初二上數(shù)學(xué)整理.pdf

1 數(shù)學(xué) 八年級上冊 知識點總結(jié) 第一章 實數(shù) 一 實數(shù)的概念及分類 1 實數(shù)的分類 正有理數(shù) 有理數(shù) 零 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù) 實數(shù) 負有理數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負無理數(shù) 2 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) 在理解無理數(shù)時 要抓住 無限不循環(huán) 這一時之 歸納起來有四類 1 開方開不盡的數(shù) 如 3 2 7等 2 有特定意義的數(shù) 如圓周率 或化簡后含有 的數(shù) 如 3 8 等 3 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù) 如 0 1010010001 等 4 某些三角函數(shù)值 如 sin60o等 二 平方根 算數(shù)平方根和立方根 1 算術(shù)平方根 一般地 如果一個正數(shù) x 的平方等于 a 即 x2 a 那么這個正數(shù) x 就 叫做 a 的算術(shù)平方根 特別地 0 的算術(shù)平方根是 0 表示方法 記作 a 讀作根號 a 性質(zhì) 正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個 零的算術(shù)平方根是零 2 平方根 一般地 如果一個數(shù) x 的平方等于 a 即 x2 a 那么這個數(shù) x 就叫做 a 的 平方根 或二次方根 表示方法 正數(shù) a 的平方根記做 a 讀作 正 負根號 a 性質(zhì) 一個正數(shù)有兩個平方根 它們互為相反數(shù) 零的平方根是零 負數(shù)沒有平方根 開平方 求一個數(shù) a 的平方根的運算 叫做開平方 0 a 注意 a的雙重非負性 a 0 3 立方根 一般地 如果一個數(shù) x 的立方等于 a 即 x3 a 那么這個數(shù) x 就叫做 a 的立方根 或三 次方根 表示方法 記作 3 a 2 性質(zhì) 一個正數(shù)有一個正的立方根 一個負數(shù)有一個負的立方根 零的立方根是零 注意 33 aa 這說明三次根號內(nèi)的負號可以移到根號外面 三 二次根式計算 1 含有二次根號 被開方數(shù) a 必須是非負數(shù) 2 性質(zhì) 1 0 2 aaa 0 aa 2 aa2 0 aa 3 0 0 babaab 0 0 baabba 4 0 0 ba b a b a 0 0 ba b a b a 3 化簡二次根式 把二次根式被開方數(shù)的完全平方因式移到根號外 例 233218 2 字母因式由根號內(nèi)移到根號外時 必須考慮字母因式隱含的符號 4 最簡二次根式 化簡后的二次根式需同時符合以下兩個條件 被開方數(shù)中各因式 的指數(shù)都為 1 被開方數(shù)不含分母 這樣的二次根式叫做最簡二次根式 將一個二次根式化成最簡二次根式 有以下兩種情況 如果被開方數(shù)是分式或分?jǐn)?shù) 包括小數(shù) 先利用商的自述平方根的性質(zhì)把它寫成分 式的形式 然后再分母有理化 如果被開方數(shù)是整式或整數(shù) 先將它分解因式或分解質(zhì)因數(shù) 然后把能開方的因式或 因數(shù)開出來 從而將式子化簡 化二次根式為最簡二次根式的步驟 把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù) 化為積的形式 把根號內(nèi)能開方的的因數(shù)移到根號外 化去根號內(nèi)的分母 若被開方數(shù)的因數(shù)中有帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù) 小數(shù)化成分?jǐn)?shù) 5 同類二次根式 幾個二次根式化成最簡二次根式后 如果被開方數(shù)相同 那么這幾 個二次根式是同類二次根式 例 18 22 2 2 1 判斷是不是同類二次根式 首 先 要看它們是不是最簡二次根式 其次 看這些最簡二次根式的被開方數(shù)是否相同 6 二次根式的加法 減法 化簡 化成最簡二次根式 合并同類二次根 即將被 開方數(shù)相同的二次根式的系數(shù)進行合并 7 二次根式的乘法 除法 先完成根號內(nèi)乘除 再化簡二次根式 小數(shù)化分?jǐn)?shù) 帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù) 字母需考慮取值范圍 不要忽視隱含條件 8 分母有理化 把分子和分母都乘以一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式 使分母不含根號 這種計算 3 叫做分母有理化 第二章 一元二次方程 一 定義 只含有一個未知數(shù) 且未知數(shù)最高次數(shù)是二次的整式方程 二 一般式 0 0 2 acbXaX 三 一元二次方程的解法 1 開平方法 一般來說 形如dX 2 0 0 2 acaX的一元二次方程可以用開平 方法 三種情況 有兩個不相等的實數(shù)根 等于 0 沒有實數(shù)根 2 因式分解法 提取公因式 公式法 平方差 完全平方公式 十字相乘法 分組分解法 3 配方法 移常數(shù)項 化二次項系數(shù)為 1 配方 在方程的左右兩邊同時加上一次 項系數(shù)一半的平方 用開平方法求解 結(jié)論 4 公式法 先把方程化為一般形式 寫出方程各項的系數(shù) a b c 的值 要注意它們 的符號 計算acb4 2 當(dāng)04 2 acb時 將 a b c 的值代入求根公式 求出方 程的兩個根 當(dāng)acb4 2 0 b 0 y 0 x 圖像經(jīng)過一 二 三象限 y 隨 x 的增大而增大 b 0 y 0 x 圖像經(jīng)過一 三 四象限 y 隨 x 的增大而增大 K0 y 0 x 圖像經(jīng)過一 二 四象限 y 隨 x 的增大而減小 b0 時 圖像經(jīng)過第一 三象限 y 隨 x 的增大而增大 2 當(dāng) k0 時 y 隨 x 的增大而增大 2 當(dāng) k 0 時 y 隨 x 的增大而減小 6 正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定 確定一個正比例函數(shù) 就是要確定正比例函數(shù)定義式kxy k 0 中的常數(shù) k 確 定一個一次函數(shù) 需要確定一次函數(shù)定義式bkxy k 0 中的常數(shù) k 和 b 解這類問 題的一般方法是待定系數(shù)法 待定系數(shù)法 先設(shè)出函數(shù)解析式 再根據(jù)條件確定解析式中未知的系數(shù) 從而具體寫出 這個式子的方法 1 一次函數(shù)與一元一次方程 從 數(shù) 的角度看 x 為何值時函數(shù) y ax b 的值為 0 2 求 ax b 0 a b 是常數(shù) a 0 的解 從 形 的角度看 求直線 y ax b 與 x 軸交點的橫 坐標(biāo) 3 一次函數(shù)與一元一次不等式 解不等式 ax b 0 a b 是常數(shù) a 0 從 數(shù) 的角度看 x 為何值時函數(shù) y ax b 的值 大于 0 4 解不等式 ax b 0 a b 是常數(shù) a 0 從 形 的角度看 求直線 y ax b 在 x 軸上方 的部分 射線 所對應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍 7 一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 任何一個一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為 kx b 0 k b 為常數(shù) k 0 的形式 而一次 函數(shù)解析式形式正是 y kx b k b 為常數(shù) k 0 當(dāng)函數(shù)值為 0 時 即 kx b 0 就與一元 一次方程完全相同 結(jié)論 由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為 kx b 0 k b 為常數(shù) k 0 的形式 所以 解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為 當(dāng)一次函數(shù)值為 0 時 求相應(yīng)的自變量的值 從圖象上看 這相當(dāng)于已知直線 y kx b 確定它與 x 軸交點的橫坐標(biāo)值 7 反比例函數(shù) 定義 一般地 形如 x k y k為常數(shù) ok 的函數(shù)稱為反比例函數(shù) x k y 還可以寫成kxy 1 反比例函數(shù)解析式的特征 等號左邊是函數(shù)y 等號右邊是一個分式 分子是不為零的常數(shù)k 也叫做 比例系數(shù)k 分母中含有自變量x 且指數(shù)為 1 比例系數(shù)0 k 自變量x的取值為一切非零實數(shù) 7 函數(shù)y的取值是一切非零實數(shù) 反比例函數(shù)的圖像 圖像的畫法 描點法 列表 應(yīng)以 O 為中心 沿 O 的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù) 描點 有小到大的順序 連線 從左到右光滑的曲線 反比例函數(shù)的圖像是雙曲線 x k y k為常數(shù) 0 k 中自變量0 x 函 數(shù)值0 y 所以雙曲線是不經(jīng)過原點 斷開的兩個分支 延伸部分逐漸靠 近坐標(biāo)軸 但是永遠不與坐標(biāo)軸相交 反比例函數(shù)的圖像是是軸對稱圖形 對稱軸是xy 或xy 反比例函數(shù) x k y 0 k 中比例系數(shù)k的幾何意義是 過雙曲線 x k y 0 k 上任意引x軸y軸的垂線 所得矩形面積為k 反比例函數(shù)性質(zhì)如下表 k的取值 圖像所在象限 函數(shù)的增減性 ok 一 三象限 在每個象限內(nèi) y值隨x的增大而減小 ok 二 四象限 在每個象限內(nèi) y值隨x的增大而增大 反比例函數(shù)解析式的確定 利用待定系數(shù)法 只需一對對應(yīng)值或圖像上一個 點的坐標(biāo)即可求出k 反比例關(guān)系 與 反比例函數(shù) 成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù) 但 是反比例函數(shù) x k y 中的兩個變量必成反比例關(guān)系 第四章 幾何證明 一 幾何證明中常用的證明方法 1 證明兩直線平行 利用平行線的性質(zhì)和判定 利用平行線的判斷定理及其推論來證 明 這是證明兩直線平行最基本的方法 關(guān)鍵是找出同位角 內(nèi)錯角的相等關(guān)系或同旁內(nèi)角 的互補關(guān)系 證明兩線段相等 利用三角形全等的性質(zhì)和判定 利用等腰三角形的性質(zhì)和判定 1 如果兩線段分別在兩個三角形中 那么可證這兩個三角形全等 有時可能缺少直接 條件 要證明兩次全等 有時兩線段分別在兩個三角形中 但這兩個三角形不全等 那么可添輔助線構(gòu)造全等三 角形來證 常添的輔助線有 平行線 垂線 中線 連結(jié)線段等 3 如果兩線段是一個三角形的兩邊 可證它們所對的角相等 等角對等邊 4 證明兩條線段都等于第三條線段 即以第三條線段為媒介 證明兩角相等 利用三角形全等的性質(zhì)和判定 利用等腰三角形的性質(zhì)和判定 證明兩直線互相垂直 利用垂直的定義 利用等腰三角形三線合一的性質(zhì) 5 證一線段等于另一線段的 2 倍或一半 利用加倍法或拆分法常常要作輔助線 8 添輔助線 由于證明的需要 可以在原來的圖上添畫一些線 即添加輔助線來完成一些 幾何證明 輔助線通常畫成虛線 三角形證明題中常見在輔助線做法 利用三角形的主要 線段構(gòu)造全等三角形 二 全等三角形 1 定義 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 一個三角形經(jīng)過平移 翻折 旋轉(zhuǎn) 可以得到它的全等形 2 全等三角形有哪些性質(zhì) 1 全等三角形的對應(yīng)邊相等 對應(yīng)角相等 2 全等三角形的周長相等 面積相等 3 全等三角形的對應(yīng)邊上的對應(yīng)中線 角平分線 高線分別相等 3 全等三角形的判定 邊邊邊 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 可簡寫成 SSS 邊角邊 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等兩個三角形全等 可簡寫成 SAS 角邊角 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 可簡寫成 ASA 角角邊 兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 可簡寫成 AAS 斜邊 直角邊 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 可簡寫成 HL 4 證明兩個三角形全等的基本思路 方法指引 證明兩個三角形全等的基本思路 證明兩個三角形全等的基本思路 1 已知兩邊 已知兩邊 找第三邊找第三邊 SSS 找夾角找夾角 SAS 2 已知一邊一角已知一邊一角 已知一邊和它的鄰角已知一邊和它的鄰角 找是否有直角找是否有直角 HL 已知一邊和它的對角已知一邊和它的對角 找這邊的另一個鄰角找這邊的另一個鄰角 ASA 找這個角的另一個邊找這個角的另一個邊 SAS 找這邊的對角找這邊的對角 AAS 找一角找一角 AAS 已知角是直角 找一邊已知角是直角 找一邊 HL 3 已知兩角已知兩角 找兩角的夾邊找兩角的夾邊 ASA 找夾邊外的任意邊找夾邊外的任意邊 AAS 練習(xí) 三 勾股定理 1 勾股定理的定義 直角三角形兩直角邊 a b 的平方和等于斜邊 c 的平方 即 222 cba 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a b c 有關(guān)系 222 cba 那么這個三角形是直角三角形 3 勾股數(shù) 滿足 222 cba 的三個正整數(shù) 稱為勾股數(shù) 9 幾何主要定義 1 角 角平分線的性質(zhì) 角平分線上的點到角的兩邊距離相等 角的內(nèi)部到兩邊距 離相等的點在角平分線上 2 相交線與平行線 同角或等角的補角相等 同角或等角的余角相等 對頂角的性質(zhì) 對頂角相等 垂線的性質(zhì) 過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 直線外一點有與直線上各點連結(jié)的所有線段中 垂線段最短 線段垂直平分線定義 過線段的中點并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直 平分線 線段垂直平分線的性質(zhì) 線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等 到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線 平行線的定義 在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線 平行線的判定 同位角相等 兩直線平行 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 同旁內(nèi)角互補 兩直線平行 平行線的特征 兩直線平行 同位角相等 兩直線平行 內(nèi)錯角相等 兩直線平行 同旁內(nèi)角互補 平行公理 經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線 3 三角形 三角形的三邊關(guān)系定理及推論 三角形的兩邊之和大于第三邊 兩邊之差小 于第三邊 三角形的內(nèi)角和定理 三角形的三個內(nèi)角的和等于 三角形的外角和定理 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和 三角形的外角和定理推理 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi) 角 10 角形的三條角平分線交于一點 內(nèi)心 三角形的三邊的垂直平分線交于一點 外心 三角形中位線定理 三角形兩邊中點的連線平行于第三邊 并且等于第三邊 的一半 全等三角形的判定 邊角邊公理 SAS 角邊角公理 ASA 角角邊定理 AAS 邊邊邊公理 SSS 斜邊 直角邊公理 HL 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的兩個底角相等 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合 三線合一 等腰三角形的判定 有兩個角相等的三角形是等腰三角形 直角三角形的性質(zhì) 直角三角形的兩個銳角互為余角 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 勾股定理 直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半 直角三角形的判定 有兩個角互余的三角形是直角三角形 如果三角形的三邊長 a b c 有下面關(guān)系 那么這個三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理 11 公式