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第十五章 復數(shù)一、基礎知識1復數(shù)的定義：設i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,bR）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表示。2復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi（a,bR），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數(shù)z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設z對應復平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設xOZ=,|OZ|=r，則a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，則稱為z的輻角。若02，則稱為z的輻角主值，記作=Arg(z). r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用ei表示cos+isin，則z=rei，稱為復數(shù)的指數(shù)形式。3共軛與模，若z=a+bi，（a,bR）,則a-bi稱為z的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，則。4復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，則z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(1+2),5.棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.開方：若r(cos+isin)，則，k=0,1,2,n-1。7單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,n-1）：（1）對任意整數(shù)k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意整數(shù)m，當n2時，有=特別1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)(x-).8.復數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復數(shù)實部和虛部分別對應相等；（2）兩個復數(shù)的模和輻角主值分別相等。9復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z0）.10.代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。11實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根。12若a,b,cR,a0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當=b2-4ac0時方程的根為二、方法與例題1模的應用。例1 求證：當nN+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。證明 若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2 設f(z)=z2+az+b,a,b為復數(shù)，對一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。解 因為4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等號成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.復數(shù)相等。例3 設R，若二次方程(1-i)x2+(+i)x+1+i=0有兩個虛根，求滿足的充要條件。解 若方程有實根，則方程組有實根，由方程組得(+1)x+1=0.若=-1，則方程x2-x+1=0中0無實根，所以-1。所以x=-1, =2.所以當2時，方程無實根。所以方程有兩個虛根的充要條件為2。3三角形式的應用。例4 設n2000,nN，且存在滿足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么這樣的n有多少個？解 由題設得，所以n=4k+1.又因為0n2000，所以1k500，所以這樣的n有500個。4二項式定理的應用。例5 計算：（1）；（2）解 (1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二項式定理(1+i)100= =)+()i，比較實部和虛部，得=-250，=0。5復數(shù)乘法的幾何意義。例6 以定長線段BC為一邊任作ABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點向外作等腰直角ABM、等腰直角ACN。求證：MN的中點為定點。證明 設|BC|=2a，以BC中點O為原點，BC為x軸，建立直角坐標系，確定復平面，則B，C對應的復數(shù)為-a,a,點A，M，N對應的復數(shù)為z1,z2,z3,，由復數(shù)乘法的幾何意義得：，由+得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設MN的中點為P，對應的復數(shù)z=,為定值，所以MN的中點P為定點。例7 設A，B，C，D為平面上任意四點，求證：ABAD+BCADACBD。證明 用A，B，C，D表示它們對應的復數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因為|A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|, “=”成立當且僅當，即=，即A，B，C，D共圓時成立。不等式得證。6復數(shù)與軌跡。例8 ABC的頂點A表示的復數(shù)為3i，底邊BC在實軸上滑動，且|BC|=2，求ABC的外心軌跡。解設外心M對應的復數(shù)為z=x+yi(x,yR)，B，C點對應的復數(shù)分別是b,b+2.因為外心M是三邊垂直平分線的交點，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點M對應的復數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得所以ABC的外心軌跡是軌物線。7復數(shù)與三角。例9 已知cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求證：cos2+cos2+cos2=0。證明 令z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，則z1+z2+z3=0。所以又因為|zi|=1,i=1,2,3.所以zi=1，即由z1+z2+z3=0得 又所以所以cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0.所以cos2+cos2+cos2=0。例10 求和：S=cos200+2cos400+18cos18200.解 令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+18sin18200,則S+iP=w+2w2+18w18. 由w得w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19，由-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19=，所以S+iP=，所以8復數(shù)與多項式。例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是n次復系數(shù)多項式(c00).求證：一定存在一個復數(shù)z0,|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|.證明 記c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0ei=0為n次方程，其必有n個根，設為z1,z2,zn，從而g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令z=0得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所以z1,z2,，zn中必有一個zi使得|zi|1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|.9.單位根的應用。例12 證明：自O上任意一點p到正多邊形A1A2An各個頂點的距離的平方和為定值。證明 取此圓為單位圓，O為原點，射線OAn為實軸正半軸，建立復平面，頂點A1對應復數(shù)設為，則頂點A2A3An對應復數(shù)分別為2，3，n.設點p對應復數(shù)z,則|z|=1,且=2n- =2n-命題得證。10復數(shù)與幾何。例13 如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點P，使得PAB，PCD都是以P為直角頂點的等腰直角三角形。求證：必存在另一點Q，使得QBC，QDA也都是以Q為直角頂點的等腰直角三角形。證明 以P為原點建立復平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對應的復數(shù)，由題設及復數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取，則C-Q=i(B-Q)，則BCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點。綜上命題得證。例14 平面上給定A1A2A3及點p0，定義As=As-3,s4，構(gòu)造點列p0,p1,p2,使得pk+1為繞中心Ak+1順時針旋轉(zhuǎn)1200時pk所到達的位置，k=0,1,2,若p1986=p0.證明：A1A2A3為等邊三角形。證明 令u=，由題設，約定用點同時表示它們對應的復數(shù)，取給定平面為復平面，則p1=(1+u)A1-up0,p2=(1+u)A2-up1,p3=(1+u)A3-up2,u2+(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說明A1A2A3為正三角形。三、基礎訓練題1滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(x,y)有_組。2若zC且z2=8+6i,且z3-16z-=_。3.復數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z是純虛數(shù)，則_。4已知，則1+z+z2+z1992=_。5.設復數(shù)z使得的一個輻角的絕對值為，則z輻角主值的取值范圍是_。6設z,w,C,|1，則關(guān)于z的方程-z=w的解為z=_。7.設0xc2是a2+b2-c20成立的_條件。10已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個不同的根在復平面上對應的點共圓，則m取值的集合是_。11二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實數(shù)a的取值范圍。12復平面上定點Z0，動點Z1對應的復數(shù)分別為z0,z1，其中z00，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，另一個動點Z對應的復數(shù)z滿足z1z=-1，求點Z的軌跡，并指出它在復平面上的形狀和位置。13N個復數(shù)z1,z2,zn成等比數(shù)列，其中|z1|1，公比為q,|q|=1且q1,復數(shù)w1,w2,wn滿足條件：wk=zk+h，其中k=1,2,n,h為已知實數(shù)，求證：復平面內(nèi)表示w1,w2,wn的點p1,p2,pn都在一個焦距為4的橢圓上。四、高考水平訓練題1復數(shù)z和cos+isin對應的點關(guān)于直線|iz+1|=|z+i|對稱，則z=_。2.設復數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z=_。3有一個人在草原上漫步，開始時從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過n千米后，首次回到原出發(fā)點，則n=_。4.若，則|z|=_。5.若ak0,k=1,2,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式恒成立的實數(shù)的最大值為_。6已知點P為橢圓上任意一點，以OP為邊逆時針作正方形OPQR，則動點R的軌跡方程為_。7已知P為直線x-y+1=0上的動點，以OP為邊作正OPQ(O，P，Q按順時針方向排列)。則點Q的軌跡方程為_。8已知zC,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“”的_條件。9若nN，且n3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個數(shù)為_。10設(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+anxn，則+a3k-_。11.設復數(shù)z1,z2滿足z1,其中A0，AC。證明：（1）|z1+A|z2+A|=|A|2； （2）12若zC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時的復數(shù)z.13.給定實數(shù)a,b,c,已知復數(shù)z1,z2,z3滿足求|az1+bz2+cz3|的值。三、聯(lián)賽一試水平訓練題1已知復數(shù)z滿足則z的輻角主值的取值范圍是_。2設復數(shù)z=cos+isin(0)，復數(shù)z,(1+i)z，2在復平面上對應的三個點分別是P，Q，R，當P，Q，R不共線時，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個頂點為S，則S到原點距離的最大值為_。3設復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為z1,z2,z20,則復數(shù)所對應的不同點的個數(shù)是_。4已知復數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為_。5設，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對應復平面上的點A，B，點O為原點，AOB=900，|AO|=|BO|，則OAB面積是_。6設，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開式為_。7已知()m=(1+i)n(m,nN+)