07第七章_力法.doc

第七 章 力法？本章的問題：A. 什么是超靜定結構？如何判斷超靜定結構的次數(shù)？B. 用力法解超靜定結構的思路是什么？C. 什么是力法的基本體系、基本結構和基本未知量？D. 基本體系與原結構有何異同？ E. 超靜定結構的特點是什么？為什么超靜定結構的內力狀態(tài)與EI有關？F. 如何建立力法典型方程？其物理意義是什么？其主系數(shù)、副系數(shù)？自由項如何求解？G. 如何靈活運用圖乘法來求解各系數(shù)？H. 如何化簡力法方程的計算？I. 什么叫對稱性結構？為什么利用對稱性可以使計算得到簡化？J. 試比較在荷載作用下用力法計算剛架、排架、桁架和組合結構的異同？通過前六章的學習，已經(jīng)掌握了如何從幾何組成分析結構的幾何性質，分清了靜定結構和超靜定結構。且利用平衡條件分析了靜定結構受力，還掌握了靜定結構位移計算的原理和方法。上述內容雖有其本身的工程意義，但更多的是為解決大量工程中的超靜定結構計算奠定基礎。超靜定結構從受力上看，需求反力或內力的未知量總數(shù)多于能建立的獨立平衡方程數(shù)。因此僅僅利用平衡方程不能全部解決反力或內力的計算，必須建立補充方程。在材料力學推導應力公式時，已經(jīng)介紹了綜合“平衡、變形和材料力學行為分析”解決超靜定問題的一般方法。下面主要介紹以力和位移作為基本未知量解超靜定結構的力法和位移法，同時還將介紹與求解相關的方法、技巧和超靜定結構的特性。7-1 求解超靜定結構的一般方法靜定結構是沒有多余約束，因此僅利用平衡條件就可以求出全部反力和內力。超靜定結構由于存在多余約束，待求未知量總數(shù)多于可建立的獨立平衡方程數(shù)， （a） （b） （c）因此僅滿足平衡條件的解答如圖7-1所示，可以有無窮多種（因為n可取任意值）。 圖7-1 超靜定結構僅滿足平衡條件的解答不唯一示意從材料力學可知，截面應力有無限個，僅從它應該平衡外荷載來說是超靜定的。為了解決應力計算，采取從實驗觀察入手，根據(jù)宏觀現(xiàn)象作出關于變形的假設（例如平截面假設），在此基礎上求得變形，然后利用應力應變關系得到應力變化規(guī)律，最終利用平衡條件導出應力計算公式。也即綜合如下三方面：“變形分析使變形協(xié)調；本構關系分析使符合材料性能；平衡分析使?jié)M足平衡要求”，就可以解決“超靜定計算”問題。這一分析思路對變形體力學是普遍適用的，自然超靜定結構的求解也必須遵循。僅用平衡條件，超靜定問題解答不是唯一的。但是，同時滿足變形協(xié)調、本構關系（也即應力應變關系）和平衡條件的解答只有一個，也即超靜定計算的結果也是唯一的。遵循“變形、本構、平衡”分析思想可有不同的出發(fā)點：l 一種做法是：以力作為基本未知量，在自動滿足平衡條件的基礎上進行分析，這時主要應解決變形協(xié)調問題，這種分析方法稱為力法（force method）。l 另一種做法是：以位移作為基本未知量，在自動滿足變形協(xié)調條件的基礎上來分析，當然這時主要需解決平衡問題，這種分析方法稱為位移法（displacement method）。l 如果一個問題中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考慮協(xié)調，位移的部分考慮平衡，這樣的解決方案稱為混合法（mixture method）。在本章中將主要介紹力法，下一章介紹位移法。7-2 力法1、 力法思路節(jié)力法的解題基本思想就是設法將未知的超靜定問題轉換成已知的靜定問題來解決。這里核心是轉換（transform）。（b）引起的變形 （c）引起的變形 （d）荷載引起的變形7-2力法求解思路（a）結構、荷載，基本結構，基本體系為更容易理解，先用一具體例子來說明以力作基本未知量的“轉換”思想。圖7-2a是一超靜定剛架，從組成分析可知，它有兩個多余約束。適當解除多余約束（例如解除B點的支座）可使超靜定結構變成靜定結構，這個靜定結構以后稱為基本結構（fundamental structure），由于拆除約束的任意性，例如還可在AC和CD桿的任何位置加兩個簡單鉸，解除限制截面相對轉動的約束來得到，顯然一個超靜定結構的基本結構可有無限多種可能。但是，不同的基本結構的求解工作量會有所不同?；窘Y構只做了幾何上的轉換，它當然和原結構是不同的。為了使轉換在受力上也將是一樣的，除在基本結構上應該作用原有荷載外，還必須將原有約束力的作用也考慮上。但是，現(xiàn)在這些約束力是未知的，它應該是優(yōu)先求解的量，因此稱為基本未知量（fundamental unknown variation） 基本未知量即為超靜定結構的多余約束的個數(shù)。受有外荷載和基本未知量的基本結構稱為基本體系（fundamental system）。顯然，基本體系在荷載和基本未知力共同作用下的位移，可以由疊加原理用靜定結構的位移計算方法得到，當然這里基本未知力的大小X1、X2是（因為是廣義未知力，因此記作X1，記作X2）待定的。圖4-2b、c、d繪出了單一因素作用下的變形情況和沿未知力方向的位移，因此由圖示位移疊加可得 （a）式中、和X1有關，是X1引起的，、和X2有關，是X2引起的。對線彈性結構，其間關系是線性的，因此，也即可由單位未知力引起的位移系數(shù)放大倍來計算。顯然，在不同未知力X1、X2下，位移和是不同的。這時和原超靜定結構相比，雖然基本體系也是平衡的，但支座B處的位移在不同未知力X1、X2下可能和超靜定結構不協(xié)調。為了消除基本體系和原超靜定結構的差別，必須令式（a）位移和原結構協(xié)調。這樣，有多少個未知力就可以建立多少個協(xié)調條件，也就能夠求出這些未知力。因此，這些協(xié)調條件被稱為力法方程（equation of force method）。對任意線彈性結構，根據(jù)變形協(xié)調條件基本體系所產(chǎn)生的未知力方向位移等于原超靜定結構同方向位移，所列出的是線性代數(shù)方程組為： （7-1）式中為位移系數(shù)，它的物理意義是：基本結構在單位力作用下，在作用處沿方向所產(chǎn)生的位移；為基本結構所受外因引起的方向的位移，稱為廣義荷載位移（generalized load displacement）；為原超靜定結構方向的廣義已知位移。式（7-1）稱為力法典型方程。典型方程也可寫作矩陣方程形式：，式中為柔度矩陣，其元素為位移系數(shù)（也稱為柔度系數(shù)），稱為主系數(shù)（primary coefficient），稱為副系數(shù)（vice coefficient）。根據(jù)位移計算公式可知，力在自己方向所產(chǎn)生的位移恒大于零，因此主系數(shù)一定恒正。為廣義荷載位移矩陣、為已知位移矩陣、為未知力矩陣，其元素分別由廣義荷載位移、廣義已知位移和基本未知力組成。針對上題求解線性代數(shù)方程組（7-1）得： 1 =0 2 =0即可得到基本未知量（本題為X1、X2）多余約束力，在它和荷載共同作用下，基本體系就既平衡又協(xié)調了。根據(jù)解答唯一性，它們就是超靜定結構真實解答。由于已經(jīng)消除基本體系和原超靜定結構的差別，而基本體系是已掌握的靜定結構，所以原超靜定結構的其他計算內容（如內力和位移計算等），就可以通過基本體系用計算靜定結構的方法來解決。這就是力法將超靜定結構轉換成靜定結構進行分析的思路。2、 超靜定次數(shù)的確定基本未知力的個數(shù)又稱為超靜定次數(shù)，顯然確定超靜定次數(shù)是力法計算的第一項工作。從力法思路可見超靜定次數(shù)=多余約束數(shù)=變成基本結構所解除的約束數(shù)=基本體系上露的約束力數(shù)。不管怎麼理解，本質上這是組成分析問題， 一超靜定桁架，從鉸結體系的可變性分析可知是有一個多余約束的幾何不變體系；從計算自由度分析且?guī)缀尾蛔??？芍髓旒艿某o定次數(shù)為1。一超靜定剛架，拆除右邊固定端支座變成靜定結構，相當解除三個約束；將右邊固定支座用約束反力代替，暴露出三個未知力。因此，超靜定次數(shù)為3。結論：一個無鉸閉合框為3次超靜定。3、 力法的解題步驟力法求解解超靜定結構的具體步驟為：1） 確定超靜定次數(shù)和基本結構及其基本體系 顯然，隨著超靜定次數(shù)的確定，基本結構、基本未知力、基本體系等自然可以確定下來。需要指出的是，一個超靜定結構可以用不同的基本結構分析，不同基本結構計算工作量將不同，要選取工作量較少的基本結構。2） 作基本結構在單位未知力和荷載（如果有）作用下的內力圖 為了求基本結構在未知力、外因作用下的位移（、），由靜定結構位移計算可知，必須要有單位內力圖和荷載內力圖。（1）對桁架結構，內力是軸力。（2）對受彎結構，剪力和軸力對變形的影響可以忽略，因此內力是彎矩。（3）對于組合結構，桁架桿是軸力、彎曲桿是彎矩。（4）對于拱，一般是彎矩和軸力。3） 求基本結構在各單位未知力作用下所引起的沿某單位未知力方向的位移 對線性結構由單位內力圖計算。當可用圖乘法時，由圖自乘、由圖和圖互乘計算。注意：圖乘法的應用條件。4） 求外因作用（外荷載、溫度改變、支座移動等）引起基本結構沿單位力方向的位移 這可由第單位內力（反力）根據(jù)各種外因引起的位移計算公式來求。5） 建立力法方程并求解 求得、后，即可建立力法典型方程 或 （7-1）注意：在等式右邊的值可能為零（在外荷載、溫度改變下），可能不為零（有支座移動時）。用求解n元一次方程n個即可獲得基本未知力。當然，未知力個數(shù)超過三個時，手算是很繁的，需要用計算機來求解。6） 作超靜定結構內力圖 根據(jù)疊加原理，在求得未知力后，由單位內力乘以對應未知力后和荷載（有的話）內力疊加，即可得到超靜定結構內力，依此可作內力圖。受彎結構和靜定結構一樣按彎矩、剪力、軸力的順序來計算。也可將已求得的（或）與荷載（有的話）加到基本結構上，然后按靜定結構的方法計算全結構內力。7） 求超靜定結構位移 雖然基本結構有無窮種，但解答是唯一的，這一解答可看作是從任一基本結構求得。所以，有了內力，從任一基本體系出發(fā)，可以按靜定結構受（多種）外因作用求位移的方法，求超靜定結構外因下的位移。8） 校核分析結果 由于單位內力、荷載內力都是平衡的，因此即使未知力計算有錯，疊加結果仍必然自動滿足平衡條件。所以，力法的校核主要是檢查變形條件，也即計算位移看是否滿足協(xié)調條件。好的結構工程師，不僅應能分析，還必須熟練掌握結果的校核方法。具體的校核方法，通過例題來說明。結論：力法是計算超靜定結構最基本、最普遍性的方法。上述力法求解步驟適用于一切結構、一切外因作用。 解除軸向約束三點說明：l 所謂解除軸向約束是指右圖所示拆除軸向鏈桿。l 也可用拆除一根桁架桿的靜定結構作為基本結構，這時計算不考慮已拆除的桿，而力法方程為：“兩結點間的相對位移等于所拆除桿的拉（壓）變形”。l 荷載作用下，超靜定桁架的內力與桿件的絕對剛度EA無關，只與各桿剛度比值有關。例題7-1 試求圖7-3a所示桁架由圖示支座位移所產(chǎn)生的內力。解： 1. 此桁架超靜定次數(shù)為2，取圖7-3b為基本結構，基本體系如圖7-3c。圖7-3例7-1結構及求解過程2. 單位內力圖如圖7-3d。3. 由位移計算可得（自乘）（自乘）（互乘）4. 力法典型方程為代入系數(shù)并求解，可得； 5. 由疊加可得圖7-3e所示各桿內力。說明：l 支座位移將引起超靜定結構內力，這一內力和桿件的絕對剛度EA有關。圖7-4結構及求解過程（2）超靜定梁例題7-2 試求作圖7-4a所示單跨梁的彎矩圖。解：1. 此梁超靜定次數(shù)為1，取圖7-4b和c為基本結構和基本體系。2. 單位彎矩圖如圖7-4d，荷載彎矩圖如圖7-4e。3. 由圖自乘可得由圖和圖互乘可得4. 由力法典型方程可得，當時。5. 由疊加可得圖7-4f所示單跨梁的彎矩圖。說明：荷載作用情況下，超靜定梁內力也只與桿件相對剛度有關，與絕對剛度無關。例題7-3 試求作圖7-5a所示單跨梁的彎矩圖。解：1. 此梁超靜定次數(shù)為3，取圖7-5b為基本結構，基本體系如圖7-5c。圖7-5 例7-3結構及求解2. 荷載彎矩圖如圖7-5d，單位彎矩圖如圖7-5e。3. 由單位內力圖(圖7-5 e)的自乘和互乘可得如下位移系數(shù)：；由位移互等定理可知，因此。4. 由圖和圖互乘可得； 5. 由力法典型方程，可得； 6. 由可得圖7-5f所示的彎矩圖。兩點說明：l 對稱結構受對稱荷載作用將只產(chǎn)生對稱的內力（變形），反對稱內力（變形）等于零。不難推測，對稱結構受反對稱荷載作用將只產(chǎn)生反對稱的內力（變形），對稱內力（變形）等于零。l 在垂直桿軸的豎向荷載作用下，超靜定單跨梁的軸力恒為零，故軸向未知力可不作為獨立的基本未知量。例題7-4 試求作圖7-6a所示定向支座單跨梁由圖示溫度引起的彎矩圖。材料線脹系數(shù)為。解：1. 此梁不計軸向未知力后，超靜定次數(shù)為1，取圖7-6b為基本結構，基本體系如圖7-6c。圖7-6 例7-4結構及求解過程2. 單位彎矩圖如圖7-6d。3. 由圖自乘可得。從圖可見，由溫度引起的位移計算可得4.由力法典型方程 得由此可得圖7-6e所示彎矩圖。圖7-7 單位力狀態(tài)幾點說明：l 溫度改變將引起超靜定結構內力，這一內力也和桿件的絕對剛度EI有關。l 溫度低的一側受拉，此結論適用于溫度引起的其他支承情況超靜定單跨梁。l 若為求本例梁中點的撓度，可取圖7-7所示的單位力狀態(tài)。必須注意，計算時除了要考慮彎矩引起的位移外，還必須考慮基本結構的溫度位移，因此要用多因素的位移公式。具體計算如下：l 對于超靜定結構支座位移引起的位移計算，也一樣要用多因素的位移公式。圖7-7 例7-5結構及求解過程例題7-5 試作圖7-7a所示兩端固定單跨梁由支座位移引起的彎矩圖。 解：1. 此梁超靜定次數(shù)為3，取圖7-7b為基本結構，基本體系如圖7-7c。2.單位內力圖如圖7-7 d。3. 由單位內力圖(圖7-7d)的自乘和互乘可得如下位移系數(shù)：；由位移互等定理可知，因此。4. 由位移協(xié)調，可建立如下力法典型方程； ； 代入位移系數(shù)并求解，可得；。5. 由可得圖7-7e所示的彎矩圖。 說明： 單跨超靜定梁非軸向支座位移計算時，超靜定次數(shù)可減少一次，軸力為零。（3）超靜定剛架例題7-6 試求作圖7-8a所示剛架的彎矩圖。解：1. 此剛架超靜定次數(shù)為2，取圖7-8b為基本結構，基本體系如圖7-8c。圖7-6 例7-8結構及求解過程2. 荷載彎矩圖如圖7-8d，單位彎矩圖如圖7-8e。3. 由單位彎矩圖(圖7-8e)的自乘和互乘可得如下位移系數(shù)：； ； 4. 由圖和圖互乘可得； 單位彎矩圖5. 列力法典型方程、代入系數(shù)為并求解，可得； 6. 由可得圖7-8f所示的彎矩圖。說明：為校核結果的正確性，可將單位彎矩圖和最終彎矩圖互乘，看是否滿足位移協(xié)調條件。也可求解結構某一已知位移，看是否滿足位移協(xié)調條件。為此建立圖示靜定結構（視作基本結構）單位廣義力狀態(tài)，做出所示彎矩圖。將它和圖7-8f互乘，看是否為零。具體計算如下：此結果表明圖7-8f彎矩圖是正確的。 例題7-7 試求作圖7-9a所示剛架因溫度改變引起的彎矩圖。解：1. 剛架超靜定次數(shù)為2，取圖7-9b為基本結構，基本體系如圖 7-9c。2. 單位彎矩圖仍為圖7-9e，單位軸力圖如圖7-9 d。3. 由單位彎矩圖(圖7-9 e)的自乘和互乘可得如下位移系數(shù)：； ； 4. 因為，所以由圖用溫度位移計算公式可得；。5. 列力法方程、代入系數(shù)為并求解，可得； 圖7-9 例7-7結構及求解過程 6. 由可得圖7-9e所示的彎矩圖。四點說明： l 再次強調，求超靜定結構位移時，可取任意一個靜定基本結構建立單位廣義力狀態(tài)。l 再次強調，求超靜定結構位移時，既要考慮彎矩產(chǎn)生的位移，也要考慮靜定結構溫度產(chǎn)生的位移，因此必須用多因素位移計算公式。l 為校核方向的位移，由單位內力圖，用多因素位移計算公式具體計算如下：l 當既有軸線溫度，又有溫差時，應包含兩部分引起的位移。（4）超靜定拱超靜定拱的計算實際上和剛架相似，其最主要的區(qū)別為：1）拱肋為曲桿，求力法方程系數(shù)時圖乘法不再適用。2）根據(jù)拱的受力特點，位移系數(shù)計算時往往要考慮軸力的影響。3）當拱肋截面高度與曲率半徑的比值較大時，如上一章討論中所指出的，位移計算要考慮曲率的影響。根據(jù)具體問題，只要注意了上述和剛架的不同點，應該說求解超靜定拱不會有困難。下面以例題加以說明。例題7-8 試求圖7-10a所示等截面對稱兩鉸拱的跨中截面彎矩。解：1. 兩鉸拱超靜定次數(shù)為1，取圖7-10b三鉸拱為基本結構，基本體系如圖7-10c。2. 單位力作用下反力和內力如圖7-10d。3. 荷載下與基本體系對應的代梁受力如圖7-10e，由此可得： 推力（水平反力） 彎矩 4. 對于兩鉸拱，一般在計算位移系數(shù)時考慮軸力和彎矩的影響，在計算荷載位移系數(shù)時只考慮彎矩影響。因此，根據(jù)位移計算公式可得； （a）式中 5. 由力法典型方程可得。當已知拱軸線方程的情況下，由式（a）積分即可求得超靜定兩鉸拱的基本未知力。有了基本未知力，利用內力疊加公式即可求作內力圖。在豎向荷載下若是只需求指定截面內力，可利用三鉸拱的內力公式進行計算。四點說明： 例7-8結構及求解l 本例因為要求跨中彎矩，所以將它作為基本未知力。一般解兩鉸拱時以水平推力作基本未知力。l 對小曲率的扁平拱，可近似取，使計算得以簡化。l 對于帶拉桿的兩鉸拱，以拉桿軸力作為基本未知量，這時。式中為無拉桿兩鉸拱的位移系數(shù)，為拉桿的抗拉剛度。由有、無拉桿兩鉸拱的水平推力對比不難發(fā)現(xiàn)，設計拉桿拱時，為減小拱肋的彎矩，應該盡可能使拉桿剛度大一些。l 實際工程中的拱結構（屋蓋、橋梁和隧洞襯砌等）往往是變截面的，位移系數(shù)的計算一般要用數(shù)值積分（例如上章介紹的梯形公式或辛普生公式）來計算，顯然手算的工作量是很大的。（5）超靜定組合結構和靜定組合結構一樣，求解的關鍵是：在求位移時區(qū)分梁式（彎曲）桿和桁架（二力）桿。對梁式桿可只考慮彎矩圖乘求，對桁架桿按計算，總的位移系數(shù)為兩者之和。下面按此思路以例題說明求解過程。例題7-9 試求圖7-11a所示超靜定組合結構各桁架桿的內力。解1. 此組合結構超靜定次數(shù)為1，取圖7-11b為基本結構，基本體系如圖7-11c。2. 基本結構在單位力作用下的內力如圖7-11d、在荷載作用下的彎矩圖如圖7-11e。3. 由單位內力可求得，由單位彎矩圖和荷載彎矩圖圖乘可得4. 由力法典型方程可求得； 圖7-11 例7-9結構及求解5. 有了基本未知力，由單位內力圖中各桿軸力放大，即可得組合結構桁架桿內力。如果要作梁式桿的彎矩圖，由即可獲得。說明：由式中K的分析可知，當桁架桿非常剛硬、梁式桿比較柔軟時，K0，梁的彎矩接近于三跨連續(xù)梁情況。反之，當桁架桿拉壓剛度較小、梁式桿非常剛硬時，K很大X10，梁的彎矩接近于簡支梁情況。7-3力法計算的簡化 力法典型方程是線性聯(lián)立方程組，其位移系數(shù)是由主系數(shù)、副系數(shù)、自由項組成的。其物理意義：主系數(shù)恒大于零，而副系數(shù)和自由項ip是代數(shù)量，可正、可負、可零。如果能設法使得盡可能多的副系數(shù)和自由項等于零，不僅可以減少系數(shù)的計算，而且還可減少解方程的工作量。這就是本節(jié)討論的內容。1、 無彎矩狀態(tài)的判別對一些只受結點荷載的剛架結構，在不計軸向變形的情況下，有可能是無彎矩的。如果能夠方便地判斷出來，顯然將可減少許多求解的計算工作量。我們通過圖7-12所示例子來說明。需要再次強調指出的是：無彎矩狀態(tài)判別的前提條件是：不計軸向變形，只受結點荷載作用。在圖7-12示例基礎上，下面給出無彎矩狀態(tài)的判別方法：l 將剛架的剛結點都變成鉸，所得鉸結體系如果幾何不變，此剛架在結點荷載下一定是無彎矩的。如圖7-12a。l 將剛架的剛結點都變成鉸，所得鉸結體系如果幾何可變，則附加必要鏈桿使體系達到幾何不變。在結構所受荷載下，求解附加鏈桿所受的軸力。如果全部附加鏈桿均不受力，原結構在所給結點荷載下一定是無彎矩的。否則有