三垂直模型--相似三角形專(zhuān)題.doc

三垂直模型相似三角形（教學(xué)設(shè)計(jì)）廣州市東曉中學(xué) 王智君一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握相似三角形的性質(zhì)和判定，并能熟練運(yùn)用三垂直模型解決問(wèn)題。2、經(jīng)歷運(yùn)用相似三角形的基礎(chǔ)知識(shí)解決的過(guò)程，體驗(yàn)圖形的運(yùn)動(dòng)以及方程等數(shù)學(xué)思想。二、授課（一）【導(dǎo)入新課】相似三角形在初中的應(yīng)用非常廣泛，用于線段、面積的計(jì)算；用于線段關(guān)系式、線段的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系的證明。前段時(shí)間我們學(xué)習(xí)了相似三角形的A字形、8字形等模型的應(yīng)用，今天我們繼續(xù)探索相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用。（二）【探究活動(dòng)】【探究1】構(gòu)造格點(diǎn)三角形請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)一個(gè)直角三角形ABC， 滿足條件：（1） 以線段AC為斜邊；（2） 頂點(diǎn)B落在線段MT的格點(diǎn)上。師問(wèn)：怎樣畫(huà)出這樣一個(gè)直角三角形？生答：用直角三角板，把直角頂點(diǎn)B放在線段MT的任一格點(diǎn)上，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角板，若使得兩直角邊與點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)重合，則三角形ABC為直角三角形了。師問(wèn)：你能確定你這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？生答：利用格點(diǎn)圖，易知AC=5，AB=, BC=2,在利用勾股定理的逆定理，可以知道AB+BC=AC, 所以ABC必定為直角三角形。師說(shuō)：由于題目要求ABC恒為90，由此我們還可以考慮直徑所對(duì)的圓周角也恒為90。那么我們以線段AC為直徑作圓，圓弧與線段MT交點(diǎn)，便為點(diǎn)B.師問(wèn)：今天我們要研究不是ABC，而是AMB與BTC。請(qǐng)問(wèn)AMB與BTC相似嗎?生答:相似。因?yàn)閵A角為直角，兩邊對(duì)應(yīng)成比例?！咎骄?】構(gòu)造三垂直模型師問(wèn)：我把圖2中格線擦掉后，條件不變，依然在正方形中，且ABC=90，請(qǐng)問(wèn)圖3中AMB與BTC這兩個(gè)三角形還相似嗎？依據(jù)呢？生答：相似，由于1+2=90且1+2=90，所以1=3，又因?yàn)镸 =T = 90,因此這兩個(gè)三角形相似。師說(shuō)：很好。我們利用同角的余角相等，易于得出這兩個(gè)三角形有兩組角相等，所以相似。這種有三個(gè)直角，其頂點(diǎn)都在同一直線上的，構(gòu)成這種相似三角形，我們俗稱三垂直模型。結(jié)論1： 在三垂直模型中，至少有一對(duì)相似三角形。 例題1：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，BEF=90，AB=6，AE=9，DE=2，求線段EF的長(zhǎng)度。設(shè)計(jì)意圖：利用三垂直模型，易于得到左右兩個(gè)三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，求出相關(guān)線段。再利用勾股定理得出EF的長(zhǎng)度?！咎骄?】構(gòu)造折疊例題2：如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF的長(zhǎng)。師問(wèn)：折疊前后兩個(gè)三角形有什么性質(zhì)？生答：兩個(gè)三角形全等，其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等。 師問(wèn)：這道題的背景除了折疊，還有矩形四個(gè)角都為直角，對(duì)邊相等外，圖中還隱藏信息？生答：三垂直模型，相似。師說(shuō)：對(duì)，圖中有很多直角，構(gòu)成的直角三角形三邊滿足勾股定理。（三）下面我們研究一下三垂直模型中，出現(xiàn)三個(gè)三角形兩兩相似的情況?！咎骄?】探究相似例3： 如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)點(diǎn)E，連接ED、EC,使得RtCED、RtDAE、RtEBC，三個(gè)三角形兩兩相似。師說(shuō)：在線段AB上找一點(diǎn)E,連結(jié)DE,發(fā)現(xiàn)DC/AB,則有一組內(nèi)錯(cuò)角相等，又因?yàn)轭}目條件有2個(gè)三角形相似，已知DAB已是直角，則DEC必為直角。生說(shuō)：我知道了，實(shí)際上就是以線段DC為直徑作圓就行了。師說(shuō)：在這道題中，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)性質(zhì)。在三垂直模型中，當(dāng)DC/AB時(shí)，得到的三個(gè)三角形兩兩相似。結(jié)論2: 在三垂直模型中，當(dāng)DC/AB時(shí)，得到的三個(gè)三角形兩兩相似?！咎骄?】如圖4：將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處。若RtEMC、RtAME、RtBEC，三個(gè)三角形兩兩相似，則請(qǐng)?jiān)囂骄緼B和BC的數(shù)量關(guān)系。師問(wèn)：本題出題的背景也是矩形，并且折疊，但是多了一個(gè)條件是三個(gè)三角形兩兩相似?，F(xiàn)要求AB、BC兩線段的數(shù)量關(guān)系。題目沒(méi)有出現(xiàn)邊角的具體數(shù)據(jù)，你們能在題目中找到隱藏的邊角條件嗎？2431 師說(shuō)：其實(shí)，在三垂直模型中，還有一種特殊情況，就是當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，這三個(gè)三角形兩兩相似。請(qǐng)同學(xué)們回家想想為什么，想辦法證明出來(lái)。結(jié)論3：在三垂直模型中，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，三個(gè)三角形兩兩相似。三、課堂檢測(cè)：如圖，已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)A、B 不重合，過(guò)點(diǎn)P作PE垂直DP，交邊BC于點(diǎn)E，設(shè)PA=x，BE=y。求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍，并求出y的最大值。四、小結(jié)收獲，交流歸納（1）由“三垂直模型”基本圖形搭建橋梁可以得到相似三角形。（2）學(xué)習(xí)幾何最重要是學(xué)會(huì)歸納一些簡(jiǎn)單的基本圖形，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形里提煉基本圖形，并將其作為解決問(wèn)題的手段和方法。（3）幾何的學(xué)習(xí)中，要注重圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，總結(jié)和發(fā)現(xiàn)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，探求其規(guī)律，幫我們解決繁雜問(wèn)題。五、板書(shū)設(shè)計(jì)：課題：“三垂直