2012高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 立體幾何（教師版）

立體幾何立體幾何 一 高考預(yù)測(cè)一 高考預(yù)測(cè) 立體幾何由三部分組成 一是空間幾何體 二是空間點(diǎn) 直線 平面的位置關(guān)系 三是 立體幾何中的向量方法 高考在命制立體幾何試題中 對(duì)這三個(gè)部分的要求和考查方式是不 同的 在空間幾何體部分 主要是以空間幾何體的三視圖為主展開 考查空間幾何體三視圖 的識(shí)別判斷 考查通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算等問題 試題的題型 主要是選擇題或者填空題 在難度上也進(jìn)行了一定的控制 盡管各地有所不同 但基本上都 是中等難度或者較易的試題 在空間點(diǎn) 直線 平面的位置關(guān)系部分 主要以解答題的方法 進(jìn)行考查 考查的重點(diǎn)是空間線面平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明 而且一般是這個(gè)解答題的第 一問 對(duì)立體幾何中的向量方法部分 主要以解答題的方式進(jìn)行考查 而且偏重在第二問或 者第三問中使用這個(gè)方法 考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問題的計(jì) 算 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題 2 線面關(guān)系中三類平行的共同點(diǎn)是 無公共點(diǎn) 三類垂直的共同點(diǎn)是 成角 90 線面平行 面面平行 最終化歸為線線平行 線面垂直 面面垂直 最終化歸為線線垂直 3 直線與平面所成角的范圍是 2 0 兩異面直線所成角的范圍是 2 0 一般情況下 求二面角往往是指定的二面角 若是求兩平面所成二面角只要求出它們的銳角 直角 情況 即可 4 立體幾何中的計(jì)算主要是角 距離 體積 面積的計(jì)算 兩異面直線所成角 直線與 平面所成角的計(jì)算是重點(diǎn) 求兩異面直線所成角可以利用平移的方法將角轉(zhuǎn)化到三角形中去 求解 也可以利用空間向量的方法 特別要注意的是兩異面直線所成角的范圍 當(dāng)求出的余 弦值為a時(shí) 其所成角的大小應(yīng)為 arccos a 特別需要注意的是 兩向量所成的角是兩向量方向所成的角 它與兩向量所在的異面直 線所成角的概念是不一樣的 本題中的向量1 BD 與DE所成的角大小是兩異面直線 DE 與 BD1 所成角的補(bǔ)角 7 長(zhǎng)方體 正方體是最基本的幾何體 要熟練掌握它們中的線面關(guān)系 長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 寬 高分別為 cba 對(duì)角線長(zhǎng)為l 則 2222 cbal 利用這一關(guān)系可以得到下面兩個(gè)結(jié)論 1 若長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三棱所成角分別為 則 1coscoscos 222 2 若長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三面所成角分別為 則 2coscoscos 222 10 關(guān)注正棱錐中的幾個(gè)直角三角形 1 高 斜高 底面邊心距組成的直角三角形 2 側(cè)棱 斜高 底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形 3 底面上的邊心距 底面外接圓 半徑 底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形 4 高 側(cè)棱 底面外接圓半徑組成的直角三角 形 進(jìn)一步關(guān)注的是 側(cè)棱與底面所成角 側(cè)面與底面所成二面角的平面角都體現(xiàn)在這些直 角三角形中 11 特別注意有一側(cè)棱與底面垂直且底面為正方形 直角梯形 菱形等四棱錐 關(guān)注四 個(gè)面都是直角三角形的三棱錐 它們之間的線面關(guān)系也是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容 12 對(duì)平面圖形的翻折問題要有所了解 翻折后 在同一半平面內(nèi)的兩點(diǎn) 點(diǎn)線及兩線 的位置關(guān)系是不變的 若兩點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面中 兩點(diǎn)之間的距離一般會(huì)發(fā)生變化 要認(rèn) 清從平面圖形到空間圖形之間的聯(lián)系 能夠從平面圖形的關(guān)系過渡到空間圖形的關(guān)系 根據(jù) 問題畫出空間圖形 知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔 高考對(duì)用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實(shí)質(zhì)上對(duì)學(xué)生空間 想象能力及對(duì)平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查 考生往往對(duì)這一類型 的題感到吃力 實(shí)質(zhì)上高中階段對(duì)作截面的方法無非有如下兩種 一種是利有平面的基本定 理 一個(gè)就是一條直線上有兩點(diǎn)在一平面內(nèi)則這條直線上所在的點(diǎn)都在這平面內(nèi)和兩平面相 交有且僅有一條通過該公共點(diǎn)的直線 即交線 注意該定理地應(yīng)用如證明諸線共點(diǎn)的方法 先證明其中兩線相交 再證明此交點(diǎn)在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)而第三 條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點(diǎn)在第三條直線 諸點(diǎn)共線 即證明此諸點(diǎn)都是某兩平 面的共公點(diǎn)即這此點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上 據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi) 通過空間想象分別取兩組直線分別相交 則其交點(diǎn)必為兩平面的公共點(diǎn) 并且兩交點(diǎn)的連線 即為兩平的交線 另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理 去尋找線面平行及 面面平行關(guān)系 然后根據(jù)性質(zhì)作出交線 一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用 2 1 正方體 ABCD A1 B1 C1 D1中 P Q R 分別是 AB AD B1 C1的中點(diǎn) 那么正 方體的過 P Q R 的截面圖形是 A 三角形 B 四邊形 C 五邊形 D 六邊形 答案 D 2 在正三棱柱ABC 111 A B C 中 P Q R 分別是BC 1 CC 11 AC 的中點(diǎn) 作出過 三點(diǎn) P Q R 截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀 答案 五邊形 知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔 解決異面直線所成角的問題關(guān)鍵是定義 基本思想是平移 同時(shí)對(duì) 本題來說是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數(shù) 將兩異面直線平移到空間一點(diǎn)時(shí) 一 方面考慮在平面內(nèi)和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意 另一方面要思考在 空間中與一平面內(nèi)兩相交直線成等角的直線的條數(shù) 此時(shí)關(guān)鍵是搞清平面外的直線與平面內(nèi) 的直線所成的角 與平面內(nèi)的直線與平面外的直線在平面內(nèi)的射影所成的角 的關(guān)系 由公 式cos coscos 其中 是直線與平面所成的角 易知cos cos coscos 最小角定理 故一般地 若異面直線 a b 所成的角為 L 與 a b 所成的角均為 據(jù)上式有如下結(jié)論 當(dāng) 0 2 時(shí) 這樣的直線不存在 當(dāng) 2 時(shí) 這樣的直線只有一條 當(dāng)22 時(shí) 這樣的直線有兩條 當(dāng) 2 時(shí)這樣的直線有 3 條 當(dāng)22 時(shí) 這樣的直線有四條 2 如果異面直線 a b 所在的角為100 P 為空間一定點(diǎn) 則過點(diǎn) P 與 a b 所成的角都是 50 的直線有幾條 A 一條 B 二條 C 三條 D 四條 答案 C 易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 4 4 求異面直線所成的角 若所成角為求異面直線所成的角 若所成角為 0 90 容易忽視用證明垂直的方法來求 容易忽視用證明垂直的方法來求 夾角大小這一重要方法夾角大小這一重要方法 1 在三棱柱 111 ABCABC 中 若 1 2ABBB 則 11 ABC B與 所成 角的大小為 A 0 60 B 0 90 C 0 105 D 0 75 易錯(cuò)點(diǎn)分析 忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當(dāng)而浪費(fèi)很多時(shí)間 解析 如圖 1 D D 分別為 11 BC BC 中點(diǎn) 連結(jié) 1 AD DC 設(shè) 1 1 2BBAB 則 則 AD 為 1 AB 在平面 1 BC 上的射影 又 1 1 322 cos 323 BC BEBDC BC BC 222 1 2cosDEBEBDBE BDC BC 113221 2 32326 3 而 2220 111 90 362 BEDEBDBED 11 ABC B與 垂直 知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥 求異面直線所成的角 直線與平面所成的角和二面 角時(shí) 對(duì)特殊的角 如 0 90時(shí) 可以采用證明垂直的方法來求之 易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 5 5 對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念 經(jīng)度是二面角 緯度為線面角 二者容易混淆對(duì)于經(jīng)度和緯度兩個(gè)概念 經(jīng)度是二面角 緯度為線面角 二者容易混淆 1 如圖 在北緯 0 45的緯線圈上有 B 兩點(diǎn) 它們分別在東經(jīng) 0 70與東經(jīng) 0 160的經(jīng)度上 設(shè)地球的半徑為 R 求 B 兩點(diǎn)的球面距離 解析 設(shè)北緯 0 45圈的圓心為 O 地球中心為 O 則 000 1 1607090 AO B 0 1 45 OBOOBR 11 2 2 O BO AR ABR 連結(jié) AO AB 則 0 60AOBOABRAOB 11 2 63 ABRR 故 A B 兩點(diǎn)間 的球面距離為 1 3 R 知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥 數(shù)學(xué)上 某點(diǎn)的經(jīng) 度是 經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與 本初子午線 0 0經(jīng) 線 和地軸確定的半平 面所成的二面角的度數(shù) 某點(diǎn)的緯度是 經(jīng) 過這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù) 如下圖 圖 1 經(jīng)度 P 點(diǎn)的經(jīng)度 也是AB AOB 或 的度數(shù) 圖 2 緯度 P 點(diǎn)的 緯度 也是 POA PA或 的度數(shù) III 由 II 知 OF 平面PBC F 是O在平面PBC內(nèi)的射影 D是PC的中點(diǎn) 若點(diǎn)F是 PBCA 的重心 則B F D三點(diǎn)共線 直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直 線BD OBPC PCBD PBBC 即1K 反之 當(dāng)1K 時(shí) 三棱 錐O PBC 為正三棱錐 O 在平面PBC內(nèi)的射影為 PBC 的重心 方法二 OP 平面ABC OAOC ABBC OAOB OAOP OBOP 以O(shè)為原點(diǎn) 射線OP為非負(fù)z軸 建立空間直角坐標(biāo)系O xyz 如圖 設(shè) ABa 則 2 0 0 2 Aa 2 0 0 2 Ba 2 0 0 2 Ca 設(shè)OP h 則 0 0 Ph I D 為 PC 的中點(diǎn) OD 21 0 42 ah 又 2 0 2 PAah OD 1 2 PA OD PA OD 平面PAB 知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔 解決關(guān)于向量問題時(shí) 一要善于運(yùn)用向量的平移 伸縮 合成 分解等 變換 正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算 加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí) 二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了 數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想 向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等 兩向量垂直 射影 夾角等問題中 常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題 利用向量的夾角公 式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題 用空間向量解決立體幾何問題 一般可按以下過程進(jìn)行思考 要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決 需要用到哪些向量 所需要的向量是否已知 若未知 是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示 所需要的 向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示 則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示 這些 未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系 怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算 才能得到需要的結(jié)論 易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 7 7 常見幾何體的體積計(jì)算公式 特別是棱錐 球的體積公式容易忽視公式系常見幾何體的體積計(jì)算公式 特別是棱錐 球的體積公式容易忽視公式系 數(shù) 導(dǎo)致出錯(cuò)數(shù) 導(dǎo)致出錯(cuò) 1 如圖四棱錐 P ABCD 中 底面 ABCD 為矩形 AB 8 AD 4 3 側(cè)面 PAD 為 等邊三角形 并且與底面成二面角為 0 60 求四棱錐 P ABCD 的體積 解析 如圖 去 AD 的中點(diǎn) E 連結(jié) PE 則PEAD 作 PO 平面 ABCD 垂足為 O 連結(jié) OE 根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE AD 所以 PEO 為側(cè)面 PAD 與底面所成二面角的平 面角 由已知條件可 0 60 6PEOPE 所以 3 3PO 四棱錐 P ABCD 的體積 1 8 4 33 396 3 P ABCD V 知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥 計(jì)算簡(jiǎn)單幾何體的體積 要選擇某個(gè) 面作為底面 選擇的前提條件是這個(gè)面上的高易求 2 如圖 直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 側(cè)棱 AA1 2 D E 分別是 CC1與 A1B 的中點(diǎn) 點(diǎn) E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的垂心 G 求 A1B 與平面 ABD 所成角的大小 結(jié)果用反三角函數(shù)值表示 求點(diǎn) A1到平面 AED 的距離 答案 3 2 arcsin 3 62 易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 9 9 二面角平面角的求法 主要有定義法 三垂線法 垂面法等二面角平面角的求法 主要有定義法 三垂線法 垂面法等 1 如圖所示 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AA1 A1C1 a E 為 BB1的中點(diǎn) 若截面 A1EC 側(cè)面 AC1 求截面 A1EC 與底面 A1B1C1所成銳二面角 度數(shù) 解法 1 截面 A1EC 側(cè)面 AC1 A1C 連結(jié) AC1 在正三棱 ABC A1B1C1中 截面 A1EC 側(cè)面 AC1 就是所求二面角的度數(shù) 易得 A1AC1 45 故所求二面 角的度數(shù)是 45 解法 2 如圖 3 所示 延長(zhǎng) CE 與 C1B1交于點(diǎn) F 連結(jié) AF 則截面 A1EC 面 A1B1C AF EB1 面 A1B1C1 過 B1作 B1G A1F 交 A1F 于點(diǎn) G 連接 EG 由三垂線定理知 EGB1就是所 求二面角的平面角 即所求二面角的度數(shù)為 45 知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥 二面角平面角的作法 1 垂面法 是指根據(jù)平面角的定義 作垂直于棱的平面 通過這個(gè)平面和二面角兩個(gè)面的交線得出平面 角 2 垂線法 是指在二面角的棱上取一特殊點(diǎn) 過此點(diǎn)在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)作兩 條射線垂直于棱 則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角 3 三垂線法 是指利用 三垂線定理或逆定理作出平面角 易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 1010 三視圖三視圖 一個(gè)棱錐的三視圖如圖 則該棱錐的全面積 單位 2 cm 為 A 48 12 2 B 48 24 2 C 36 12 2 D 3624 2 解析 棱錐的直觀圖如右 則有PO 4 OD 3 由勾股定理 得 PD 5 AB 6 2 全 面積為 2 1 6 6 2 2 1 6 5 2 1 6 2 4 48 122 故選 A 2 如圖 在四棱錐P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD為平行四邊形 ADB 90 AB 2AD 證明 PA BD 若PD AD 求二面角A PB C的余弦值 解析 由 ADB 90 可得BD AD 因?yàn)镻D 底面ABCD 所以PD BD 又PD AD D 所以BD 平面PAD 因?yàn)镻A 平面PAD 所以BD PA 4 分 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz 設(shè)AD a 則 A a 0 0 B 0 a 0 C a a 0 P 0 0 a a a 0 a 0 0 a 0 a a a a 設(shè)平面PAB的法向量為n n x y z 所以可得 設(shè)y 則x z 3 可得n n 3 3 同理 可求得 平面PBC的一個(gè)法向量為m m 0 1 所以 cos m m n n 由圖形知 二面角A PB C為鈍角 因此二面角A PB C的余弦值是 12 分 3 如圖 四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面ABCD是 平行四邊形 E F分別在棱 11 BB DD 上 且 1 AFECA 1 求證 1 AEFCA 2 若 1 AA 平面ABCD 四邊形 1 AEC F 是邊長(zhǎng)為 6的正 方形 且1BE 2DF 求線段 1 CC 的長(zhǎng) 并證明 1 ACEC 說明 本題主要考察空間點(diǎn) 線 面位置關(guān)系 考查線線 線面平行的性質(zhì)和判定 線線垂直的性質(zhì)和 判定 考查空間想象能力 運(yùn)算能力 把空間問題轉(zhuǎn)化 為平面問題的意識(shí)以及推理論證能力 第 18 題圖 A1 A B C D C1 B1 D1 F E 1 BB 平面 ABCD AC 平面 ABCD 1 ACBB 1 BC BB 平面 11 BBC C AC 平面11 BBC C 13 分 1 EC 平面 11 BBC C 1 ACEC 14 分 4 已知四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AAABCD 底面 90ADC AB CD 1 22ADCDDDAB 求證 11 ADBC 求二面角 11 ABDC 的正弦值 3 求四面體 11 ABDC 的體積 命題意圖 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí) 具體涉及 到線面的垂直關(guān)系 二面角的求法 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 以及幾何體體積的求法 A1 C D1 D AB B1 C1 3 設(shè)所給四棱柱的體積為 V 則 6 1 AASV ABCD 又三棱錐 ABDA 1 的體積 等于三棱錐 111 CDAB 的體積 記為 1 V 而三棱錐 111 CDAD 的體積又等于三棱錐 CBDC 1 的體積 記為 2 V 則由于 3 2 212 2 1 3 1 1 V 3 4 222 2 1 3 1 2 V 所以所求四面體的體 積為 222 21 VVV 12 分 5 如圖 在四面體ABCD中 二面角 BCDA 的平 面角為 60 CDAC CDBD 且 2BDCDAC 點(diǎn)E F分別是AD BC的中點(diǎn) 求作平面 使EF 且AC 平面 BD 平面 求證 BCDEF平面 E D A C G B P F 6 已知四棱錐 ABCDP 中 PA 平面ABCD 四邊形ABCD是直角梯形 90ADC AD BC ACAB 2 ACAB G為 PAC 重心 E為PB的中點(diǎn) F在BC上 且FBCF2 求證 FG 平面PAB 求證 FG AC 解析 連接CG交AP于M點(diǎn)因?yàn)? 2 BF CF GM CG 所以 BMFG 又 BM平面PAB FG 平面PAB所以 FG 平面PAB 6 分 8 三棱錐 O ABC 中 OA OB OC 兩兩垂直 P 為 OC 中點(diǎn) PQ 垂直 BC 于 Q OA OB OC 2 過 PQ 作一個(gè)截面 交 AB AO 于 R S 使 PQRS 為梯形 1 求SO AS RB AR 的值 2 求五面體 ACPQRS 的體積 解析 1 因 PQRS 為梯形 只能是 PS QR 于是得到 PS AC QR AC 因 P 為 OC 中點(diǎn) 所以 1 SO AS 因 PQ 垂直 BC 所以2 2 CQPQ 而 22 CB 所以3 1 BC CQ 即 3 1 RB AR 2 連 OA OR PR 3 4 222 2 1 3 1 ABCO V 4 3 2 3 2 3 2 2 1 3 1 OBRQ V 12 1 1 2 1 1 2 1 3 1 OSRP V 8 1 2 3 2 1 1 2 1 3 1 OPQR V 所以五面體 ACPQRS 的體積 8 3 8 1 12 1 4 3 3 4 9 如圖 正方形 AA1D1D 與矩形 ABCD 所在平面互相垂直 AB 2AD 2 點(diǎn) E 為 AB 上一點(diǎn) I 當(dāng)點(diǎn)E為AB 的中點(diǎn)時(shí) 求證 BD1 平面 A1DE II 求點(diǎn) A1到平面 BDD1的距離 ww w xk III 當(dāng)時(shí) 求二面角 D1 EC D 的大小 解法二 I 同解法一 3 分 II 由面ABCD 面ADD1A 且四邊形AA1D1D為正方形 四邊形ABCD為矩形 可得 D1D AD D1D DC DC DA 于是以D為原點(diǎn) DA DC DD1分別為x軸 y軸 z軸 建立 如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由AB 2AD 2 知 D 0 0 0 D1 0 0 1 A1 1 0 1 B 1 2 0 DB 1 2 0 1 DD 0 0 1 BA1 0 2 1 設(shè)面BDD1的一 A1 D1 A E B C y x z 個(gè)法向量為n1 1 11 zx 則 0 0 11 1 DD DB n n 即 0 02 1 1 z x 012 1 n 點(diǎn)A1到面BDD1的距離 5 52 1 11 n nBA d 8 分 III 由 II 及題意知 E 1 3 2 0 C 0 2 0 1 3 2 1 1 ED 0 3 4 1 EC 設(shè)面D1EC的一個(gè)法向量為 1 222 yx n 則 0 0 2 12 EC ED n n 即 0 3 4 01 3 2 22 22 yx yx 可得 1 2 1 3 2 2 n 又易知面DEC的一個(gè)法向量是 1 DD 0 0 1 設(shè) D1 EC D的大小為 則 61 616 1 6 61 1 cos 12 12 DD DD n n 得 61 616 arccos 即D1 EC D的大小為61 616 arccos 1 2 PNNC N點(diǎn)是點(diǎn)是PC的三等分點(diǎn)的三等分點(diǎn) 2222 2 2 2 2 3PCPAAC 2 3 3 PN 4 4 分分 3 3 PNPA APNCPA PAPC 0 90PANPCAANP ANPC 6 6 分分 又又PC AM 且且AM ANA PC 面面AMN 7 7 分分 設(shè)平面 設(shè)平面BAN的法向量為的法向量為 nx y z 0 0 n AB n AN 0 2 1 n 2 2 2 PC 是平面是平面AMN的法向量 的法向量 1010 分分 15 cos 5 n PC n PC n PC 二面角二面角BANM 的余弦值的余弦值 15 5 1212 分分 11 如圖所示四棱錐P ABCD 中 PA 底面ABCD 四邊形ABCD中 ABAD BCAD 2PAABBC 4AD E為PD的中 點(diǎn) F為PC中點(diǎn) 求證 CD 平面PAC 求證 BF 平面ACE 求直線PD與平面PAC所成的角的正弦 值 解析 因?yàn)镻A 底面ABCD CD 面ABCD 所以PA CD 又因?yàn)橹苯翘菪蚊鍭BCD中 2 2 2 2ACCD 所以 222 ACCDAD 即ACCD 又PAACA 所以CD 平面PAC 4 分 解法一解法一 如圖 連接BD 交AC于O 取 PE中點(diǎn)G 連接 BG FG EO 則在 PCE 中 FGCE 又EC 平面ACE FG 平面ACE 所以 FG 平面ACE 因?yàn)?BCAD 所以 BOGE ODED 則 OEBG 又OE 平面ACE BG 平面ACE 所以 BG 平面ACE 又BG FGG 所以平面 BFG 平面ACE 因?yàn)锽F 平面BFG 所以 BF 平面ACE 10 分 解法二解法二 如圖 連接BD 交AC于O 取PE中 點(diǎn)G 連接FD交CE于H 連接OH 則 FGCE 在 DFG 中 HEFG 則 1 2 GEFH EDHD 在底面ABCD中 BCAD 所以 1 2 BOBC ODAD 所以 1 2 FHBO HDOD 故 BFOH 又OH 平面ACE BF 平面ACE 所 以 BF 平面ACE 由 可知 CD 平面PAC 所以 DPC 為直線PD與平面PAC所 成的角 在Rt PCD 中 22 2 2 2 5CDPDPAAD 所以 2 210 sin 52 5 CD DPC PD 所以直線PD與平面PAC所成的角的正弦值為 10 5 14 分 12 如右圖所示 四棱錐 P ABCD 中 側(cè)面 PDC 是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形且與底面垂直 底面 ABCD 是 ADC 60 的菱形 M 為 PB 的中點(diǎn) 1 求 PA 與底面 ABCD 所成角的大小 2 求證 PA 平面 CDM 3 求二面角 D MC B 的余弦值 3 由 2 知MC 平面PAB 則 NMB 為二面角D MCB 的平面角 在Rt PAB 中 易得 2222 6 6210PAPBPAPB 210 cos 510 AB PBA PB 10 coscos 5 NMBPBA 故 所求二面角的余弦值為 10 5 12 分 解法二 1 同解法一 4 分 2 由底面ABCD為菱形且 0 60ADC 2 1DCDO 有OA DC 建立空間直角坐標(biāo)系如圖 則 3 0 0 A 0 0 3 P 0 1 0 D 3 2 0 B 0 1 0 C 由M為 PB中點(diǎn) 33 1 22 M 33 2 22 DM uuu u r 3 03 PA uu r 0 2 0 DC uuu r 33 32 0 3 0 22 PA DM uu r uuu u r g 032 00 3 0PA DC uu r uuu r g PADM PA DC PA 平面DMC 8 分 3 33 0 22 CM uuu r 3 10 CB uur 令平面BMC的法向量 nx yz r 則 0n CM r uuu r g 從而 0 xz 0n CB r uur g 從而 30 xy 由 取 1x 則 3 1yz 可取 1 31 n r 由 2 知平面CDM的法向量可取 3 03 PA uu r 2 310 cos 556 n PA n PA n PA r uu r r uu r g gu ruu r g 所求二面角的余弦值為 10 5 12 分 解析 ADAE ADAF 2 分 又 AEAFA AEAEF AFAEF 面面 4 分 AD 面 AEF 5 分 A O B C D 14 如圖 已知 AOB AOB 2 BAO 6 AB 4 D為線段AB的中點(diǎn) 若 AOC 是 AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的 記二面角B AO C的大小為 1 當(dāng)平面COD 平面AOB時(shí) 求 的值 2 當(dāng) 2 2 3 時(shí) 求二面角C OD B的余弦值的取值范圍 解析 法一法一 1 解 如圖 以O(shè)為原點(diǎn) 在平面OBC內(nèi)垂直于 OB的直線為x軸 OB OA所在的直線分別為y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz 則A 0 0 2 3 B 0 2 0 D 0 1 3 C 2sin 2cos 0 設(shè) 1 n x y z 為平面 COD的一個(gè)法向量 由 1 1 0 0 n OD n OC 得 sincos0 30 xy yz 取z sin 則 1 n 3cos 3sin sin 因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為 2 n 1 0 0 由平面COD 平面AOB得 1 n 2 n 0 所以 cos 0 即 2 7 分 2 設(shè)二面角C OD B的大小為 由 1 得當(dāng) 2 時(shí) cos 0 當(dāng) 2 2 3 時(shí) tan 3 cos 12 12 nn nn 2 3cos 3sin 2 3 4tan3 故 5 5 cos 0 綜上 二面角C OD B的余弦值的取值范圍為 5 5 0 15 分 法二 法二 1 解 在平面AOB內(nèi)過B作OD的垂線 垂足 為E 因?yàn)槠矫鍭OB 平面COD 平面AOB 平面COD OD 所以BE 平面COD 故BE CO 又因?yàn)镺C AO 所以O(shè)C 平面AOB 故OC OB 又因?yàn)?OB OA OC OA 所以二面角B AO C的平面角為 COB 即 2 7 分 2 解 當(dāng) 2 時(shí) 二面角C OD B的余弦值為 0 當(dāng) 2 2 3 時(shí) 過C作OB的垂線 垂足為F 過F作OD的垂線 垂足為G 連結(jié)CG 則 CGF的補(bǔ)角為二面角C OD B的平面角 在 Rt OCF中 CF 2 sin OF 2cos 在 Rt CGF中 GF OF sin3 3cos CG 22 4sin3cos 所以 cos CGF FG CG 22 3cos 4sin3cos 因?yàn)?2 2 3 tan 3 故 0 cos CGF 2 3 4tan3 5 5 所以二面角C OD B的余弦值的取值范圍為 5 5 0 15 分 15 如圖 5 AB是圓柱ABFG的母線 C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱 的點(diǎn) O是圓柱上底面的圓心 BF過O點(diǎn) DE是過O點(diǎn)的動(dòng)直徑 且AB 2 BF 2AB 1 求證 BE 平面ACD 2 當(dāng)三棱錐D BCE的體積最大時(shí) 求二面角C DE A的平面角的余弦值 16 如圖 在底面為直角梯形的四棱錐P ABCD 中 90ADBCABC PD 平面ABCD AD 1 3AB 4BC 求直線AB與平面PDC所成的角 設(shè)點(diǎn)E在棱PC上 PE PC 若DE 平面 PAB 求 的值 A P E C D B 解析 本小題將直四棱錐的底面設(shè)計(jì)為梯形 考查平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)本小題將直四棱錐的底面設(shè)計(jì)為梯形 考查平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí)題目指同時(shí)題目指 出一條側(cè)棱與底面垂直 搭建了空間直角坐標(biāo)系的基本架構(gòu)出一條側(cè)棱與底面垂直 搭建了空間直角坐標(biāo)系的基本架構(gòu) 本題通過分層設(shè)計(jì) 考查了空本題通過分層設(shè)計(jì) 考查了空 間平行 垂直 以及線面成角等知識(shí) 考查學(xué)生的空間想象能力 推理論證能力和運(yùn)算求間平行 垂直 以及線面成角等知識(shí) 考查學(xué)生的空間想象能力 推理論證能力和運(yùn)算求解解 能力能力 滿分滿分 1414 分分 法二法二如圖 在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF AB 交BC于F 分別以DA DF DP所在的 直線為x y z軸建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)PD a 則 1 3 0 3 3 BDPCa 330BD PC BD PC BDPDC DBPDC 面就是平面的法向量 由條件知A 1 0 0 B 1 3 0 0 3 0 1 3 0 ABDB 設(shè)AB PDC 與面所成角大小為 則 33 sin 2 2 3 DB A