2012年深圳一模(文數(shù)).doc

2012年深圳市數(shù)學(xué)（文科）參考公式：1錐體的體積公式，其中為錐體的底面積，為錐體的高2獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中概率表一、選擇題：本大題共10個(gè)小題；每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)全集，則ABCD2已知點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是ABCD3已知拋物線 的準(zhǔn)線與雙曲線相切，則雙曲線的離心率A B CD 4執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的是AB C D或5已知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則ABCD如圖，三棱柱中，平面，若規(guī)定主（正）視方向垂直平面，則此三棱柱的側(cè)（左）視圖的面積為AB CD7給出四個(gè)函數(shù)：，其中滿足條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)及任意正數(shù)，有及的函數(shù)為AB CD8已知，則“為的等差中項(xiàng)”是“是的等比中項(xiàng)”的A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件9已知符號(hào)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為ABCD10在實(shí)數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”，類(lèi)似地，我們?cè)趶?fù)數(shù)集上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“”。定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），“”當(dāng)且僅當(dāng)“”或“且”下面命題為假命題的是A B若，則C若，則對(duì)于任意，D對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則二、填空題：本大題共小題，考生作答小題，每小題5分，滿分0分本大題分為必做題和選做題兩部分（一）必做題：第11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答11某人次上班途中所花的時(shí)間（單位：分鐘）分別為，估計(jì)此人每次上班途中平均花費(fèi)的時(shí)間為 分鐘12奇函數(shù)（其中常數(shù)）的定義域?yàn)?13已知，且，則的最小值為 （二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題的得分圖4DCOAB14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到曲線 上的點(diǎn)的最短距離為 15（幾何證明選講選做題）如圖4，是圓上的兩點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（其中），其部分圖像如圖5所示（1）求函數(shù)的解析式； 圖5（2）已知橫坐標(biāo)分別為、的三點(diǎn)、都在函數(shù)的圖像上，求的值17（本小題滿分13分）通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)某校110名高中學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明,得到如下的列聯(lián)表：（1）從這50名女生中按是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為的樣本，問(wèn)樣本中看與不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生各有多少名?(2) 從（1）中的5名女生樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談, 求選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生各一名的概率；（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問(wèn)有多大把握認(rèn)為“性別與在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明”有關(guān)？性別與看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明列聯(lián)表 單位: 名男女總計(jì)看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明503080不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明102030總計(jì)605011018（本小題滿分13分）如圖，直角梯形中， ，為的中點(diǎn)，將沿折起，使得，其中點(diǎn)在線段內(nèi).（1）求證：平面；（2）問(wèn)(記為)多大時(shí), 三棱錐的體積最大? 最大值為多少?19（本小題滿分14分）已知函數(shù)(實(shí)數(shù)為常數(shù))的圖像過(guò)原點(diǎn), 且在處的切線為直線. （1）求函數(shù)的解析式；（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.20（本小題滿分14分）已知各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的數(shù)列是等比數(shù)列, 且 數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù),有. (1) 求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與 之間插入個(gè)后，得到一個(gè)新的數(shù)列. 求數(shù)列的前2012項(xiàng)之和. 21（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程； （3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值 數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1. 本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則2. 對(duì)計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分3. 解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4. 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分?jǐn)?shù)一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。共10小題，每小題5分，滿分50分題號(hào)12345678910答案BCBBD AC ACD二、填空題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性。共5小題，每小題5分，滿分20分其中第14、15兩小題是選作題，考生只能選做一題，如果兩題都做，以第14題的得分為最后得分11 12 13. 14 15 三、解答題：本大題6小題，滿分80分解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中. 函數(shù)的部分圖像如下圖所示.(1)求函數(shù)的解析式； 第16題圖(2) 已知橫坐標(biāo)分別為的三點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求的值.解：（1）由圖可知， 最小正周期 所以 3分 又 ，且 所以,5分 所以. 6分 (2) 解法一: 因?yàn)樗? 7分, 8分從而 10分由得. 12分解法二: 因?yàn)?所以, 7分 8分 , 9分則 . 10分由得. 12分【說(shuō)明】 本小題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力17（本小題滿分13分）通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)某校110名高中學(xué)生在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明,得到如下的列聯(lián)表：（1）從這50名女生中按是否看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為的樣本，問(wèn)樣本中看與不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生各有多少名?(2) 從（1）中的5名女生樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談, 求選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生各一名的概率；（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問(wèn)有多大把握認(rèn)為“性別與在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明”有關(guān)？性別與看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明列聯(lián)表 單位: 名男女總計(jì)看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明503080不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明102030總計(jì)6050110解：（1）根據(jù)分層抽樣可得：樣本中看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生有名，樣本中不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生有名；2分（2）記樣本中看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的名女生為，不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的名女生為，從這5名女生中隨機(jī)選取兩名，共有個(gè)等可能的基本事件為：；.5分其中事件“選到看與不看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明的女生各一名”包含了個(gè)的基本事件： ； ；.7分 所以所求的概率為9分 (3) 假設(shè)：該校高中學(xué)生性別與在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明無(wú)關(guān)，則應(yīng)該很小. 根據(jù)題中的列聯(lián)表得 11分由, 可知有%的把握認(rèn)為該校高中學(xué)生“性別與在購(gòu)買(mǎi)食物時(shí)看營(yíng)養(yǎng)說(shuō)明”有關(guān)？13分【說(shuō)明】本題主要考察讀圖表、抽樣方法、隨機(jī)事件的概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)18（本小題滿分13分）如圖，直角梯形中， ，為的中點(diǎn)，將沿折起，使得，其中點(diǎn)在線段內(nèi).（1）求證：平面；（2）問(wèn)(記為)多大時(shí), 三棱錐的體積最大? 最大值為多少?（1）證明: 在直角梯形中，為的中點(diǎn)，則,又，,知.1分在四棱錐中，平面，則平面.3分因?yàn)槠矫?所以4分又, 且是平面內(nèi)兩條相交直線, 6分故平面.7分(2)解：由(1)知平面，知三棱錐的體積9分由直角梯形中,，得三棱錐中，10分， 11分當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，12分（此時(shí)，落在線段內(nèi)）.故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大，最大值為. 13分【說(shuō)明】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，棱錐的體積及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力19（本小題滿分14分）已知函數(shù)(實(shí)數(shù)為常數(shù))的圖像過(guò)原點(diǎn), 且在處的切線為直線.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.解：（1）由得. 1分由, 得, 3分從而, , 解得. 5分 故 6分（2）由（1）知. 的取值變化情況如下： 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增9分又,函數(shù)的大致圖像如右圖： 當(dāng)時(shí), ；11分當(dāng)時(shí), 13分綜上可知 14分【說(shuō)明】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的運(yùn)用、不等式的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計(jì)算推理能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力20（本小題滿分14分）已知各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的數(shù)列是等比數(shù)列, 且 數(shù)列滿足：對(duì)任意正整數(shù),有. (1) 求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與 之間插入個(gè)后，得到一個(gè)新的數(shù)列. 求數(shù)列的前2012項(xiàng)之和. 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為由得又則，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 3分由題意有，得4分當(dāng)時(shí)，5分 得. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為6分(2)設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng),即.當(dāng)時(shí)， 7分8分設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則9分其中 10分,則 . 12分 從而 13分所以數(shù)列的前2012項(xiàng)之和為 14分【說(shuō)明】考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，數(shù)列分組求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識(shí)21（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程； （3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值 解：（1）依題意，得，；故橢圓的方程為 3分（2）方法一：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)， 不妨設(shè)由于點(diǎn)在橢圓上，所以 （*）4分 由已知，則， 6分由于，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為由（*）式，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分方法二：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故設(shè)，由已知，則, 6分故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： 8分(3)