河南省鄭州第一中學2019屆高三數(shù)學上學期期中試題（含解析）.docx

2019屆河南省鄭州第一中學高三（上）期中數(shù)學試題此卷只裝訂不密封班級 姓名 準考證號 考場號 座位號 注意事項：1答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題1已知集合A=x|0x3，集合B=x|x0,蠅0)的部分圖象如圖所示，圖中的點M，N，P在同一條直線上，則y=f(x)的一條對稱軸為ABCD8設m，n是兩條不同的直線，偽，尾是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是A若，則m/尾 B若m/偽，n/偽，則m/nC若m/偽，m鈯，則 D若偽鈭?m，n/偽，n/尾，則m/n9某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于A B C D10雙曲線C的中心在坐標原點O，右頂點，虛軸的上端點，虛軸下端點，左右焦點分別為、，直線與直線交于P點，若為銳角，則雙曲線C的離心率的取值范圍為A B C D11如圖1是某學習小組學生在某次數(shù)學考試中成績的莖葉圖，1號到20號同學的成績依次為，圖2是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)的學生人數(shù)的程序框圖，那么該框圖的輸出結(jié)果是A12 B8 C9 D1112已知函數(shù)，g(x)=kx+1，若f(x)與g(x)的圖象上存在關(guān)于直線y=1對稱的點，則實數(shù)k的取值范圍是A B C D二、填空題13已知函數(shù)，是奇函數(shù)，則數(shù)a的值為_14在可行域，內(nèi)任取一點M(x,y)，則滿足2x-y0的概率是_15若，在的展開式中的系數(shù)為_三、解答題16已知是等比數(shù)列，滿足，且(1)求數(shù)列的通項公式及其前n項和的表達式；(2)求數(shù)列的通項公式17如圖，在三棱柱中，螖ABC和均是邊長為2的等邊三角形，點O為AC中點，平面平面ABC.（1）證明：平面ABC；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值.18為響應綠色出行，某市在：推出“共亨單車”后，又推出“新能源分時租賃汽車”，其中一款新能源分吋租賃汽車具體收費標準為日間0.5元/分鐘，晚間(18時30分至次日上午7時30分)收費35元/小時，已知孫先生家離上班地點20公里，每天日間租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間t(分鐘)是一個隨機變量.現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車花費時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如表所示：時間t(分鐘)頻數(shù)41618102將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分鐘(1)若孫先生一次開車時間不超過40分鐘為“路段暢通”，設X表示4次租用新能源分時租賃汽車中“路段暢通”的次數(shù)，求X的分布列和期望；(2)若公司每月給1000元的車補，請估計孫先生每月(按22天計算)的車補是否足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車？并說明理由.(同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表)19已知橢圓C：過點，且兩個焦點的坐標分別為(-1,0)，(1,0)(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B，M為橢圓C上的三個不同的點，O為坐標原點，且，求四邊形OAMB的面積20已知函數(shù).（1）若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.21在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為，(1)分別寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；、(2)已知點P(2,-1)，直線寫曲線C相交于M，N兩點，若，求實數(shù)a的值22已知函數(shù)f(x)=|x-2a+1|+|x+2|，g(x)=3x+1(1)當a=0時，求不等式f(x)鈮(x)的解集；(2)當x鈭圼-1,a)，f(x)鈮(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍2019屆河南省鄭州第一中學高三（上）期中數(shù)學試題數(shù)學 答 案參考答案1A【解析】【分析】利用并集定義直接求解即可.【詳解】集合A=x|0x3，集合B=x|x1，鈭碅鈭狟=x|x0,蠅0)的部分圖象，圖中的點M，N，P在同一條直線上，可得M、P關(guān)于點N對稱，鈭碞的橫坐標為，鈭磞=f(x)的一條對稱軸為，故選：A【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是看出來M、P關(guān)于點N對稱，屬于基礎題確定yAsin(x)b(A0，0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A，b；(2)求，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得；(3)求，常用的方法有：代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，b已知)或代入圖象與直線yb的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)特殊點法：確定值時，往往以尋找“最值點”為突破口具體如下：“最大值點”(即圖象的“峰點”)時x；“最小值點”(即圖象的“谷點”)時x.8D【解析】【分析】在A中，m/尾或；在B中，m與n的位置關(guān)系不確定；在C中，n與偽的位置關(guān)系不確定；在D中，利用線面平行的判定，性質(zhì)判定【詳解】在A中，若，則m/尾或，故A錯誤；在B中，若m/偽，n/偽，則m與n的位置關(guān)系不確定，故B錯誤；在C中，若m/偽，m鈯，則n與偽的位置關(guān)系不確定，故C錯誤；在D中，過n作平面緯鈭?a，過n作平面胃鈭?b，鈭祅/偽，偽鈭?a，鈭磏/a，同理：n/b，鈭碼/b，又，鈭碼/尾，又，偽鈭?m，鈭碼/m，又b/m，鈭磎/n，故D正確；故選：D【點睛】這個題目考查了空間中點線面的位置關(guān)系，對于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進行排除，判斷。還可以畫出樣圖進行判斷，利用常見的立體圖形，將點線面放入特殊圖形，進行直觀判斷。9C【解析】【分析】在長方體中，可得四棱錐S-ABCD，其高為1，由四棱錐的體積公式，可得所求答案【詳解】由題意，幾何體的直觀圖如圖，是長方體的一部分，如右圖所示，S-ABCD，底面是梯形，上底為1，下底為2，高為1，四棱錐的高為1，幾何體的體積為：故選：C【點睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整.10B【解析】【分析】設雙曲線的方程為，求出點P的坐標，再根據(jù)鈭燗PF是鈍角，則，得到，繼而得到，解得即可【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，故直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，鈭碘垹APF是鈍角，即，又e1，故選：B【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應用，解題時根據(jù)對稱性和題設條件判斷出雙曲線的漸近線斜率的范圍，列出不等式并轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的不等式是解答的關(guān)鍵，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a,c，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e的取值范圍).11B【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖和程序框圖知，該程序運行后輸出成績大于或等于100的人數(shù)，由此求出輸出的n值【詳解】根據(jù)莖葉圖知，這20名同學的成績依次為，分析程序框圖知，該程序運行后輸出成績大于或等于100的人數(shù)，由此知輸出的結(jié)果是8故答案為：8故選：B【點睛】本題考查了莖葉圖和程序框圖的應用問題，是基礎題12C【解析】【分析】求出g(x)關(guān)于直線y=1的對稱函數(shù)h(x)，令f(x)與h(x)的圖象有交點，直線和曲線相切是臨界，進而得出k的范圍【詳解】g(x)=kx+1關(guān)于直線y=1對稱的直線為y=h(x)=1-kx，直線y=1-kx與y=2lnx在上有交點作出y=1-kx與y=2lnx的函數(shù)圖象，如圖所示：若直線y=1-kx經(jīng)過點，則k=3e，若直線y=1-kx與y=2lnx相切，設切點為(x,y)則，解得則k的取值范圍是故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)的對稱問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，以及零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題131【解析】【分析】根據(jù)f(x)為奇函數(shù)，即可得出，從而得出，這樣即可得到，a=-1不滿足函數(shù)f(x)，得出a=1【詳解】是奇函數(shù)；鈭碼=1，或-1(舍去)故答案為：1【點睛】考查奇函數(shù)的定義，對數(shù)的運算，對數(shù)的真數(shù)大于0已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由 恒成立求解，（2）偶函數(shù)由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由 求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性14【解析】【分析】畫出可行域，求出面積，滿足2x-y0的區(qū)域為圖形中的紅色直線的下方的四邊形，其面積為，由幾何概型的公式可得2x-y0的概率為：；【詳解】約束條件的可行域如圖：由解得A(2,1)，可行域d面積為，由，解得B(1.2)滿足2x-y0的區(qū)域為圖形中的紅色直線的下方的四邊形，其面積為，由幾何概型的公式可得2x-y0的概率為：；故答案為：【點睛】本題考查了可行域的畫法以及幾何概型的概率公式的運用.考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力在利用幾何概型的概率公式來求其概率時，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度，面積、體積時的等可能性主要體現(xiàn)在點落在區(qū)域上任置都是等可能的，而對于角度而言，則是過角的頂點的一條射線落在的區(qū)域（事實也是角）任一位置是等可能的15135【解析】【分析】根據(jù)定積分求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式計算展開式中的系數(shù)【詳解】，其展開式的通項公式為：，令，解得r=2，展開式中的系數(shù)為故答案為：135【點睛】本題考查了定積分與二項式展開式的通項公式應用問題，是基礎題求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項，再由特定項的特點求出r值即可;(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r+1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù).16（1），（2）.【解析】【分析】(1)直接利用題意，建立方程組，進一步求出數(shù)列的通項公式;(2)利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式【詳解】是等比數(shù)列，且則：，所以：，由于：滿足，故：，所以：數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列則：所以：(2)由于：且所以：，當n鈮?時，得：，故：，當n=1時，首項不符合通項，故：【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，利用遞推關(guān)系式法求出數(shù)列的通項公式，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題型17（1）見解析（2）【解析】分析：(1)先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得A1OAC，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理即得結(jié)論，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面A1BC1的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求結(jié)果.詳解：（）證明：AA1=A1C，且O為AC的中點，A1OAC，又平面AA1C1C平面ABC，且交線為AC，又A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC（）如圖，以O為原點，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系由已知可得，, ， 設平面A1BC1的法向量為n= (x,y,z)，則有，所以n的一組解為n= (1,0,1)設直線AB與平面所成角為偽，則又 =， 所以AB與平面所成角的正弦值為點睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關(guān)”.18（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1)計算租用一次新能源汽車為“路段暢通”的頻率，并視頻率為概率，知X的可能取值，且X服從二項分布，計算對應的頻率值，寫出X的分布列，求出數(shù)學期望值；(2)計算租用一次新能源汽車上下班平均用車時間和費用，求出一個月的總費用，比較即可【詳解】(1)孫先生租用一次新能源汽車，為“路段暢通”的頻率為，視頻率為概率，孫先生租用一次新能源汽車，為“路段暢通”的概率為，則X的可能取值為0，1，2，3，4；且X服從二項分布，所以；鈭碭的分布列為：X01234P數(shù)學期望為；(2)孫先生租用一次新能源汽車上下班，平均用車時間為t，則分鐘)，每次上下班租車的費用約為43脳0.5=21.5(元)，一個月上下班租車的總費用約為21.5脳2脳22=946(元)，因為9461000，估計孫先生每月的車補足夠上、下班租用新能源分時租賃汽車【點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.19（1）；（2）3.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，由橢圓的焦點坐標可得c的值，結(jié)合橢圓C過點，即可得a，b的值，由橢圓的定義計算可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案；(2)根據(jù)題意，按直線AB的斜率是否存在分2種情況討論：，直線AB的斜率不為零，當AB的斜率為零時，分別求出四邊形的面積，綜合即可得結(jié)論【詳解】(1)根據(jù)題意，橢圓C的兩個焦點的坐標分別為(-1,0)，(1,0).則c=1，又由橢圓經(jīng)過點，即a=2，則橢圓C的方程為；(2)：根據(jù)題意，分2種情況討論：，當直線AB的斜率不存在時，AB鈯M，AB=3，OM=2，四邊形OAMB的面積鈶?當直線AB的斜率存在時可設AB：y=kx+m代入得：，設，則，由鈻?gt;0，可得，由，可得四邊形OAMB為平行四邊形，鈭礛為橢圓C上的點，又原點到直線AB的距離，綜上四邊形OAMB的面積為3【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用20(1) m的取值范圍是;(2)實數(shù)a的取值范圍是.【解析】試題分析：（1）即求函數(shù)在區(qū)間上值域，先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，進而根據(jù)單調(diào)性求值域，（2）先參變分離，轉(zhuǎn)化為求對應函數(shù)最值：a鈮(x)-f(x)的最小值，利用二次求導可得函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定其最小值取法，最后根據(jù)最小值得實數(shù)a的取值范圍.試題解析：（1）方程即為. 令，則. 令，則（舍），. 當x1， 3時，隨x變化情況如表: x130h(x)極大值當x1，3時，. m的取值范圍是. （2）據(jù)題意，得g(x)-f(x)鈮對恒成立.令，則. 令，則當x0時， 函數(shù)G(x)在上遞增. ，G(x)存在唯一的零點c（0，1），且當x（0，c）時，G(x)0. 當x（0，c）時，；當時，. F(x)在（0，c）上遞減，在上遞增，從而. 由G(c)=0得，即，兩邊取對數(shù)得，F(xiàn)(c)=0. a鈮?，即所求實數(shù)a的取值范圍是. 點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.21（1）x-