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習(xí)題2.4求解下列微分方程 （1）解：令，則方程可化為 即 分離變量得 即兩邊積分 即化簡(jiǎn)得把代入上式，化簡(jiǎn)得方程的解 （2）解：因?yàn)?所以令， 解方程 得把，代入原方程則原方程可化為令，則上面方程可化為即 分離變量得兩邊積分得即 化簡(jiǎn)得即把代入化簡(jiǎn)得把，代入上式化簡(jiǎn)得方程的解（3）. =解： =0 ， 則設(shè)則= 即 原方程為： = 化簡(jiǎn)為： = 分離變量得：= 得：= 即原方程通解為 ：（4）. =解 ：在方程兩邊同時(shí)乘以，得： ，令，則 原式為 ： （1）其對(duì)應(yīng)的其次方程為： 解得通解為 在方程（1）兩邊同時(shí)乘以，即 即 厡方程通解為 （4）解：方程可變形為，給方程兩邊同乘以，得 +=，然后令 ，就有 ，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性方程，將方程改成如下形式 兩邊同乘以積分因子，得到方程 ，它的全微分形式為 由此直接積分， ，化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得代入，得微分方程為5、求一曲線，使得連該曲線上任意點(diǎn)的切線與該點(diǎn)徑向的交角等于。 解：設(shè)曲線y=y(x)，由已知得： 令 則 曲線方程為： 6、探照燈的反光鏡（旋轉(zhuǎn)曲面）應(yīng)具有何種形狀，才能使電光源發(fā)射的光束反射成平行線束？解：以光源為圓心，平行光束為x軸，y軸為經(jīng)過圓心垂直于x軸的直線 設(shè)所求曲線方程 yf(x)，曲線上某點(diǎn)的切線斜率為,與它垂直的線的斜率為-由反光鏡的原理 得-1+0(-) = +1+- 化簡(jiǎn)得：y+2x-y=0 =-2x(4x+4y)2y 化簡(jiǎn)得：=- ()+1 令 =u, y=xu =u + xdudx 代入式化簡(jiǎn)得：udu- (1+u)(1+u)=令 1+u=t , d(1+u)=d(t), udu=tdt則 = t1 = -x C x(t1) = C x(t1)=C t1=

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