三垂直模型--相似三角形專題.doc

三垂直模型相似三角形（教學設(shè)計）廣州市東曉中學 王智君一、學習目標1、掌握相似三角形的性質(zhì)和判定，并能熟練運用三垂直模型解決問題。2、經(jīng)歷運用相似三角形的基礎(chǔ)知識解決的過程，體驗圖形的運動以及方程等數(shù)學思想。二、授課（一）【導入新課】相似三角形在初中的應(yīng)用非常廣泛，用于線段、面積的計算；用于線段關(guān)系式、線段的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系的證明。前段時間我們學習了相似三角形的A字形、8字形等模型的應(yīng)用，今天我們繼續(xù)探索相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用。（二）【探究活動】【探究1】構(gòu)造格點三角形請在圖1中畫一個直角三角形ABC， 滿足條件：（1） 以線段AC為斜邊；（2） 頂點B落在線段MT的格點上。師問：怎樣畫出這樣一個直角三角形？生答：用直角三角板，把直角頂點B放在線段MT的任一格點上，以點B為頂點旋轉(zhuǎn)三角板，若使得兩直角邊與點A、點C同時重合，則三角形ABC為直角三角形了。師問：你能確定你這個三角形一定是直角三角形嗎？生答：利用格點圖，易知AC=5，AB=, BC=2,在利用勾股定理的逆定理，可以知道AB+BC=AC, 所以ABC必定為直角三角形。師說：由于題目要求ABC恒為90，由此我們還可以考慮直徑所對的圓周角也恒為90。那么我們以線段AC為直徑作圓，圓弧與線段MT交點，便為點B.師問：今天我們要研究不是ABC，而是AMB與BTC。請問AMB與BTC相似嗎?生答:相似。因為夾角為直角，兩邊對應(yīng)成比例。【探究2】構(gòu)造三垂直模型師問：我把圖2中格線擦掉后，條件不變，依然在正方形中，且ABC=90，請問圖3中AMB與BTC這兩個三角形還相似嗎？依據(jù)呢？生答：相似，由于1+2=90且1+2=90，所以1=3，又因為M =T = 90,因此這兩個三角形相似。師說：很好。我們利用同角的余角相等，易于得出這兩個三角形有兩組角相等，所以相似。這種有三個直角，其頂點都在同一直線上的，構(gòu)成這種相似三角形，我們俗稱三垂直模型。結(jié)論1： 在三垂直模型中，至少有一對相似三角形。 例題1：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，BEF=90，AB=6，AE=9，DE=2，求線段EF的長度。設(shè)計意圖：利用三垂直模型，易于得到左右兩個三角形相似，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，求出相關(guān)線段。再利用勾股定理得出EF的長度?！咎骄?】構(gòu)造折疊例題2：如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF的長。師問：折疊前后兩個三角形有什么性質(zhì)？生答：兩個三角形全等，其對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。 師問：這道題的背景除了折疊，還有矩形四個角都為直角，對邊相等外，圖中還隱藏信息？生答：三垂直模型，相似。師說：對，圖中有很多直角，構(gòu)成的直角三角形三邊滿足勾股定理。（三）下面我們研究一下三垂直模型中，出現(xiàn)三個三角形兩兩相似的情況?！咎骄?】探究相似例3： 如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1）的格點（即每個小正方形的頂點）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個點E，連接ED、EC,使得RtCED、RtDAE、RtEBC，三個三角形兩兩相似。師說：在線段AB上找一點E,連結(jié)DE,發(fā)現(xiàn)DC/AB,則有一組內(nèi)錯角相等，又因為題目條件有2個三角形相似，已知DAB已是直角，則DEC必為直角。生說：我知道了，實際上就是以線段DC為直徑作圓就行了。師說：在這道題中，我們發(fā)現(xiàn)了一個性質(zhì)。在三垂直模型中，當DC/AB時，得到的三個三角形兩兩相似。結(jié)論2: 在三垂直模型中，當DC/AB時，得到的三個三角形兩兩相似?！咎骄?】如圖4：將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處。若RtEMC、RtAME、RtBEC，三個三角形兩兩相似，則請試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系。師問：本題出題的背景也是矩形，并且折疊，但是多了一個條件是三個三角形兩兩相似?，F(xiàn)要求AB、BC兩線段的數(shù)量關(guān)系。題目沒有出現(xiàn)邊角的具體數(shù)據(jù)，你們能在題目中找到隱藏的邊角條件嗎？2431 師說：其實，在三垂直模型中，還有一種特殊情況，就是當點E為AB的中點時，這三個三角形兩兩相似。請同學們回家想想為什么，想辦法證明出來。結(jié)論3：在三垂直模型中，當點E為AB中點時，三個三角形兩兩相似。三、課堂檢測：如圖，已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，點P是AB上的一個動點，與點A、B 不重合，過點P作PE垂直DP，交邊BC于點E，設(shè)PA=x，BE=y。求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值。四、小結(jié)收獲，交流歸納（1）由“三垂直模型”基本圖形搭建橋梁可以得到相似三角形。（2）學習幾何最重要是學會歸納一些簡單的基本圖形，學會從復(fù)雜的圖形里提煉基本圖形，并將其作為解決問題的手段和方法。（3）幾何的學習中，要注重圖形的運動和變化，總結(jié)和發(fā)現(xiàn)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，探求其規(guī)律，幫我們解決繁雜問題。五、板書設(shè)計：課題：“三垂直