計(jì)算方法NEWCH5.ppt

第五章插值型數(shù)值微分與數(shù)值積分 5 1插值型數(shù)值微分公式5 2插值型數(shù)值積分 5 1插值型數(shù)值微分公式 當(dāng)x為插值節(jié)點(diǎn)時(shí) 上式簡化為 故一般限于對節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值采用插值多項(xiàng)式的相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行近似計(jì)算 f以便估計(jì)誤差 一般地 這類公式稱為插值型數(shù)值微分公式 5 1 1常用的數(shù)值微分公式 1 兩點(diǎn)公式 n 1 這稱為兩點(diǎn)公式 截?cái)嗾`差 2 兩點(diǎn)公式 n 2 二階導(dǎo)數(shù) 不要記憶 解 h 0 05 例5 1為計(jì)算在x 2處的一階導(dǎo)數(shù)值 我們可選用中點(diǎn)公式 當(dāng)計(jì)算保留四位小數(shù)時(shí) 得到計(jì)算結(jié)果如表5 1 書103頁 而精確值為 可見當(dāng)h 0 1時(shí)近似結(jié)果最好 步長太大或太小計(jì)算效果均不好 為估計(jì)二階導(dǎo)數(shù)數(shù)值微分公式的誤差 可設(shè)f x 四階連續(xù)可微 故得 從而得到誤差估計(jì)式 5 2插值型數(shù)值積分 這里 插值型數(shù)值積分的思想是 若已知?jiǎng)t利用拉格朗日插值多項(xiàng)式建立近似計(jì)算公式 下面求求積系數(shù) 設(shè)等距節(jié)點(diǎn)情形 即 牛頓 柯特斯公式 特別地 這稱為梯形公式 幾何意義 用梯形面積代替f x 作為曲邊的曲邊梯形面積 這稱為Simpsion公式 幾何意義 用拋物線替作曲邊的曲邊梯形面積代替f x 作為曲邊的曲邊梯形面積 這稱為Cotes公式 對應(yīng)于情形的Cotes系數(shù)見表5 2 書106頁 5 2 2復(fù)合求積公式 求積公式的穩(wěn)定性分析 等距節(jié)點(diǎn)的插值求積公式 當(dāng)n較大 n 7 時(shí) 系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù) 而且有正有負(fù) 這將使舍入誤差增大并難于估計(jì) 因此實(shí)際計(jì)算時(shí)一般不用n較大的公式 而是將積分區(qū)間 a b 分成n個(gè)小區(qū)間 在每個(gè)小區(qū)間上用低階New Cotes公式計(jì)算積分的近似值 然后對這些近似值求和 從而得到所求積分的近似值 由此得到一些有實(shí)際意義的求積公式 稱為復(fù)合求積公式 1 復(fù)合梯形公式 n 1 簡記為Tn 3 復(fù)合Cotes公式 n 4 簡記為Cn 公式見書107頁 2 復(fù)合Simpson公式 n 3 簡記為Sn 2 確定h 解 1寫出公式 例1計(jì)算 求 4 由表格計(jì)算結(jié)果 01411111 06253 76412421 253 20024231 56252 56002442211125 049418 837 6988 3 列表 例2試?yán)帽? 3的函數(shù)表 分別用復(fù)合梯形公式 復(fù)合Simpson公式和復(fù)合Cotes公式計(jì)算定積分 解 三 求積公式的誤差 1 梯形公式誤差 大區(qū)間上的誤差記為 2 Simpson公式誤差 不難推出 3 Cotes公式誤差 四 變步長法則 1 基本思想 基本思想 在步長逐次分半的過程中 反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算 直到二分前后兩次積分值相當(dāng)符合為止 上面介紹的復(fù)化求積公式對提高進(jìn)度是有效的 但是在使用求積公式之前 必須給出適當(dāng)?shù)牟介L 如果事先給出精度要求 在使用復(fù)化求積公式時(shí) 由于誤差估計(jì)式中含有 而這是不知道的 因而h無法確定 也就是說無法進(jìn)行事前誤差估計(jì) 這就必須尋求事后估計(jì)誤差的方法 逐次分半法 2 變步長法則 逐次分半法 以梯形公式為例 所以 逐項(xiàng)二次區(qū)間 只要相鄰兩次近似值之差小于 則后一次值即為所求 這時(shí)h也為所求步長 這就是變步長法則 在上述變步長求積過程中 當(dāng)二分次數(shù)越來越多時(shí) 每一步都要用復(fù)化求積公式 計(jì)算量非常大 所以要對上述方法進(jìn)行改進(jìn) 3 變步長求積的省算方案 以梯形法為例 simpson cotes公式也可類似進(jìn)行處理 例1計(jì)算 用計(jì)算 0001111 80 12470 9976122 80 24740 9896133 80 36630 9768144 80 47940 9588155 80 58510 9362166 80 68160 9088177 80 76750 8777188 80 84150 84151 例2試用梯形公式的步長逐次減半算法計(jì)算定積分使誤差小于 解 一般的計(jì)算結(jié)果見表5 4 書112頁 5 龍貝格積分法 在上述變步長法則解決了誤差的估計(jì) 又給出了省算方案 但當(dāng)精度要求很高時(shí) 計(jì)算量是很大的 那么我們就要尋找一種方法 相對計(jì)算量小些 而精度又高 我們先考慮 我們分析一下 我們在變步長求積過程中 運(yùn)用加速公式 其計(jì)算公式為 注 這樣的計(jì)算格式可根據(jù)精度自動(dòng)停機(jī) 只要豎線上相鄰兩結(jié)果之差不超過給定精度為止 計(jì)算過程實(shí)質(zhì)是將區(qū)間逐次分半計(jì)算 然后利用加速公式 故又叫逐次分半加速法 例1 用龍貝格計(jì)算 解 第一步計(jì)算f a f b 第二步區(qū)間分半 計(jì)算 第三步區(qū)間分半 算出 第四步再分半 求 第四步求 列表 區(qū)間分?jǐn)?shù)TSCR13 0000023 100003 1333343 131183 141573 1421483 138993 141593 141593 14158163 140943 141593 141593 14159 可知 例5 4試用龍貝格積分法求解例5 3的定積分使誤差小于 用龍貝格積分法求解得到表5 5 書116頁 由于 故取 與例5 3比較可見 對于該積分采用梯形公式的步長逐次