第三章習題解答.doc

習題三3.1一質量為M，邊長為L的等邊三角形薄板，求繞垂直于薄板平面并通過其頂點的轉軸的轉動慣量。解：三角形的頂點與質心的距離為，設所求轉動慣量為，垂直于薄板平面并通過其質心的轉軸的轉動慣量為，利用平行軸定理，。取直角坐標系原點位于轉軸與邊的交點，三角形的一個頂點位于處，等邊三角形薄板的面密度為，則由于該積分區(qū)域是對軸對稱的，積分區(qū)間從到，的積分區(qū)間從到（單位均為L）。將上述積分化為，其中， ， （是由于積分號內(nèi)的單位被提出） 令 所以： 解2：在薄板平面內(nèi)取直角坐標系，原點即為通過轉軸的三角形頂點，另兩個頂點分別位于，則而由于該積分區(qū)域是對軸對稱的，積分區(qū)間從到，的積分區(qū)間從到（單位均為L）。將上述積分化為3.2一質量為M、半徑為R的均勻球體，求對于通過球心轉軸的轉動慣量。解： 將代入上式，即得3.3一個輪子裝在固定軸上，整個系統(tǒng)無摩擦地自由轉動。一條質量可忽略的帶子纏繞在軸上，并以已知恒定的力F拉之，以測定輪軸系統(tǒng)的轉動慣量。當帶子松開的長度為L時，系統(tǒng)轉動的角速度為，求系統(tǒng)的轉動慣量。解：外力做功為，帶子松開的長度為L時，系統(tǒng)動能為，所以 3.4質量為長為的均質桿，其B端水平的放在桌上，A端用手支住，問在突然撒手的瞬時，（1）繞B點的力矩和角加速度各是多少？（2）桿的質心加速度是多少？解：（1）繞B點的力矩由重力產(chǎn)生，設桿的線密度為，則繞B點的力矩為 桿繞B點的轉動慣量為 角加速度為 （2）桿的質心加速度為 3.6 飛輪的質量為60kg，直徑為0.50m，轉速為1000r/min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的質量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。解：設在飛輪接觸點上所需要的壓力為，由 本題中，摩擦力力矩不變?yōu)?，角動量由變化到0，所以 解得3.7 如圖所示，兩物體1和2的質量分別為m1與m2，滑輪的轉動慣量為J，半徑為r。如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2（設繩子與滑輪間無相對滑動）； 如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a及繩中的張力T1與T2。解：先做受力分析，物體1受到重力和繩的張力，對于滑輪，受到張力和，對于物體2，在水平方向上受到摩擦力和張力，分別列出方程 （） （）通過上面三個方程，可分別解出三個未知量 在的解答中，取即得3.8 電動機帶動一個轉動慣量為J=50kgm2的系統(tǒng)作定軸轉動。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后達到120r/min的轉速。假定在這一過程中轉速是均勻增加的，求電動機對轉動系統(tǒng)施加的力矩。解：由于轉速是均勻增加的，所以角加速度為從而力矩為3.9 求題3.6中制動力矩在制動過程中所作的功。解：制動力矩在制動過程中所作的功等于系統(tǒng)動能的變化 本題也可以先求出摩擦力做功的距離以及摩擦力的大小來求解。3.10 一飛輪直徑為0.30m，質量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉速達到10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉過的轉數(shù)；拉力及拉力所作的功；從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。解： 飛輪的角加速度為 轉過的圈數(shù)為 飛輪的轉動慣量為 所以，拉力的大小為 拉力做功為 從拉動后t=10s時 飛輪角速度為 輪邊緣上一點的速度為 輪邊緣上一點的加速度為 3.11 彈簧、定滑輪和物體的連接如題3.11圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N m-1；定滑輪的轉動慣量是0.5kg m2，半徑為0.30m，問當6.0kg質量的物體落下0.40m時，它的速率為多大？假設開始時物體靜止而彈簧無伸長。解：當物體落下0.40m時，物體減少的勢能轉化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能， 即 ， 將，代入，得 3.12 一均勻鉛球從高為，與水平面夾角為的固定斜面頂上由靜止無滑動的滾下，求滾到底端時球心的速度。試用下述幾種方法求解：（1）轉動定理，以球和斜面的接觸點為瞬時轉軸；（2）質心運動定理；（3）機械能守恒定律；（4）角動量定理。3.13 質量為m、半徑為R的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動。另一質量為m0的子彈以速度v0射入輪緣（如題2-31圖所示方向）。（1）開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值？（2）用m,m0和表示系統(tǒng)（包括輪和質點）最后動能和初始動能之比。3.14 在自由旋轉的水平圓盤上，站一質量為m的人。圓盤的半徑為R，轉動慣量為J，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變，人在盤邊時，角動量為 人走到盤心時因此，人在盤邊和在盤心時，系統(tǒng)動能分別為系統(tǒng)動能增加3.15 在半徑為R1，質量為m的靜止水平圓盤上，站一質量為m的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉動。當這人開始沿著與圓盤同心，半徑為R2（ R1）的圓周勻速地走動時，設他相對于圓盤的速度為v，問圓盤將以多大的角速度旋轉？解：整個體系的角動量保持為零，設人勻速地走動時圓盤的角速度為，則 解得 3.16 如題3.16圖示，轉臺繞中心豎直軸以角速度0作勻速轉動。轉臺對該軸的轉動慣量J=510-5 kgm2?，F(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉臺，并粘在臺面形成一半徑r=0.1m的圓。試求砂粒落到轉臺，使轉臺角速度變?yōu)樗ǖ臅r間。解：要使轉臺角速度變?yōu)?，由于砂粒落下時不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉動慣量加倍才行，即 將和代入得所以 3.17 一質子從遠處射向一帶電量為的重核，但沒有瞄準，偏離了一個距離（叫做散射參量），如習題3.17圖所示。質子的動能為，重核的質量非常大，可以略去其反沖能量，即可以把重核看作是靜止的。求質子能接近重核的最近距離。解：設質子在離核最近處，速度為分別列出體系的角動量守恒方程和能量守恒方程通過這兩個方程可解出其中的未知變量和（解答略）3.18 一脈沖星質量為1.51030kg，半徑為20km。自旋轉速為2.1 r/s，并且以1.010-15r/s的變化率減慢。問它的轉動動能以多大的變化率減?。咳绻@一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設脈沖星可看作勻質球體。解：脈沖星的轉動慣量為 轉動動能為 單位時間內(nèi)，能量的變化百分比為：因此，停止自旋所需要的時間為3.19 兩滑冰運動員，質量分別為MA=60kg，MB=70kg，它們的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質心作圓周運動并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時：系統(tǒng)的總角動量；系統(tǒng)的角速度；兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解：設兩滑冰運動員拉手后，兩人相距為，兩人與質心距離分別為和，則 系統(tǒng)總角動量為 對系統(tǒng)的角速度，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變 所以， 兩人拉手前總動能為： 拉手后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為 所以體系動能保持守恒 可以算出，當且僅當時，體系能量守恒，否則能量會減小 3.20一長l=0.40m的均勻木棒，質量M=1.00kg，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉動，開始時棒自然地豎直懸垂?，F(xiàn)有質量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點與O點的距離為，如圖。求：棒開始運動時的角速度；棒的最大偏轉角。解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點的角動量為 子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉動慣量為 所以， 子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為 當桿轉至最大偏轉角時，系統(tǒng)沒有動能，勢能的增加量為 由機械能守恒， 得 3.22 壓路機的滾筒可近似地看作一個直徑為D的圓柱形薄壁圓筒（如習題3.22 圖），設滾筒的直徑D=1.50m，質量為10t，如果水平牽引力F為20000N，使它在地面上作純滾動。求：滾筒的角加速度和軸心的加速度；摩擦力；從靜止開始走了1m時，滾筒的轉動動能與平動動能。解： 采用瞬時轉軸法，通過滾筒與地面接觸點的軸，摩擦力無力矩，只有水平牽引力有力矩，所以， 軸心的加速度為 在水平方向上滾筒受到水平牽引力和摩擦力的作用，由牛頓第二定律，摩擦力為 由于整個體系做勻加速運動，走了一米后，滾筒的速度為 其平動動能為 轉動動能為 3.23 如圖所示，一圓柱體質量為m，長為，半徑為R，用兩根輕軟的繩子對稱地繞在圓柱兩端，兩繩的另一端分別系在天花板上。現(xiàn)將圓柱體從靜止釋放，試求：它向下運動時的線加速度；向下加速運動時，兩繩的張力。解： 采用瞬時轉軸法，以繩和圓柱體的接觸點為瞬時轉軸，繩的張力無力矩，所以 向下加速運動時，圓柱體豎直方向受到向下的重力，以及繩子的拉力，所以 3.24半徑R為30cm的輪子，裝在一根長為40cm的軸的中部，并可繞其轉動，輪和軸的質量共5kg，系統(tǒng)的回轉半徑為25cm，軸的一端A用一根鏈條掛起，如果原來軸在水平位置，并使輪子以的自旋角速度旋轉，方向如圖所示，求：該輪自轉的角動量；作用于軸上的外力矩；系統(tǒng)的進動角速度，并判斷進動方向。 解：本題屬于進動問題。（1）因為輪軸系統(tǒng)的回轉半徑為所以其轉動慣量自轉角動量則為 （2）輪軸系統(tǒng)對A點的力矩為： （3）進動的角速度為 進動的方向俯視為逆時針方向。3.25 繞有電纜的大木軸，質量為1000kg，繞中心軸O的轉動慣量為300kgm2。如圖所示：R1=1.00m，R2=0.40m。假定大木軸與地面間無相對滑動，當用力F=9800N的水平拉力拉電纜的一端時，問：輪子將怎樣運動？軸心O的加速度是多大？摩擦力是多大？摩擦系數(shù)至少為多大時才能保證無相對滑動？ 如果力F與水平方向夾角為（）見圖（b），而仍要使木軸向前加速且與地面無相對滑