排列組合與二項式定理.doc

1.乘法原理和加法原理（1）乘法原理：如果完成一件事需要個步驟，第1步有種不同的方法，第2步有種不同的方法，第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（2）加法原理：如果完成一件事有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.【注意】應(yīng)用兩個計數(shù)原理的關(guān)鍵是分清“步”與“類”.完成一件事需要若干步，而每一步缺一不可，則符合乘法原理，需要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性；完成一件事有若干類方法，每類方法能獨立完成這件事，則符合加法原理，需要注意“類”與“類”之間的獨立性和等效性.2.排列組合（1）排列的概念：從個不同的元素中取出個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列；從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示.（2）排列數(shù)公式：，規(guī)定：.（3）組合的概念：從個不同的元素中取出個元素組成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合；從個不同的元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示.（4）組合數(shù)公式：（5）組合的兩個性質(zhì)：；【注意】解決排列組合問題常見的解題方法有：直接法，間接法，捆綁法，插空法，固定秩序法，元素優(yōu)先法，位置優(yōu)先法等。（1）直接法：根據(jù)加法原理及乘法原理，直接把一個復(fù)雜的事件分解成為簡單的排列組合問題，這種解題方法為直接法。（2）間接法：不管限定條件，全部的排列數(shù)或組合數(shù)，必含兩類情況，一類是符合題意限定條件的種數(shù)，另一類不符合題意限定條件的種類，用全部種類減去不符合題意限定條件的種類可得符合題意限定條件的種類，此種方法屬數(shù)學(xué)中常用的間接法。當(dāng)符合題意限定條件中的種類不易求，或情況多樣易出錯，而不符合題意條件的種類易求時，常采用此法。（3）捆綁法：關(guān)于某些元素必“相鄰”的問題，可把這些元素看作一個整體，當(dāng)成一個元素和其它元素進行排列，然后這些元素自身再進行排列，這種方法叫做捆綁法。（4）插空法：若題目限制某些元素必“不相鄰”，可將無此限制的元素進行排列，然后在它們的空格處，插入不能相鄰元素，這種方法叫插空法。二項式定理 （1）二項式定理： 【注意】項數(shù)：展開式中總共有項.順序：注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的.指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項減到，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）.1（2）通項：（3）二項式系數(shù)的性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，二項式系數(shù)和：令,則二項式系數(shù)的和為， 變形式奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來【二項式定理主要應(yīng)用】求展開式中的特定項或特定項的系數(shù)；求二項式系數(shù)和或各項的系數(shù)和，主要運用“賦值法”；整除性的證明、求余數(shù)，主要運用“配湊法”、“消去法”；近似值的計算；不等式的證明.(4)常用的結(jié)論：令 令 二、同步題型分析例1. 9名身高各不相同的人排隊，按下列要求，各有多少種不同的排法？（1）排成一排（2）排成前排4人，后排5人的兩排（3）排成一排，其中A，B兩人不相鄰（4）排成一排，其中C，D兩人相鄰（5）排成一排，其中E不在排首，F(xiàn)不在排尾（6）排成一排，其中A必須站在B的右側(cè)（不一定相鄰）（7）排成一排，身高最高的人站中間且向兩邊遞減（8）排成一排，其中H，I之間必須間隔2人【答案】（1）直接法；（2）；（3）插空法；（4）捆綁法；（5）分類，特殊位置法；（6）對稱法；（7）直接法；（8）捆綁法例2. 有四位男學(xué)生，三位女學(xué)生排隊照相，根據(jù)下列要求，各有多少種不同的排列結(jié)果（1）七個人排成一列，四個男學(xué)生必須連接在一起 （2）七個人排成一列，其中甲乙兩人之間必須間隔2人 （3）七個人排成一列，三個女生不全相鄰 【答案】（1）捆綁法576；（2）捆綁法960；（3）間接法4320例3. 某校高一年級有6個班級，現(xiàn)要從中選出10人組成高一女子籃球隊參加高中籃球比賽，且規(guī)定每班至少要選1人參加，這10個名額有多少種不同的分配方法？【答案】隔板法，相當(dāng)于9個空隔了5塊板，=126種4、 (1)將4封信投寄到3個郵箱中，有多少種不同的投寄方法？(2)將4封信投寄到3個郵箱中，每個郵箱至少一封信，有多少種不同的投寄方法？(3)將4封信投寄到3個郵箱中，恰好有一個郵箱沒有投遞，有多少種不同的投寄方法？【參考答案】(1)81 (2)36(3)42 /5、書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書，從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？【參考答案】解：從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9種所以，從書架上任取1本書，有9種不同的取法；6、 (1),求.(2) .(3) .【參考答案】(1) 或 或 或 經(jīng)檢驗 (2)原式=(3) 原式= 7、書架上有9本不同的書，若把另外3本不同的書插進去，且要求不插在兩頭，有 種不同的插法.【參考答案】720 8、九張卡片分別寫著數(shù)字0,1，2，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？【參考答案】可以分為兩類情況： 若取出6，則有種方法；若不取6，則有種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有+602種方法9、從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有 種.【參考答案】由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；第二步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成第二類辦法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法.經(jīng)典例題：例1四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同取法共有（ ）A150種B. 147種C. 144種D. 141種【答案】取出的四個點不共面的情況要比取出的四個點共面的情況復(fù)雜，可采用間接法，先不加限制任取四點，再減去四面共點的取法在10個點中任取4點，有種取法，取出的4點共面有三類第一類：共四面體的某一個面，有4種取法；第二類：過四面體的一條棱上的三點及對棱的中點，如圖中的平面，有6種取法；第三類：過四面體的四條棱的中點，面與另外兩條棱平行，如圖中的平面，共有3個故取4個不共面的點的不同取法共有(463)141，因此選D例2. 一天要排語文、數(shù)學(xué)、英語、生物、體育、班會六節(jié)課（上午四節(jié)，下午二節(jié)），要求上午第一節(jié)不排體育，數(shù)學(xué)課排在上午，班會課排在下午，問共有多少種不同的排課方法？【答案】方法一：從數(shù)學(xué)課入手（第一類）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，班會課排在下午，其余四科任排，得,（第二類）數(shù)學(xué)排在上午另三節(jié)中的一節(jié)，班會排在下午，體育排在余下（不會第一節(jié)）三節(jié)中的一節(jié)，其余三科任排，得共有排法（種）方法二：從體育課入手（第一類）體育課在上午 （第二類）體育課在下午 共有排法（種）例3用09這十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)（1）共有幾個三位數(shù)?（2）末位數(shù)字是4的三位數(shù)有多少？（3）求所有三位數(shù)的和;（4）四位偶數(shù)有多少？（5）比5231大的四位數(shù)有多少？【答案】（1）百位不能為 “0”,因此共有個;（2）末位為4,百位不能為 “0”,因此共有=64個（3）考慮各數(shù)位上的數(shù)字之和,可得所有三位數(shù)的和為:（4）分末位數(shù)字是否為0兩種情況考慮。種；（5）千位上為9,8,7,6的四位數(shù)各有個;千位上是5,百位上為3,4,6,7,8,9的四位數(shù)各有個; 千位上是5,百位上為2,十位上為4,6,7,8,9的四位數(shù)各有個; 千位上是5,百位上為2,十位上為3且滿足要求的共有5個,因此共有2392種綜合題型1：會根據(jù)兩個原理解決有關(guān)分配決策的問題（要正確區(qū)分分類和分步）：15位高中畢業(yè)生，準備報考3所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法共有（ ）15種； 8種 種 種【答案】D2四名醫(yī)生分配到三所醫(yī)院工作，每所醫(yī)院至少一名，則不同的分配方案有_種【答案】363有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法共有（ ）1260種； 2025種； 2520種； 5040種【答案】綜合題型2：會用捆綁法、插空法處理元素相鄰或不相鄰問題1. 不同的五種商品在貨架上排成一排，其中甲、乙兩種必須排在一起，丙、丁兩種不能排在一起，則不同的排法種數(shù)共有（ ）12種； 20種； 24種； 48種【答案】2. 5人站成一排，其中不在左端也不和相鄰的排法種數(shù)為（ ）48； 54； 60； 66【答案】3. 用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 個.（用數(shù)字作答）【答案】1152.綜合題型3：會求某些元素按指定順序排列的問題1. 七個人排成一行，則甲在乙左邊（不一定相鄰）的不同排法數(shù)有_種【答案】25202. 某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后進行，又工程丁必須在丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同的排法種數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】203. 今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有_種不同的方法（用數(shù)字作答）【答案】1260綜合題型4：會解與平均分組和非平均分組有關(guān)的問題1. 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（ ）140種； 84種； 70種； 35種【答案】2. 將9個人（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數(shù)為（ ）70； 140； 280； 840【答案】綜合題型5：會解其它有限制條件的排列組合問題（要注意使用最常用、最本原的方法：枚舉法）1. 在1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（ ）36個；24個； 18個； 6個【答案】2. 電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.【答案】483. 以正方體的頂點為頂點，能作出的三棱錐的個數(shù)是（ ）； -6 【答案】4. 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（ ）6種； 9種； 11種 23種【答案】5. 設(shè)有編號為1、2、3、4、5的五個球和編號為1、2、3、4、5的五個盒子，現(xiàn)將這五個球投入這五個盒內(nèi)，要求每個盒內(nèi)投放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，則這樣投放的方法總數(shù)為（ ）20； 30； 60； 120【答案】一模題：1、兩個三口之家，共4個大人，2個小孩，約定星期日乘紅色、白色兩輛轎車結(jié)伴郊游，每輛車最多乘坐4人，其中兩個小孩不能獨坐一輛車，則不同的乘車方法種數(shù)是 【答案】482、某校要求每位學(xué)生從8門課程中選修5門，其中甲、乙兩門課程至多只能選修一門，則不同的選課方案有 種；（以數(shù)字作答）【答案】 3、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必須在理科學(xué)科：物理、化學(xué)、生物，文科學(xué)科：政治、歷史、地理這6門學(xué)科中選擇3門學(xué)科參加等級考試.小王同學(xué)對理科學(xué)科比較感興趣，決定至少選擇兩門理科學(xué)科，那么小王同學(xué)的選科方案有_種. 【答案】104、 已知數(shù)據(jù)、的方差為16，則數(shù)據(jù)、的標準差為 ；【答案】 8 5、鍋中煮有肉餡，三鮮餡，菌菇餡的水餃各5個，這三種水餃的外形完全相同，從中任意舀取4個水餃，則每種水餃都至少取到1個的概率為 ；【答案】6、將兩顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)是，記第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)是，向量，向量，則向量的概率是 .【答案】7、在的二項展開式中，若奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，則二項式系數(shù)的最大值為 （結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】8、已知，若，則_【答案】9、在產(chǎn)品檢驗時，常采用抽樣檢查的方法.現(xiàn)在從100件產(chǎn)品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件檢查，恰好有2件是不合格品的抽法有 種. (用數(shù)值作答)【答案】13968 10、如圖，已知正方體，若在其12條棱中隨機地取3