指數(shù)函數(shù)習題精選精講.doc

指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學中的一個基本初等函數(shù)，有關指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的題目類型較多，同時也是學習后續(xù)數(shù)學內容的基礎和高考考查的重點，本文對此部分題目類型作了初步總結，與大家共同探討1比較大小例1已知函數(shù)滿足，且，則與的大小關系是_分析：先求的值再比較大小，要注意的取值是否在同一單調區(qū)間內解：，函數(shù)的對稱軸是故，又，函數(shù)在上遞減，在上遞增若，則，；若，則，綜上可得，即評注：比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調性或中間量等對于含有參數(shù)的大小比較問題，有時需要對參數(shù)進行討論2求解有關指數(shù)不等式例2已知，則x的取值范圍是_分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解，注意底數(shù)的取值范圍解：，函數(shù)在上是增函數(shù)，解得x的取值范圍是評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論3求定義域及值域問題例3求函數(shù)的定義域和值域解：由題意可得，即，故 函數(shù)的定義域是令，則，又， ，即，即函數(shù)的值域是評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求值域時，要注意定義域對它的影響4最值問題例4函數(shù)在區(qū)間上有最大值14，則a的值是_分析：令可將問題轉化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后的取值范圍解：令，則，函數(shù)可化為，其對稱軸為當時，即當時，解得或（舍去）；當時，即， 時，解得或（舍去），a的值是3或評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求最值時注意一些方法的運用，比如：換元法，整體代入等5解指數(shù)方程例5解方程解：原方程可化為，令，上述方程可化為，解得或（舍去），經檢驗原方程的解是評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉化成二次方程求解，要注意驗根6圖象變換及應用問題例6為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（）A向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度B向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度C向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度D向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度分析：注意先將函數(shù)轉化為，再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷解：，把函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選（C）評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學數(shù)學的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等習題1、比較下列各組數(shù)的大小：（1）若 ，比較 與 ；（2）若 ，比較 與 ；（3）若 ，比較 與 ；（4）若 ，且 ，比較a與b；（5）若 ，且 ，比較a與b分析：設 均為正數(shù)，則 ，即比較兩個正數(shù)的大小，可比較它們的商與1的大小掌握指數(shù)函數(shù)的圖象規(guī)律，還要掌握底的變化對圖象形狀的影響這主要有兩方面：其一是對 ；對 用語言敘述即在y軸右側，底越大其圖象越遠離x軸；在y軸左側，底越大，其圖象越接近x軸這部分內容即本題（2），（3）所說的內容其二是當?shù)拙笥?時，底越大，其圖象越接近y軸；當?shù)拙∮?時，底越小，其圖象越接近y軸一個便于記憶的方法是：若以離1遠者為底，則其圖象接近y軸當然這是指底數(shù)均大于1或均小于1這部分內容即本題（4）與（5）解：（1）由 ，故 ，此時函數(shù) 為減函數(shù)由 ，故 （2）由 ，故 又 ，故 從而 （3）由 ，因 ，故 又 ，故 從而 （4）應有 因若 ，則 又 ，故 ，這樣 又因 ，故 從而 ，這與已知 矛盾（5）應有 因若 ，則 又 ，故 ，這樣有 又因 ，且 ，故 從而 ，這與已知 矛盾小結：比較通常借助相應函數(shù)的單調性、奇偶性、圖象來求解2、(1)指數(shù)函數(shù) 滿足不等式 ,則它們的圖象是 ( ). 分析:此題應首先根據(jù)底數(shù)的范圍判斷圖象的升降性,再根據(jù)兩個底數(shù)的大小比較判斷對應的曲線.解:由 可知應為兩條遞減的曲線,故只可能是 或 ,進而再判斷與 和 的對應關系,此時判斷的方法很多,不妨選特殊點法,令 ,對應的函數(shù)值分別為 和 ,由 可知應選 . (2)曲線 分別是指數(shù)函數(shù) , 和 的圖象,則 與1的大小關系是 ( ). ( 分析:首先可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調性,確定 ,在 軸右側令 ,對應的函數(shù)值由小到大依次為 ,故應選 .小結:這種類型題目是比較典型的數(shù)形結合的題目,第(1)題是由數(shù)到形的轉化,第(2)題則是由圖到數(shù)的翻譯,它的主要目的是提高學生識圖,用圖的意識.求最值3 求下列函數(shù)的定義域與值域.(1)y2; (2)y4x+2x+1+1.解：(1)x-30，y2的定義域為xxR且x3.又0，21，y2的值域為yy0且y1.(2)y4x+2x+1+1的定義域為R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1的值域為yy1.4 已知-1x2,求函數(shù)f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：設t=3x,因為-1x2，所以，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故當t=3即x=1時，f(x)取最大值12，當t=9即x=2時f(x)取最小值-24。5、設 ，求函數(shù) 的最大值和最小值分析：注意到 ，設 ，則原來的函數(shù)成為 ，利用閉區(qū)間上二次函數(shù)的值域的求法，可求得函數(shù)的最值解：設 ，由 知， ，函數(shù)成為 ， ，對稱軸 ，故函數(shù)最小值為 ，因端點 較 距對稱軸 遠，故函數(shù)的最大值為 6（9分）已知函數(shù)在區(qū)間1,1上的最大值是14，求a的值.解： ， 換元為，對稱軸為.當，即x=1時取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去)7已知函數(shù) （ 且 ）（1）求 的最小值； （2）若 ，求 的取值范圍解：（1） ， 當 即 時， 有最小值為 （2） ，解得 當 時， ；當 時， 8（10分）（1）已知是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值； （2）畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3k無解？有一解？有兩解？解： （1）常數(shù)m=1（2）當k0時，直線y=k與函數(shù)的圖象無交點,即方程無解;當k=0或k1時, 直線y=k與函數(shù)的圖象有唯一的交點，所以方程有一解; 當0k0且a1).(1)求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調性.解：(1)易得f(x)的定義域為xxR.設y,解得ax-ax0當且僅當-0時，方程有解.解-0得-1y1時，ax+1為增函數(shù)，且ax+10.為減函數(shù)，從而f(x)1-為增函數(shù).2當0a1時，類似地可得f(x)為減函數(shù).15、已知函數(shù)f（x）=a（aR），（1） 求證：對任何aR，f（x）為增函數(shù)（2） 若f（x）為奇函數(shù)時，求a的值。（1）證明：設x1x2f（x2）f（x1）=0故對任何aR，f（x）為增函數(shù)（2），又f（x）為奇函數(shù) 得到。即16、定義在R上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時，（1）求在1，1上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調性；（3）當為何值時，方程=在上有實數(shù)解.解（1）xR上的奇函數(shù) 又2為最小正周期 設x（1，0），則x（0，1），（2）設0x1x21)的圖像是( )分析 本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖像和性質、函數(shù)奇偶性的函數(shù)圖像，以及數(shù)形結合思想和分類討論思想.解法1：(分類討論)：去絕對值，可得y又a1，由指數(shù)函數(shù)圖像易知，應選B.解法2：因為yax是偶函數(shù)，又a1，所以當x0時，yax是增函數(shù)；x0時，ya-x是減函數(shù).應選B.學習指數(shù)函數(shù)定義的兩個注意點指數(shù)函數(shù)施我們學習的基本函數(shù)之一，對于指數(shù)函數(shù)的學習，概念非常重要，因此一定要弄懂指數(shù)函數(shù)的定義。指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R。注意點1：為什么要規(guī)定呢？若，則當時，；當當時，無意義. 若，則對于的某些數(shù)值，可使無意義. 如，這時對于，等等，在實數(shù)范圍內函數(shù)值不存在.若，則對于任何，是一個常量，沒有研究的必要性. 為了避免上述各種情況，所以規(guī)定。在規(guī)定以后，對于任何，都有意義，且. 因此指數(shù)函數(shù)的定義域是，值域是 。注意點2：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)嗎？指數(shù)函數(shù)的解析式中，的系數(shù)是1.有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如 (，)；有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如 ()，因為它可以化為，其中，且。以上兩點在學習中經常會碰到，希望大家在學習中能引起注意，真正理解指數(shù)函數(shù)的定義。是的，又到春分時分，今日已是晝夜平分春色，這也意味著，我們的春天，轉眼已經走到一半。不禁，有了些許淡淡的悵然。這歲序更迭啊，從來不會給任何人眷戀的機會。我們甚至來不及感嘆，便匆匆走向下一個節(jié)氣。不經意間，我們走著走著，便把春天走成了姹紫嫣紅，草長鶯飛。此時正是，春風又綠江南岸，萬紫千紅總是春。是春風花草香，又把新桃換舊符。那些走過的時光，隨手握一把，滿是春天新鮮的味道，沁滿春日陽光的暖。這春風啊，總是來的那么急，那么聲勢浩蕩，帶著泥土松軟的芳香，帶著小河流水的嘩嘩聲，還有桃花杏花梨花的艷。我們無需刻意尋芳，自有滿眼的春色，驚艷了原本平淡的生活。這就是春天，無論走著，還是睡著。一抬頭，就會遇見一樹花開。一低眉，便會遇見一行青柳。那些匆匆擦肩的路人，已是換了薄薄的春衫，令你眼前一亮，心情也隨之明媚起來。沿河緩緩行走，總會有姹紫嫣紅的花事，與你撞個滿懷。那小桃紅，玉蘭粉，梨花白，連翹黃，還有那些婀娜的柳絲，瞬間讓時光變得柔軟，而詩意！最喜歡，吹面不寒楊柳風，斜風細雨不須歸。漫步柳堤，踏著柔軟的土地，看風吹葉綠，看花開滿枝，心兒也隨風怒放。這輕輕楊柳風，這悠悠桃花水，如詩，如畫，是否也會醉了你的眼？經年的淡定，昔日的重逢，漫過春天靜好的光陰，讓滄桑了無痕。走在繁花似錦的陌上，清風徐徐，鶯聲燕語，該是多么愜意。心底，全是對這個世界的感動與喜歡。隨手落下的小字，亦是沾香帶露，綠意瑩瑩。是春分，平分了春天，讓世