是說在此點之前的點建設(shè)核電站出于虧損狀態(tài)；此點之后建設(shè)核電站可以盈利。在技術(shù)進步水平出于0.62%至10%之間時，隨著技術(shù)進步水平的增加，合理核電站數(shù)目不斷上升。當技術(shù)進步突破10%點時，核發(fā)電技術(shù)足夠成熟，核電站數(shù)目達到飽和為156座左右。核電站發(fā)展預(yù)測模型模型III一、模型設(shè)計從模型I我們得出了核泄漏的擴散路徑和范圍，即173.57平方公里；從邊際效益模型我們得出N=N（k）是單調(diào)遞增函數(shù)，進而得到核電站最大經(jīng)濟收益為技術(shù)進步的單調(diào)增函數(shù)（即在邊際收益為0的前提下）。在此，我們的模型III從邊際效益模型開始推導(dǎo)出綜合考慮經(jīng)濟效益和安全性的發(fā)展預(yù)測模型。二、變量解釋Y：所有核電站總經(jīng)濟效益產(chǎn)出N=7座（我國已建成），在建9座，計劃建設(shè)2座I=2646800000000（元）Qn=1500000000000（千瓦時）Qc=47000000000000（千瓦時）Pe=0.6元每千瓦時電價，電價R=8%，真實GDP增長率r=1.49%，環(huán)境治理投資占GDP的比重Ep=1，環(huán)保系數(shù)t=20年，研究的時間范圍k：中國用于研究開發(fā)領(lǐng)域經(jīng)費占國內(nèi)生產(chǎn)總值的比重P0：一座核電站一年內(nèi)核泄漏發(fā)生概率P：在研究時間范圍內(nèi)發(fā)生核泄漏的概率C：核泄漏帶來單位面積的經(jīng)濟損失A：搬遷費用B：污染地區(qū)在未被污染前每年的GDPS=173.57平方公里，污染面積detal:核電站產(chǎn)生的總經(jīng)濟收益與核泄漏帶來的期望損失的差值三、模型建立與求解模型為：模型II的（3.1）式，將t=20等參數(shù)代入，得到最大總經(jīng)濟收益Y關(guān)于技術(shù)進步k的函數(shù)。 Y=-5.73701012+8.99521014k（1）全世界438座核電站，50年內(nèi)共發(fā)生10起事故，故每年發(fā)生的先驗概率為：P0=10/(438*50)= 0.0004.5662（2）那么20年故事發(fā)概率為：P=20*10/(438*50)=0.0091（3）查得單位面積的GDP損失加上遷移費（假設(shè)20年無法恢復(fù)生產(chǎn)）為：C=A+B20 1、假設(shè)單位GDP產(chǎn)值與深圳單位面積GDP產(chǎn)值的數(shù)量相等，即為4.8807億元/平方公里，故設(shè)B=1億元/平方公里=1092、假設(shè)搬遷費用與三峽移民單位面積搬遷費用數(shù)量級相等，即510億/3389.25萬平方公里或15505000元/平方公里。故A=10000000S=1735700000=1.7357109元C=1735700000+100000000020=2.17361010(元)（4）由此，我們可以退出核電站的總經(jīng)濟收益與核泄漏期望損失的差值：delta=Y- PSC =-5.73701012+8.99521014k -0.0091173.572.17361010 = -5.7713e+012+8.99521014k（5）然后我們假定差值為0，即核電站的總收益與核泄漏期望損失相等，可以解出：K*=0.0064（6）K*的含義是，為使現(xiàn)有的7座核電站承擔(dān)起未來20年核泄漏安全事故的風(fēng)險所需要的核發(fā)電技術(shù)進步的投入經(jīng)費占全國對于核電站發(fā)電需求的比例。所以：當k K*時表明核電站可以承擔(dān)更大的風(fēng)險，所以可以繼續(xù)增加建設(shè)。當k K*時表明核電站承擔(dān)風(fēng)險的能力已不足，不宜繼續(xù)增加建設(shè)。五、模型評價模型I：優(yōu)點：此模型在把問題最大程度簡化的基礎(chǔ)上，解決了放射性元素擴散的影響范圍模擬。有助于對情況有直觀的認識。對于最快反應(yīng)出應(yīng)對措施有著借鑒意義。缺點：此模型將風(fēng)速、風(fēng)向、風(fēng)力以及降雨都假定為定值或者簡單的線性函數(shù)，與現(xiàn)實情況有一定差距。如果能夠這些因素改為更貼近現(xiàn)實的函數(shù)，將有助于模型的推廣。模型II：優(yōu)點：此模型充分考慮了時間，發(fā)電量，電力供應(yīng)缺口，科技進步以及核電站的環(huán)保性等因素，起到了確立技術(shù)進步與基于經(jīng)濟層面合理核電站的函數(shù)關(guān)系。缺點：對于技術(shù)進步、環(huán)保性的量化不夠精準。如果可以有更加貼切的函數(shù)模擬，可以使模型結(jié)果更為準確。模型III：優(yōu)點：模型綜合考慮了核電站的安全性能，以及不同技術(shù)進步帶來的不同總收益，繼而從風(fēng)險綜合收益的角度對在不同技術(shù)進步