高中數(shù)學第三章不等式3_2均值不等式二課件新人教b版必修5

第三章 不等式 學習目標 1 熟練掌握均值不等式及變形的應用 2 會用均值不等式解決簡單的最大 小 值問題 3 能夠運用均值不等式解決生活中的應用問題 3 2均值不等式 二 1 預習導學挑戰(zhàn)自我 點點落實 2 課堂講義重點難點 個個擊破 3 當堂檢測當堂訓練 體驗成功 知識鏈接 1 已知x y都是正數(shù) 若x y s 和為定值 那么xy有最大值還是最小值 如何求 2 已知x y都是正數(shù) 若xy p 積為定值 那么x y有最大值還是最小值 如何求 答x y有最小值 由均值不等式 得x y 2 2 當x y時 x y取得最小值2 預習導引 1 用均值不等式求最值的結論 1 設x y為正實數(shù) 若x y s 和s為定值 則當時 積xy有最值 且這個值為 2 設x y為正實數(shù) 若xy p 積p為定值 則當時 和x y有最值 且這個值為2 小 x y 大 x y 2 均值不等式求最值的條件 1 x y必須是 2 求積xy的最大值時 應看和x y是否為 求和x y的最小值時 應看積xy是否為 3 等號成立的條件是否滿足 定值 正數(shù) 定值 要點一均值不等式與最值例1 1 若x 0 求函數(shù)y x 的最小值 并求此時x的值 2 設0 x 求函數(shù)y 4x 3 2x 的最大值 3 已知x 2 求x 的最小值 故當x 4 y 12時 x y min 16 4 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 可知x 1 y 9 x y x 1 y 9 10 2 10 16 當且僅當x 1 y 9 3 即x 4 y 12時上式取等號 故當x 4 y 12時 x y min 16 規(guī)律方法在利用均值不等式求最值時要注意三點 一是各項為正 二是尋求定值 求和式最小值時應使積為定值 求積式最大值時應使和為定值 恰當變形 合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧 三是考慮等號成立的條件 跟蹤演練1 1 已知x 0 求f x 3x的最小值 f x 的最小值為12 2 已知x 3 求f x x的最大值 解 x 3 x 3 0 1 3 設x 0 y 0 且2x 8y xy 求x y的最小值 解方法一由2x 8y xy 0 得y x 8 2x x y的最小值是18 要點二均值不等式在實際問題中的應用例2某單位用2160萬元購得一塊空地 計劃在該空地上建造一棟至少10層 每層2000平方米的樓房 經(jīng)測算 如果將樓房建為x x 10 層 則每平方米的平均建筑費用為560 48x 單位 元 1 寫出樓房平均綜合費用y關于建造層數(shù)x的函數(shù)關系式 2 該樓房應建造多少層時 可使樓房每平方米的平均綜合費用最少 最少值是多少 注 平均綜合費用 平均建筑費用 平均購地費用 平均購地費用 規(guī)律方法利用均值不等式解決實際問題時 一般是先建立關于目標量的函數(shù)關系 再利用均值不等式求解目標函數(shù)的最大 小 值及取最大 小 值的條件 此時 平均綜合費用的最小值為560 1440 2000 元 所以當該樓房建造15層時 可使樓房每平方米的平均綜合費用最少 最少值為2000元 跟蹤演練2某食品廠定期購買面粉 已知該廠每天需用面粉6噸 每噸面粉的價格1800元 面粉的保管費及其他費用為平均每噸每天3元 購買面粉每次需支付運費900元 求該廠多少天購買一次面粉 才能使平均每天的支付的總費用最少 解設該廠每隔x天購買一次面粉 其購買量為6x噸 由題意可知 面粉的保管等其他費用為3 6x 6 x 1 6 x 2 6 1 9x x 1 該廠每10天購買一次面粉 才能使平均每天所支付的總費用最少 例3某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額 擬在2016年巴西里約熱內(nèi)盧奧運會期間進行一系列促銷活動 經(jīng)過市場調(diào)查和測算 化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3 x與t 1成反比例 如果不搞促銷活動 化妝品的年銷量只能是1萬件 已知2016年生產(chǎn)化妝品的設備折舊 維修等固定費用為3萬元 每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用 若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150 與平均每件促銷費的一半之和 則當年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完 1 將2016年的利潤y 萬元 表示為促銷費t 萬元 的函數(shù) 當年生產(chǎn)x萬件時 年生產(chǎn)成本 年生產(chǎn)費用 固定費用 年生產(chǎn)成本為32x 3 32 3 3 當銷售x 萬件 時 年銷售收入為150 32 3 3 t 由題意 生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完 由年利潤 年銷售收入 年生產(chǎn)成本 促銷費 得年利潤y t 0 2 該企業(yè)2016年的促銷費投入多少萬元時 企業(yè)的年利潤最大 注 利潤 銷售收入 生產(chǎn)成本 促銷費 生產(chǎn)成本 固定費用 生產(chǎn)費用 當促銷費投入7萬元時 企業(yè)的年利潤最大 規(guī)律方法應用題 先弄清題意 審題 建立數(shù)學模型 列式 再用所掌握的數(shù)學知識解決問題 求解 最后要回應題意下結論 作答 跟蹤演練3一批貨物隨17列貨車從A市以v千米 時勻速直達B市 已知兩地鐵路線長400千米 為了安全 兩列貨車的間距不得小于 2千米 那么這批貨物全部運到B市 最快需要 小時 解析設這批貨物從A市全部運到B市的時間為t 即v 100千米 時等號成立 此時t 8小時 8 1 設a b是實數(shù) 且a b 3 則2a 2b的最小值是 A 6B 4C 2D 8 B 1 2 3 4 2 3 4 1 D A 最大值B 最小值C 最大值1D 最小值1 即x 3時等號成立 C 3 將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2 形狀為直角三角形的框架 在下列四種長度的鐵絲中 選用最合理 夠用且浪費最少 的是 A 6 5mB 6 8mC 7mD 7 2m解析設兩直角邊分別為a b 直角三角形的框架的周長為l 則ab 2 ab 4 l a b 6 828 m 因為要求夠用且浪費最少 故選C 1 2 3 4 1 2 3 4 4 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 則x 2y的最小值是 解析由x 2y 2xy 8 得x 2y 2 8 即 x 2y 2 4 x 2y 32 0 解得x 2y 4 4 課堂小結1 用均值不等式求最值 1 利用均值不等式求最值要把握下列三個條件 一正 各項為正數(shù) 二定 和 或 積 為定值 三相等 等號一定能取到 這三個條件缺一不可 2 利用均值不等式求最值的關鍵是獲得定值條件 解題時應對照已知和欲求的式子運用適當?shù)?拆項 添項 配湊 變形 等方法創(chuàng)建應用均值