2020新課標(biāo)高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：基本不等式含解析.docx

教學(xué)資料范本2020新課標(biāo)高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：基本不等式含解析編 輯：_時(shí) 間：_第5節(jié)基本不等式最新考綱核心素養(yǎng)考情聚焦1.掌握基本不等式(a、b0)2.結(jié)合具體實(shí)例、能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大值或最小值問題1.利用基本不等式求最值、達(dá)成邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)2.均值不等式的實(shí)際應(yīng)用、發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)3.基本不等式的綜合應(yīng)用、提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)利用基本不等式求函數(shù)的最值、不等式的變形、構(gòu)造基本不等式的形式、不等式的證明及利用不等式解決實(shí)際問題等是高考的熱點(diǎn)、各種題型均有可能出現(xiàn)、難度中等、屬于低中檔題1基本不等式：.(1)基本不等式成立的條件：a0、b0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(3)其中稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)、稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)2利用基本不等式求最值已知x0、y0、則(1)如果積xy是定值p、那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)、xy有最小值是2(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和xy是定值s、那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)、xy有最大值是(簡(jiǎn)記：和定積最大)幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a、bR)、當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(2)ab2(a、bR)、當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(3)2(a、bR)、當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)(4)2(a、b同號(hào))、當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)思考辨析判斷下列說法是否正確、正確的在它后面的括號(hào)里打“”、錯(cuò)誤的打“”(1)函數(shù)yx的最小值是2.( )(2)ab2成立的條件是ab0.( )(3)x0且y0是2的充要條件( )(4)若a0、則a3的最小值是2.( )(5)(ab)24ab(a、bR)( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)小題查驗(yàn)1設(shè)ab0、下列不等式不正確的是( )AabBab D. 解析：C由a2b22ab、ab2及ab0知、ab、ab2、選項(xiàng)A、B正確.2)在xa處取最小值、則a等于( )A1 B1C3 D4解析：C當(dāng)x2時(shí)、x20、f(x)(x2)2224、當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)、即x3時(shí)取等號(hào)、即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)、即a3、選C.3在下列函數(shù)中、最小值是2的函數(shù)是( )AyxBycos xCyDyex2解析：D選項(xiàng)A中、x0時(shí)、y2、x0、y0、且2xy1、則的最小值是_解析：因?yàn)?2xy)()442 8、當(dāng)且僅當(dāng)y、x時(shí)成立答案：8考點(diǎn)一利用基本不等式求最值(多維探究)命題點(diǎn)1通過配湊法利用基本不等式典例(1)已知0x1)的最小值為_解析y(x1)222.當(dāng)且僅當(dāng)x1、即x1時(shí)、等號(hào)成立答案22命題點(diǎn)2通過常數(shù)代換法利用基本不等式典例若a0、b0、lg alg blg(ab)、則ab的最小值為()A8B6C4D2數(shù)學(xué)運(yùn)算基本不等式應(yīng)用中的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上、依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等應(yīng)用基本不等式求最值就極大地提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)信息提取信息解讀數(shù)學(xué)運(yùn)算已知條件a0、b0、lgalgblg(ab)由lg alg blg(ab)、得lg(ab)lg(ab)、即abab、則有1著眼點(diǎn)一(對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì))：由lgalgblg(ab)、得lg(ab)lg(ab) 、即abab.著眼點(diǎn)二(等式的恒等變形)：再由abab、得1. 著眼點(diǎn)三(“1”代換)：ab(ab)2.著眼點(diǎn)四(基本不等式的應(yīng)用)：2224、當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立求則ab的最小值利用常數(shù)“1”代換的方法、將ab的變形為ab(ab)2、在利用基本不等式求其最小值解析C由lg alg blg(ab)、得lg(ab)lg(ab)、即abab、則有1、所以ab(ab)2224、當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)等號(hào)成立、所以ab的最小值為4、故選C.求函數(shù)定義域的三種?？碱愋图扒蠼獠呗?1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”(2)在利用基本不等式求最值時(shí)、要根據(jù)式子的特征靈活變形、配湊出積、和為常數(shù)的形式、然后再利用基本不等式(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法；二是將條件靈活變形、利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子、然后利用基本不等式求最值跟蹤訓(xùn)練1(20xx市質(zhì)檢)若正實(shí)數(shù)x、y滿足4xyxy、則x4y取最小值時(shí)、y的值為( )A1B2C3D5解析：D(1)x0、y0且4xyxy、1、x4y(x4y)1725、當(dāng)且僅當(dāng)xy5時(shí)取等號(hào)、故選D.2函數(shù)yloga(x3)1(a0、且a1)的圖象恒過定點(diǎn)A、若點(diǎn)A在mxny20上、其中mn0、則的最小值為_解析：當(dāng)x2時(shí)、yloga(23)11、即定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2、1)、于是有2mn20、即m1、2、當(dāng)且僅當(dāng)、即nm2(1)時(shí)取等號(hào)、因此的最小值是.答案：考點(diǎn)二均值不等式的實(shí)際應(yīng)用(師生共研)典例某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品、每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元、若每批生產(chǎn)x件、則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天、且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元。為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小、每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( )A60件B80件C100件 D120件解析B若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品、則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元、倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用是元、總的費(fèi)用是2 20、當(dāng)且僅當(dāng)、即x80時(shí)取等號(hào)故選B.在利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)、一定要注意所涉及變量的取值范圍、即定義域若使基本不等式等號(hào)成立的變量值不在定義域內(nèi)時(shí)、則要研究函數(shù)的單調(diào)性、利用單調(diào)性求最值跟蹤訓(xùn)練某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)、據(jù)市場(chǎng)分析、每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)、則該公司年平均利潤(rùn)的最大值是_萬元解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為18、而x0、故1828、當(dāng)且僅當(dāng)x5時(shí)等號(hào)成立、此時(shí)年平均利潤(rùn)最大、最大值為8萬元答案：8考點(diǎn)三基本不等式的綜合應(yīng)用(師生共研)典例(1)若a0、b0、ab2、則下列不等式：a2b22；2；ab1；.恒成立的是( )ABC D(2)已知函數(shù)f(x)(aR)、若對(duì)于任意xN*、f(x)3恒成立、則a的取值范圍是_解析(1)因?yàn)閍0、b0、ab2、所以由 1 得a2b22; 2；ab1；即均正確；不妨令ab1、則2、故錯(cuò)誤；綜上所述、恒成立的是.故選B.(2)對(duì)任意xN*、f(x)3恒成立、即3恒成立、即知a3.設(shè)g(x)x、xN*、則g(2)6、g(3).g(2)g(3)、g(x)min.3、a、故a的取值范圍是.答案(1)B(2) 綜合應(yīng)用基本不等式的重點(diǎn)題型與求解策略題型求解策略判斷或證明不等式或比較大小對(duì)所給不等式(或式子)變形、然后利用基本不等式求解求參數(shù)的值或范圍觀察題目特點(diǎn)、利用基本不等式確定相關(guān)成立條件、從而得參數(shù)的值或范圍與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等其他知識(shí)結(jié)合的問題利用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化、再利用基本不等式求解跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值、則a等于( )A1B1C3D4解析：C當(dāng)x2時(shí)、x20、f(x)(x2)2224、當(dāng)且僅當(dāng)x2(x2)、即x3時(shí)取等號(hào)、即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)、即a3、選C.2若對(duì)于任意的x0、不等式a恒成立、則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )Aa Ba Ca Da解析：A由x0、得、當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)、等號(hào)成立則a、故選A.1下列命題正確的是( )A若xk、kZ、則sin2x4B若a0、b0、則lg alg b2D若a0、b0、則2解析：D當(dāng)sin2x1時(shí)、1124、所以A錯(cuò)；若a0、則a4、B錯(cuò)；因?yàn)閘g a、lg b可以小于零、C錯(cuò)；由a0、b0、所以、都大于零、D正確2已知0x1、則x(33x)取得最大值時(shí)x的值為()A.B.C.D.解析：B0x0.x(33x)3x(1x)32.當(dāng)x1x、即x時(shí)取等號(hào)3已知正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)是2、且mb、na、則mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析：C由已知正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)是2、可得ab4、又mb、na、mn(ab)25、當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取“”、故mn的最小值為5、故選C.4(20xx長(zhǎng)春質(zhì)檢)設(shè)正實(shí)數(shù)a、b滿足ab1、則()A.有最大值4 B.有最小值C.有最大值 Da2b2有最小值解析：C由于a0、b0、由基本不等式得1ab2、當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)、等號(hào)成立、ab、4、因此的最小值為4、a2b2(ab)22ab12ab1、()2ab212112、所以有最大值、故選C.5(20xx宿州一模)若圓C：x2y24x2y10關(guān)于直線l：axby20(a0、b0)對(duì)稱、則的最小值為( )A1 B5 C4 D4解析：D圓C：(x2)2(y1)24的圓心為(2,1)、圓C關(guān)于直線l：axby2對(duì)稱、圓心在l上、2ab2、a1.又a0、b0、11224、的最小值為4.6當(dāng)x1時(shí)、不等式xa恒成立、則實(shí)數(shù)a的最大值為_解析：因?yàn)閤1、所以x10.又xx11213、當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)等號(hào)成立、所以a的最大值為3.答案：37設(shè)(1、2)、(a、1)、(b,0)、a0、b0、O為坐標(biāo)原點(diǎn)、若A、B、C三點(diǎn)共線、則的最小值是_解析：(a1,1)、(b1,2)、A、B、C三點(diǎn)共線、與共線、2(a1)b10、即2ab1.a0、b0、(2ab)4448、當(dāng)且僅當(dāng)、即b2a時(shí)等號(hào)成立答案：88(20xx江蘇卷)某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸、每次購(gòu)買x噸、運(yùn)費(fèi)為6萬元/次、一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元、要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小、則x的值是_解析：總費(fèi)用4x6442240、當(dāng)且僅當(dāng)x、即x30時(shí)等號(hào)成立答案：309已知a0、b0、c0、求證：abc.證明：a0、b0、c0、22c、22b、22a.以上三式相加得：22(abc)、即abc.1