初三幾何2中點輔助線.中位線(2013-2014)教師.doc

2014年中考解決方案構造中位線學生姓名：上課時間：2013.構造中位線自檢自查必考點知識點一 中點一、與中點有關的概念三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線 三角形中線的相關定理： 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個三角形是直角三角形二、與中點有關的輔助線秘籍一：倍長中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的可以旋轉等長度的線段，從而達到將條件進行轉化的目的。 秘籍二：構造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取另一邊中點，或延長三角形一邊，從而達到構造三角形中位線的目的。 秘籍三：構造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點等線段，就需要考慮構造三線合一，從而找到突破口 其他位置的也要能看出 秘籍四：構造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個等腰三角形，從而轉化線段關系。 他位置的也要能看出 中考滿分必做題一、構造三角形中位線考點說明：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取四邊形對角線中點、等腰三角形底邊中點、直角三角形斜邊中點或其他線段中點，延長三角形一邊，從而達到構造三角形中位線的目的?！邦}中有中點，莫忘中位線”與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構造三角形全等將分散的條件集中起來平移也有類似功效【例1】 已知：是的中線，是的中線，且，求證：【答案】取的中點，連結，易得，而，故再證，得【練1】如右下圖，在中，若，為邊的中點求證：【答案】如右下圖，則取邊中點，連結、由中位線可得，且為斜邊上的中線，又，即，【練2】在中，、分別為、邊上的高，求證：【考點】三角形的中位線，30所對的直角邊等于斜邊的一半【答案】取、的中點，連結，從而得，又因，故【練3】在中，以為底作等腰直角，是的中點，求證：且【答案】過作交于又，又故且【例2】 已知四邊形的對角線，、分別是、的中點，連結分別交、于、，求證：【答案】設的中點為，連結、，容易證得，從而，所以 【練1】已知四邊形中，分別是的中點，交于；交于，和交于點求證：【答案】取中點，連接,【練2】已知：在中，動點繞的頂點逆時針旋轉，且，連結過、的中點、作直線，直線與直線、分別相交于點、（1）如圖1，當點旋轉到的延長線上時，點恰好與點重合，取的中點，連結、，求證： （2）當點旋轉到圖2中的位置時，與有何數(shù)量關系？請證明【答案】取的中點，連結、是的中點，是的中點，同理，【例3】 如圖，在五邊形中，為的中點求證：【答案】取中點，中點連結、，則根據直角三角形斜邊中線的性質及中位線的性質有，同理可證，即，【練1】如圖所示，在中，為的中點，分別延長、到點、，使過、分別作直線、的垂線，相交于點，設線段、的中點分別為、求證：（1）；（2）【答案】（1）如圖所示，根據題意可知且，且，所以而、分別是直角三角形、的斜邊的中點，所以，又已知，從而（2）由(1)可知，則由可得而、均為等腰三角形，所以【練2】已知：在中，分別以、為斜邊作等腰直角三角形，和，是邊的中點求證：【答案】取中點中點連結 (兩邊分別垂直)【練3】如圖所示，已知和都是直角三角形，且，連接，設為的中點（1）求證（2）設，固定Rt，讓Rt移至圖示位置，此時是否成立？請證明你的結論【答案】（1）如圖所示，延長交于因為，故，則，從而（2）結論是肯定的取、的中點、，連接、由、是Rt、Rt斜邊上的中線可得，從而，又因為，故，從而，故【例4】 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連接，、分別是、的中點探究：與的位置關系及數(shù)量關系（1）如圖 當為直角三角形時，與的位置關系是_；線段與的數(shù)量關系是_；（2）將圖中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉()后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由 【答案】（1），;（2）結論仍然成立。證法一：如圖，延長至，使，交于點，并連結 ，在與中，.又，且 【練1】（1）如圖1，、分別是的外角平分線，過點作,垂足分別為，連接求證： （2）如圖2，分別是的內角平分線，其他條件不變； （3）如圖3，為的內角平分線，為的外角平分線，其他條件不變 則在圖2、圖3兩種情況下，還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數(shù)量關系？ 請你寫出猜測，并給與證明【解析】（1）如圖1，證明略 （2）如圖2，證明過程略（3） 如圖，證明過程略【練2】已知中，邊上的高線與的兩條內角平分線、分別交于、兩點、的中點分別為、求證：【點播】（模型）雙垂直+角平分線=等腰三角形，可以讓學生記住該模型【答案】因為是的平分線，所以.又因為，所以，因此 又是的中點，所以，延長交于，延長交于可證明,所以和分別是和的中位線所以【例5】 等腰梯形中，與交于點，、分別是、的中點，求證：是正三角形【答案】連結、是等腰梯形，、都是正三角形是的中點，是的中點，、分別是直角三角形、斜邊上的中線，是的中位線，是正三角形再給一種思路：(其實方法很多)取的中點，連結、證明，再證結論【練1】是的中線，是的中點，的延長線交于求證：【答案】取的中點，連接易得，為的中點，所以，從而可證得：【例6】 如左下圖，在梯形中，、分別是、中點求證：，且【答案】如圖，連結并延長交于，【練習2】在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東，小明交流原問題：如圖1，已知，分別以為邊向外作和，且，連接交于點，探究線段與的數(shù)量關系。小慧同學的思路是：過點作于，構造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學說：我做過一道類似的題目，不同的是，小明同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況。請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：（1）寫出原問題中與的數(shù)量關系（2）如圖2，若，原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，若原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明?！敬鸢浮浚?）（2）猜想：證明：過點作于，則，是等邊三角形，是等邊三角形，(3)猜想：證法一：過點作于，連接，交于，則，四邊形是平行四邊形，證法二：分別過點，作于，于，連接則，點在同一條直線上中考真題拔高【例7】 已知：中，中，. 連接、，點、分別為、的中點. （1）如圖1，若、三點在同一直線上，且，則的形狀是_，此時_；（2）如圖2，若、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；（3）在圖2中，固定，將繞點旋轉，直接寫出的最大值.（10年海淀一模） 圖1 圖2【答案】（1）等邊三角形，1； （2）證明：連接、.由題意，得，,. 、三點在同一直線上， 、三點在同一直線上. . 為中點， 在Rt中，.在Rt中，. . 、四點都在以為圓心，為半徑的圓上. .又 ， . . .由題意，又. . .在Rt中，. ， . （3）.【例8】 如圖，D是ABC中AB邊的中點，BCE和ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點.（1）求證：DMN是等邊三角形；（2）連接EF，Q是EF中點，CPEF于點P. 求證：DPDQ.同學們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學的解題思路作為參考：小聰同學發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點，因此考慮構造三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構造出相應的三角形呢？她考慮將NCM繞頂點旋轉到要證的對應線段的位置，由此猜想到了所需構造的三角形的位置.（12年朝陽二模）【答案】（1）取AC的中點G，連接NG、DG.DGBC，DGBC；NGC是等邊三角形. NG = NC，DG = CM. 1 + 2 = 180，NGD + 2 = 240.2 + 3 = 240，NGD =3.NGDNCM . ND = NM ，GND =CNM. DNM =GNC = 60.DMN是等邊三角形. （2）連接QN、PM.QN =CE= PM. RtCPE中，PM =EM，4= 5. MNEF，5= 6，7= 8.NQCE，7= 4.6= 8.QND= PMD. QNDPMD. DQ= DP. 【例9】 在ABC中，D為BC邊的中點，在三角形內部取一點P，使得ABP=ACP過點P作PEAB于點E，PFAC于點F （1）如圖1，當AB=AC時，判斷的DE與DF的數(shù)量關系，直接寫出你的結論；（2）如圖2，當ABAC，其它條件不變時，（1）中的結論是否發(fā)生改變？請說明理由（12年豐臺二模） 圖1 圖2【答案】（1）DE=DF （2）DE=DF不發(fā)生改變理由如下：分別取BP、CP的中點M、N，聯(lián)結EM、DM、FN、DN D為BC的中點， 同理 四邊形MDNP為平行四邊形 EMDDNF DE=DF【例10】 探究問題：已知AD、BE分別為ABC 的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點O.（1）ABC為等邊三角形，如圖1，則AOOD=_；（2）當小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若ABC為一般三角形（如圖2），中的結論仍成立，請你給予證明.（3）運用上述探究的結果，解決下列問題：如圖3，在ABC中，點E是邊AC的中點，AD平分BAC, ADBE于點F，若AD=BE=4.求：ABC的周長.（2012年房山二模試題） 圖1 圖2 圖3【答案】（1）2：1 （2）證明略（3）方法一：過點C作CGBE，交AB延長線于點G，故是的中位線，點為重心，,故周長為方法二：取中點，中點，連接，交于點，易證四邊形為菱形，故為重心，=，故周長為【例11】 如圖1，在四邊形中，分別是的中點，連結并延長，分別與的延長線交于點，則（不需證明）（溫馨提示：在圖1中，連結，取的中點，連結，根據三角形中位線定理，證明，從而，再利用平行線性質，可證得）問題一：如圖2，在四邊形中，與相交于點，分別是的中點，連結，分別交于點，判斷的形狀，請直接寫出結論問題二：如圖3，在中，點在上，分別是的中點，連結并延長，與的延長線交于點，若，連結，判斷的形狀并證明（13年延慶一模） 圖1 圖2 圖3【答案】（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連結，取的中點，連結， 是的中點，ABCDFGHE123，同理，60，是等邊三角形 ，即是直角三角形 【例12】 我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心經過證明我們可得三角形重心具備下面的性質： 重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為請你用此性質解決下面的問題.已知：如圖，點為等腰直角三角形的重心，直線過點,過三點分別作直線的垂線，垂足分別為點. （1）當直線與平行時（如圖1），請你猜想線段和三者之間的數(shù)量關系并證明；（2）當直線繞點旋轉