概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程 4-2.ppt

3 4二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問題 已知二維隨機(jī)變量 X Y 的概率特性g x y 為已知的二元函數(shù) Z g X Y 求 Z的概率特性 方法 轉(zhuǎn)化為 X Y 的事件 當(dāng) X Y 為離散型隨機(jī)變量時(shí) Z也為離散型 當(dāng) X Y 為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí) 其中 例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 X Y 的概率分布為 解根據(jù) X Y 的聯(lián)合概率分布可得如下表格 X Y X Y XY Y X 2 10112 0 12132 10 10 20 10 10 1 20 max X Y 101122 設(shè)X B n1 p Y B n2 p 且X Y相互獨(dú)立 則X Y B n1 n2 p 關(guān)于離散型隨機(jī)變量的兩個(gè)重要結(jié)論 設(shè)X P 1 Y P 2 且X Y相互獨(dú)立 則X Y P 1 2 問題 已知二維隨機(jī)變量 X Y 的密度函數(shù) g x y 為已知的二元函數(shù) Z g X Y 求 Z的密度函數(shù) 方法 從求Z的分布函數(shù)出發(fā) 將Z的分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為 X Y 的事件建立一個(gè)新的二維隨機(jī)變量 Z X 或 Z Y 求其邊緣分布得Z的密度函數(shù) 1 和的分布 Z X Y 設(shè) X Y 為連續(xù)型隨機(jī)變量 聯(lián)合密度函數(shù)為f x y 則 x y z 或 特別地 若X Y相互獨(dú)立 則 或 或 稱之為函數(shù)fX z 與fY z 的卷積 例1已知 X Y 的聯(lián)合概率密度為 Z X Y 求fZ z 解法一 圖形定限法 顯然X Y相互獨(dú)立 解法二從定義出發(fā) 沒有獨(dú)立性假設(shè) 當(dāng)z 0時(shí) 當(dāng)0 z 1時(shí) 當(dāng)1 z 2時(shí) z 1 當(dāng)2 z時(shí) 對于X Y不相互獨(dú)立的情形可同樣的用直接求密度函數(shù)與通過分布函數(shù)求密度函數(shù)兩種方法求和的分布 例2已知 X Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為 Z X Y 求fZ z 解 圖形定限法 由公式 1 當(dāng)z2 當(dāng)0 z 1 當(dāng)1 z 2 fZ z 0 正態(tài)隨機(jī)變量的情形 若X Y相互獨(dú)立 則 若 X Y 則 則 推廣 已知 X Y 的聯(lián)合密度f x y 求Z aX bY c的密度函數(shù) 其中a b c為常數(shù) a b 0 2 極值分布 即極大值 極小值的分布 對于離散型隨機(jī)變量的極值分布可直接計(jì)算 只討論相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的極值分布 例5X Y相互獨(dú)立 X Y 參數(shù)為0 5的0 1分布 求M max X Y 的概率分布 解 對于連續(xù)型隨機(jī)變量 設(shè)X Y相互獨(dú)立 X FX x Y FY y M max X Y N min X Y 求M N的分布函數(shù) 推廣至相互獨(dú)立的n個(gè)隨機(jī)變量的情形 則 例6設(shè)系統(tǒng)L由相互獨(dú)立的n個(gè)元件組成 連接方式為 串聯(lián) 并聯(lián) 冷貯備 起初由一個(gè)元件工作 其它n 1個(gè)元件做冷貯備 當(dāng)工作元件失效時(shí) 貯備的元件逐個(gè)地自動(dòng)替換 4 L為n個(gè)取k個(gè)的表決系統(tǒng) 即n個(gè)元件中有k個(gè)或k個(gè)以上的元件正常工作時(shí) 系統(tǒng)L才正常工作 求在以上4種組成方式下 系統(tǒng)L的壽命X的密度函數(shù) 解 1 2 3 n 2時(shí) X1 X2與X3也相互獨(dú)立 故 歸納地可以證明 4 3 平方和的分布 Z X2 Y2 設(shè) X Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為f x y 則 習(xí)題29 X N 0 1 Y N 0 1 X Y相互獨(dú)立 Z X2 Y2 則 稱為自由度為2的 2分布 4 商的分布 Z X Y習(xí)題21 例4已知 X Y 的聯(lián)合分布函數(shù)為 求Z X Y的概率密度函數(shù) 解 平方和的分布 習(xí)題20 作業(yè) Page122 124 15 17 18 22 24 28 31 另一種計(jì)算fZ z 的方法 先構(gòu)造一個(gè)新的二維隨機(jī)變量 Z U 它們是 X Y 的函數(shù) 而Z aX bY c 求 Z U 的聯(lián)合密度函數(shù)f z u 求邊緣密度fZ z h s有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) 記 則 已知 X Y 的聯(lián)合密度fXY x y 求 Z U 的聯(lián)合密度函數(shù)fZU z u 的方法 證 例2已知 X Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為 Z X Y 求fZ z 解法三 令 2 1 1 已知 X Y 的聯(lián)合密度f x y 求Z aX bY c的密度函數(shù) 其中a b c為常數(shù) a b 0 令 例3已知 X Y 的聯(lián)合密度函數(shù)為 Z 3X 2Y 求fZ z 解 令 利用此種方法也可以求某些其他的函數(shù)的密度 2