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周期現象與函數的周期性 陜西漢中市405學校 侯有岐 723312周期性是三角函數的重要性質,同時也是高考的熱點.下面就函數周期的概念及其應用例析如下,供同學們參考.一、周期函數的概念1. 概念一般地,對于函數,如果存在非零實數,任取定義域內的任意一個值,都有,我們就把稱為周期函數, 稱為這個函數的周期.對于一個周期函數,如果在所有的周期中,存在著一個最小的正數,就把這個最小的正數叫作函數的最小正周期.2. 注意點(1)正確理解周期函數的定義.定義式對定義域中的每一個值都成立,即定義域內任意都使定義式成立,而不是“一個”或“某些個”;另一方面,判斷一個函數不是周期函數,只需舉一個反例即可.(2)周期函數的定義域必須是無限集.由定義知,周期函數必須對其定義域內的每一個都有成立,從而也必須在其定義域內,因此,周期函數的定義域必須是無限集.若一個函數的定義域是有限集,則它一定不是周期函數.(3)周期函數不一定都有最小正周期.一個函數是周期函數,但它不一定有最小正周期.例如常函數,對任一非零實數,對一切恒成立,故它為周期函數,但無最小正周期,由于正數中不存在最小的數.(4)設是的周期,那么也一定是的周期,定義規(guī)定了為一個實常數,而不是一個變數;同時也規(guī)定了的取值范圍,只要求不為零,不要誤認為一定是的倍數.(5)與三角函數復合的函數不都是周期函數.例如不是周期函數(如右圖示即知).二、三角函數最小正周期的常用求法1. 定義法直接利用周期函數的定義求出最小正周期.例1 求函數 的一個周期.解: 因為=, 所以的一個周期是.點評: 本題應用周期函數的定義求函數的周期,這是求周期的基本方法之一,同學們要掌握.2、公式法對于函數或的最小正周期可直接用公式求得.例2 求函數 的最小正周期.解: 由公式 ,得函數的最小正周期為 .點評: 探求三角函數的周期,一般來說用公式法,即首先將函數式化為或的形式,再利用求得.3、數形結合法利用函數的圖象可直接求出函數的最小正周期.例3 求函數 的最小正周期. 解: 函數 的圖象如右圖所示: 由圖易知 的最小正周期 為 .點評: 對于一些含有絕對值的三角函數的周期問題,可借助函數圖象解決.4、最小公倍數法對于函數的最小正周期可用最小公倍數法求得.例4 求函數 的最小正周期.解: 設 的最小正周期分別為,則由公式法得. 所以存在一個最小的正數,使得. 故函數 的最小正周期為.點評: 設與是定義在公共定義域上的兩個函數, 分別是他們的最小正周期.如果能找到一個最小的正數,使,，則函數的最小正周期為,就是的最小公倍數.周期函數是考試中考查的熱點,要判斷是周期函數,應正確理解周期函數的定

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