高考數(shù)學(xué)《基本不等式》專題復(fù)習(xí)教學(xué)案.doc

基本不等式【知識梳理】一、基本不等式1基本不等式成立的條件：a0，b0.2等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號二、幾個(gè)重要的不等式a2b22ab(a，bR)；2(a，b同號)ab2(a，bR)；2(a，bR)三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)四、利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)【基礎(chǔ)自測】1函數(shù)yx(x0)的值域?yàn)開解析：x0，yx2，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號答案：2，)2已知m0，n0，且mn81，則mn的最小值為_解析：m0，n0，mn218.當(dāng)且僅當(dāng)mn9時(shí)，等號成立3已知0x1，則x的最小值為_解析：xx11415.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x3時(shí)等號成立答案：55已知x0，y0，lg xlg y1，則z的最小值為_解析：由已知條件lg xlg y1，可得xy10.則2 2，故min2，當(dāng)且僅當(dāng)2y5x時(shí)取等號又xy10，即x2，y5時(shí)等號成立 答案：21.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤2對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系3運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等【考點(diǎn)探究】考點(diǎn)一利用基本不等式求最值 【例1】(1)已知x0，則f(x)2x的最大值為_(2)(2012浙江高考)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是_ 解(1)x0，x0，f(x)2x2.(x)24，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)等號成立f(x)2242，f(x)的最大值為2.(2)x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y時(shí)取等號)，3x4y的最小值為5.【一題多變】本例(2)條件不變，求xy的最小值解：x0，y0，則5xyx3y2，xy，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)取等號【由題悟法用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號成立的條件【以題試法】1(1)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)的最大值為_(2)(2011天津高考)已知log2alog2b1，則3a9b的最小值為_(3)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_解析：(1)x0，f(x)1，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(2)由log2alog2b1得log2(ab)1，即ab2，3a9b3a32b23(當(dāng)且僅當(dāng)3a32b，即a2b時(shí)取等號)又a2b24(當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取等號)，3a9b23218.即當(dāng)a2b時(shí)，3a9b有最小值18.(3)由x0，y0，xyx2y2，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，即m10.故m的最大值為10.考點(diǎn)二 多元均值不等式問題【例2】設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_解析：由已知條件可得y，所以3，當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時(shí)，取得最小值3. 【以題試法】若且,求的最小值 .考點(diǎn)三 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】(2012江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請說明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x0，k0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號所以炮的最大射程為10千米(2)因?yàn)閍0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0 a6.所以當(dāng)a不超過6千米時(shí)，可擊中目標(biāo)【由題悟法】 利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.【以題試法】2(2012福州質(zhì)檢)某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元公司擬投入(x2600)萬元作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)解：(1)設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元(2)依題意，x25時(shí)，不等式ax25850(x2600)x有解，等價(jià)于x25時(shí)，ax有解x2 10(當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)，等號成立)，a10.2.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元【鞏固練習(xí)】1函數(shù)y(x1)的最小值是_解析：x1，x10.yx122 222.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時(shí)，取等號2設(shè)a0，b0，且不等式0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于_解析：由0得k，而24(ab時(shí)取等號)，所以4，因此要使k恒成立，應(yīng)有k4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于4.3.求函數(shù)的值域.解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性.因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故.所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?4、求函數(shù)的最小值.解析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號成立，故此函數(shù)最小值是.5.求函數(shù) 的最大值解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，“=”號成立，故此函數(shù)最大值是16.已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.解：x 即xx 7.已知ab0,求a+的最小值.8已知函數(shù)f(x)x(p為常數(shù)，且p0)若f(x)在(1，)上的最小值為4，則實(shí)數(shù)p的值為_解析：由題意得x10，f(x)x1121，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號，因?yàn)閒(x)在(1，)上的最小值為4，所以214，解得p.9已知x0，a為大于2x的常數(shù)，(1)求函數(shù)yx(a2x)的最大值； (2)求yx的最小值解：(1)x0，a2x， yx(a2x)2x(a2x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號，故函數(shù)的最大值為.(2)y2 .當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號故yx的最小值為.10正數(shù)x，y滿足1. (1)求xy的最小值； (2)求x2y的最小值解：(1)由12 得xy36，當(dāng)且僅當(dāng)，即y9x18時(shí)取等號，故xy的最小值為36.(2)由題意可得x2y(x2y)19192 196，當(dāng)且僅當(dāng)，即9x22y2時(shí)取等號，故x2y的最小