尺規(guī)作圖數(shù)學(xué)史.doc

初中尺規(guī)作圖數(shù)學(xué)史尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題.只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖題.平面幾何作圖，限制只能用直尺、圓規(guī).在歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線的已知點(diǎn)上作一角與已知角相等.這件事的重要性并不在于這個(gè)角的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個(gè)問(wèn)題.在這以前，許多作圖題是不限工具的.伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約，最后總結(jié)在幾何原本之中.初等平面幾何研究的對(duì)象，僅限于直線、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)兩種.限用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖有如下三條： 經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)可以畫一條直線； 已知圓心和半徑可以作一圓； 兩已知直線；一已知直線和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條，叫做作圖公法.用直尺可以畫出第一條公法所說(shuō)的直線；用圓規(guī)可以作出第二條公法所說(shuō)的圓；用直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說(shuō)的交點(diǎn).一個(gè)作圖題，不管多么復(fù)雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過(guò)有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題；否則，就稱為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題.歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題是： 三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角； 倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍； 化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積.這三個(gè)問(wèn)題后被稱為“幾何作圖三大問(wèn)題”.直至1837年，萬(wàn)芝爾（Pierre Laurent Wantzel）首先證明三等分角問(wèn)題和立方倍積問(wèn)題屬尺規(guī)作圖不能問(wèn)題；1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（Ferdinand Lindemann）證明是一個(gè)超越數(shù)（即是一個(gè)不滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)），由此即可推得根號(hào)(即當(dāng)圓半徑時(shí)所求正方形的邊長(zhǎng)）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問(wèn)題是一個(gè)尺規(guī)作圖不能問(wèn)題.若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的，而當(dāng)中很多不可能證明是利用了由19世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論.盡管如此，仍有很多業(yè)余愛好者嘗試這些不可能的題目，當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意.數(shù)學(xué)家Underwood Dudley曾把一些宣告解決了這些不可能問(wèn)題的錯(cuò)誤作法結(jié)集成書.還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題： 正多邊形作法 只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形. 只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形. 只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的.只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的. 問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件：尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是2的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題. 四等分圓周只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周4等分這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖波拿巴出的，向全法國(guó)數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖1.只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形 2.生銹圓規(guī)作圖，已知兩點(diǎn)、，找出一點(diǎn)使得.3.已知兩點(diǎn)、，只用半徑固定的圓規(guī)，求作使是線段的中點(diǎn).4.尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡(jiǎn)單”這個(gè)思想出發(fā)的，能更簡(jiǎn)潔的表達(dá)嗎？順著這思路就有了更簡(jiǎn)潔的表達(dá).10世紀(jì)時(shí)，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖. 1672年，有人證明：如果把“作直線”解釋為“作出直線上的2點(diǎn)”，那么凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點(diǎn)作出新點(diǎn)的幾種情況：兩弧交點(diǎn)、直線與弧交點(diǎn)、兩直線交點(diǎn) ，在已有一個(gè)圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也能作出！.五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線段等于已知線段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線4.過(guò)一點(diǎn)做一已知線段的垂線5.做一線段的中垂線下面介紹幾種常見的尺規(guī)作圖方法： 軌跡交點(diǎn)法：解作圖題的一種常見方法.解作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置.如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置是由兩個(gè)條件確定的，先放棄其中一個(gè)條件，那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌跡；若改變放棄另一個(gè)條件，這個(gè)點(diǎn)就在另一條軌跡上，故此點(diǎn)便是兩個(gè)軌跡的交點(diǎn).這個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來(lái)解作圖題的方法稱為軌跡交點(diǎn)法，或稱交軌法、軌跡交截法、軌跡法.【例1】 電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如下圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)、的距離必須相等，到兩條高速公路、的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？【分析】 這是一道實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題意知道，點(diǎn)應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是在線段的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點(diǎn)應(yīng)是它們的交點(diǎn).【解析】 作兩條公路夾角的平分線或； 作線段的垂直平分線；則射線，與直線的交點(diǎn)，就是發(fā)射塔的位置. 代數(shù)作圖法：解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線段長(zhǎng)，而這線段長(zhǎng)的表達(dá)式能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟.用這種方法作圖稱為代數(shù)作圖法.【例2】 只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）.【分析】 設(shè)半徑為.可算出其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為，也就是說(shuō)用這個(gè)長(zhǎng)度去等分圓周.我們的任務(wù)就是做出這個(gè)長(zhǎng)度.六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)的長(zhǎng)度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為，一直角邊為的直角三角形，的長(zhǎng)度自然就出來(lái)了.【解析】 具體做法： 隨便畫一個(gè)圓.設(shè)半徑為1. 先六等分圓周.這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為. 以這個(gè)距離為半徑，分別以兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓心，同向作弧，交于一點(diǎn).（“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”形成的是一個(gè)底為2，腰為的等腰三角形.可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是.） 以的長(zhǎng)度等分圓周就可以啦！ 旋轉(zhuǎn)法作圖：有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度，以使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑.【例3】 已知：直線、，且.求作：正，使得、三點(diǎn)分別在直線、上.【分析】 假設(shè)是正三角形，且頂點(diǎn)、三點(diǎn)分別在直線、上.作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，置于的位置，此時(shí)點(diǎn)的位置可以確定.從而點(diǎn)也可以確定.再作，點(diǎn)又可以確定，故符合條件的正三角形可以作出.【解析】 作法： 在直線上取一點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)； 以為一邊作正三角形； 過(guò)作，交直線于； 以為圓心，為半徑作弧，交于(使與在異側(cè)). 連接、得.即為所求. 位似法作圖：利用位似變換作圖，要作出滿足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿足全部條件，從而作出滿足全部的條件.【例4】 已知：一銳角.求作:一正方形，使得、在邊上，在邊上，在邊上.【分析】 先放棄一個(gè)頂點(diǎn)在邊上的條件，作出與正方形位似的正方形，然后利用位似變換將正方形放大（或縮?。┑玫綕M足全部條件的正方形.【解析】 作法： 在邊上任取一點(diǎn)，過(guò)作于 以為一邊作正方形，且使在的延長(zhǎng)線上. 作直線交于. 過(guò)分別作交于；作交于. 過(guò)作交于.則四邊形即為所求. 面積割補(bǔ)法作圖：對(duì)于等積變形的作圖題，通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形