第八章 矢量算法與場(chǎng)論初步張量算法與黎曼幾何初步 SECTION2.doc

2 場(chǎng)論初步場(chǎng)論初步 一 場(chǎng)論的基本概念及梯度 散度與旋度 標(biāo)量場(chǎng) 空間區(qū)域 D 的每點(diǎn) M x y z 對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)量值 x y z 它在此空間區(qū)域 D 上就 構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 用點(diǎn) M x y z 的標(biāo)函數(shù) x y z 表示 若 M 的位置用矢徑 r 確定 則標(biāo)量 可以看作變矢 r 的函數(shù) r 例如溫度場(chǎng) u x y z 密度場(chǎng) 電位場(chǎng) e x y z 都是標(biāo)量場(chǎng) zyx 矢量場(chǎng) 空間區(qū)域 D 的每點(diǎn) M x y z 對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量值 R x y z 它在此空間區(qū)域 D 上就構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng) 用點(diǎn) M x y z 的矢量函數(shù) R x y z 表示 若 M 的位置用矢徑 r 確定 則矢量 R 可以看作變矢 r 的矢函數(shù) R r R r X x y z i Y x y z j Z x y z k 例如流速場(chǎng) x y z 電場(chǎng) E x y z 磁場(chǎng) H x y z 都是矢量場(chǎng) 與標(biāo)量場(chǎng)的情況一樣 矢量場(chǎng)概念與矢函數(shù)概念 實(shí)質(zhì)上是一樣的 沿用這些術(shù)語(yǔ) 標(biāo)量 場(chǎng) 矢量場(chǎng) 是為了保留它們的自身起源與物理意義 梯度 grad i j k x y z x y z 式中 i j k稱為哈密頓算子 也稱為耐普拉算子 grad有的書刊中記作 del x y z grad的方向與過(guò)點(diǎn) x y z 的等量面 C 的法線方向 N 重合 并指向增加的一方 是函數(shù)變化率最大的方向 它的長(zhǎng)度等于 N 梯度具有性質(zhì) grad grad grad 為常數(shù) grad grad grad gradF grad F 方向?qū)?shù) l grad cos cos cos l x y z 式中 l cos cos cos 為方向 l 的單位矢量 為其方向角 方向?qū)?shù)為在方向 l 上的變化律 它等于梯度在方向 l 上的投影 散度 divR R div X Y Z x X y Y z Z 式中為哈密頓算子 散度具有性質(zhì) div a b diva divb 為常數(shù) div a div a a grad div a b b rot a a rotb 旋度 rotR i j k R z Y y Z x Z z X y X x Y ZYX zyx kji 式中為哈密頓算子 旋度也稱渦度 rot R 有的書刊中記作 curl R 旋度具有性質(zhì) rot a b rot a rot b 為常數(shù) rot a rot a a grad rot a b b a a b div b a div a b 梯度 散度 旋度混合運(yùn)算 運(yùn)算 grad 作用到一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)產(chǎn)生矢量場(chǎng) grad 運(yùn)算 div 作用到一個(gè)矢量場(chǎng) R 產(chǎn)生標(biāo)量場(chǎng) div R 運(yùn)算 rot 作用到一個(gè)矢量場(chǎng) R 產(chǎn)生新的矢量場(chǎng) rot R 這三種運(yùn)算的混合運(yùn)算公式如下 div rot R rot grad div grad 2 2 x 2 2 y 2 2 z grad div R R rot rot R R div grad div grad div grad 為常數(shù) div grad div grad div grad grad grad grad div R rot rot R R 式中 為哈密頓算子 為拉普拉斯算子 勢(shì)量場(chǎng) 守恒場(chǎng) 若矢量場(chǎng) R x y z 是某一標(biāo)函數(shù) x y z 的梯度 即 R grad 或 X Y Z x y z 則 R 稱為勢(shì)量場(chǎng) 標(biāo)函數(shù)稱為 R 的勢(shì)函數(shù) 矢量場(chǎng) R 為勢(shì)量場(chǎng)的充分必要條件是 rot R 或 y X x Y z Y y Z x Z z X 勢(shì)函數(shù)計(jì)算公式 x y z x0 y0 z0 x x xzyxX 0 d 00 y y yzyxY 0 d 0 z z zzyxZ 0 d 無(wú)散場(chǎng) 管形場(chǎng) 若矢量場(chǎng) R 的散度為零 即 div R 0 則 R 稱為無(wú)散場(chǎng) 這時(shí)必存在 一個(gè)無(wú)散場(chǎng) T 使 R rot T 對(duì)任意點(diǎn) M 有 T 1 4 V r d rotR 式中 r 為 dV 到 M 的距離 積分是對(duì)整個(gè)空間進(jìn)行的 無(wú)旋場(chǎng) 若矢量場(chǎng) R 的旋度為零 即 rot R 0 則 R 稱為無(wú)旋場(chǎng) 勢(shì)量場(chǎng)總是一個(gè)無(wú) 旋場(chǎng) 這時(shí)必存在一個(gè)標(biāo)函數(shù) 使 R grad 而對(duì)任意點(diǎn) M 有 1 4 V r d divR 式中 r 為 dV 到 M 的距離 積分是對(duì)整個(gè)空間進(jìn)行的 二 梯度 散度 旋度在不同坐標(biāo)系中的表達(dá)式 1 單位矢量的變換 一般公式 假定 x f y g z h 把 空間的一個(gè)區(qū)域 一 對(duì)一地連續(xù)映射為 x y z 空間的一個(gè)區(qū)域 D 并假定 f g h 都有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 因 為對(duì)應(yīng)是一對(duì)一的 所以有 x y z x y zx y z 再假定也有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 則有 dddd dddd dddd zzz z yyy y xxx x 或逆變換 z z y y x x z z y y x x z z y y x x dddd dddd dddd 沿 dx dy dz 方向的單位矢量記作 i j k 沿方向的單位矢量記作 則 d d d eee 有 222 222 222 zyx zyx zyx zyx zyx zyx kji e kji e kji e 圓柱面坐標(biāo)系的單位矢量 對(duì)于圓柱面坐標(biāo)系 圖 8 11 zz y x sin cos 002 z 單位矢量為 ke jie jie z cossin sincos 它們的偏導(dǎo)數(shù)為 0 0 0 zzz z z z e ee e ee e e e e e 球面坐標(biāo)系的單位矢量 對(duì)于球面坐標(biāo)系 圖 8 12 cos sinsin cossin rz ry rx 0020 r 單位矢量為 jie kjie kjie cossin sinsincoscoscos cossinsincossin r 它們的偏導(dǎo)數(shù)為 ee e e e e e 0 e e e e e 0 e ee cossin cos sin r r r r r rrr 2 矢量的坐標(biāo)變換 一般公式 一個(gè)由 x y z 坐標(biāo)系所表達(dá)的矢量可以用 坐標(biāo)系來(lái)表達(dá) y z i y j z k x x eee 式中 222222222 222222222 222222222 zyx z zyx z zyx z zyx y zyx y zyx y zyx x zyx x zyx x z y x 圓柱面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互換 由圓柱面坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的變換公式 zz y x cossin sincos 由直角坐標(biāo)系到圓柱面坐標(biāo)系的變換公式 zz yx yx cossin sincos 球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互換 由球面坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的變換公式 sincos cossincossinsin sincoscoscossin rz ry rx 由直角坐標(biāo)系到球面坐標(biāo)系的變換公式 cossin sinsincoscoscos cossinsincossin yx zyx zyx 3 各種算子在不同坐標(biāo)系中的表達(dá)式 設(shè) U U x y z 是一個(gè)標(biāo)函數(shù) V V x y z 是一個(gè)矢函數(shù) 在圓柱面坐標(biāo)系中各種算子的表達(dá)式 哈密頓算子 e 1 e z z e 梯 度 gradU U U e U1 e z U z e 散 度 divV V z z 11 旋 度 rotV V e z z 1 e z z z e 11 拉普拉斯算子 U div gradU 2 2 2 2 2 11 z UUU 在球面坐標(biāo)系中各種算子的表達(dá)式 哈密頓算子 r r e r 1 e sinr 1 e 梯 度 grad r U r e U r 1 e U rsin 1 e 散 度 div V V sin sin sinrr r rr r 111 2 2 旋 度 rotV V sin sinr 1 r e r rrr r 11 sin e r rr r r 11 e 拉普拉斯算子 U div gradU 2 2 22 2 2 1111 U r U rrr U r rrsin sin sin 三 曲線積分 曲面積分與體積導(dǎo)數(shù) 矢量的曲線積分及其計(jì)算公式 矢量場(chǎng) R r 沿曲線的曲線積分定義為 R r dr R ri 1 n i n r 1 0 lim i r 式中ri 1 ri ri 1 右邊極限與的選擇無(wú)關(guān) 曲線 i r 由 A 到 B 圖 8 13 若矢函數(shù) r 是連續(xù)的 就是它的三個(gè)分量是 連續(xù)函數(shù) 曲線也是連續(xù)的 且有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的 切線 則曲線積分 rrRd 存在 若 r 為一力場(chǎng) 則 就等于把 rrRd 一質(zhì)點(diǎn)沿著 移動(dòng)時(shí)力 所作的功 矢量曲線積分的計(jì)算公式如下 rrRd zZyYxXddd 圖 8 14 21 rrRd 1 rrRd 2 rrRd rrRd rrRd rrTrRd rrRd rrTd k k 為常數(shù) rrRdk rrRd 矢量的環(huán)流 如果 為一閉曲線 則沿曲線 的曲線積分 rrRd zZyYxXddd 稱為矢量場(chǎng) r 沿閉曲線 的環(huán)流 勢(shì)量場(chǎng)沿任何閉曲線的環(huán)流都等于零 如果 r 為一勢(shì)量場(chǎng) 且它的勢(shì)函數(shù)為時(shí) 則 曲線積分 B A rrRd B A rrRd 與連接 A B 兩點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān) 只依賴于 A B 兩點(diǎn)的 位置 圖 8 15 矢量的曲面積分 設(shè) S 為一曲面 令 N 表示在曲面 S 上一點(diǎn)的法 cos cos cos 線單位矢量 A而 dS NdS 表示面積矢量元素 又設(shè) r x y z 是定義在曲面 S 上的連續(xù)標(biāo) 函數(shù) R r X x y z Y x y z Z x y z 是定義在曲面 S 上的連續(xù)矢函數(shù) 則曲面積分有如下 的三種形式 1 標(biāo)量場(chǎng)的通量 或流量 dS dydz i dzdx j dxdy k S Syz Szx Sxy 式中 Syz Szx Sxy分別表示曲面 S 在 Oyz 平面 Ozx 平面 Oxy 平面上的投影 Sxy的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下 當(dāng)從 軸正方 向看去時(shí) 看到的是曲面 S 的正面 認(rèn)為 Sxy為正 如果 看到的是曲面的反面 則認(rèn)為 Sxy為負(fù) 圖 8 16 2 矢量場(chǎng)的標(biāo)通量 R dS Xdydz Ydzdx Zdxdy S Syz Szx Sxy 式中 Syz等的意義同 1 3 矢量場(chǎng)的矢通量 R dS Zj Yk dydz Xk Zi dzdx Yi Xj dxdy S Syz Szx Sxy 式中 Syz等的意義同 1 矢量的體積導(dǎo)數(shù) 如果 S 是包圍體積 V 的閉曲面 并包含點(diǎn) r 則沿閉曲面 S 的曲面 積分 dS R dS R dS 與體積 V 之比 當(dāng) V 趨于零時(shí) 即它的直徑 的極限 S S S 稱為標(biāo)量場(chǎng) 或矢量場(chǎng) R 在點(diǎn) r 處的體積導(dǎo)數(shù) 或空間導(dǎo)數(shù) 1 標(biāo)量場(chǎng)的體積導(dǎo)數(shù)就是它的梯度 grad V S V Sd lim 0 2 矢量場(chǎng) 的體積導(dǎo)數(shù)之一是它的散度 div R V S V SR d lim 0 3 矢量場(chǎng) 的另一個(gè)體積導(dǎo)數(shù)是它的旋度 rot R V S V SRd lim 0 四 矢量的積分定理 高斯公式 A 這里規(guī)定法線單位矢量與曲面分布在切面的兩側(cè) RdV R dS R NdS V div S S 即 VS SZYXzyx z Z y Y x X dcoscoscosddd 式中 為空間區(qū)域 的邊界曲面 N 為 cos cos cos 在 S 上一點(diǎn)的法線單位矢量 R r X x y z Y x y z Z x y z 在 V S 上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 斯托克斯公式 rot dS rot R NdS R dr S S L 即 yx y X x Y xz x Z z X zy z Y y Z S dddddd S S y X x Y x Z z X z Y y Z dcoscoscos L zZyYxXddd 式中 S 為一定曲面的一側(cè) L 為曲面 S 的閉邊界曲線 L 的正向與 N 構(gòu)成右手系 S 的每點(diǎn)有 切面 其方向連續(xù)地依賴于曲面上的點(diǎn)