絕對值不等式講義.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除解絕對值不等式1、解不等式思路利用f(x)0) -af(x)2；(2)|26|3思路利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)x2-3x-4；（2）1變形二 含兩個(gè)絕對值的不等式4、解不等式（1）|1|5.思路（1）題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對值符號。（2）題可采用零點(diǎn)分段法去絕對值求解。5、 解關(guān)于的不等式(0且1)6不等式|x+3|-|2x-1|+1的解集為 。7求不等式的解集.變形三 解含參絕對值不等式8、解關(guān)于x的不等式 思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個(gè)根號的無理根式不等式來解，運(yùn)算理較大。若化簡成，則解題過程更簡單。在解題過程中需根據(jù)絕對值定義對的正負(fù)進(jìn)行討論。2）形如|()型不等式此類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即： 當(dāng)0時(shí)，|或； 當(dāng)=0時(shí)，|0 當(dāng)0時(shí)，|有意義。9解關(guān)于的不等式：10關(guān)于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。變形4 含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問題11、若不等式|4|+|3|恒成立，求的取值范圍。13對任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+1|+|x-2|a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。.變題：1）、若不等式|x-4|+|x-3|a對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2）、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范圍14、設(shè)0a,若滿足不等式的 一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。第5變 絕對值三角不等式問題15、已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：；，則當(dāng)時(shí)，求證：。16、已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|a-b|。17、（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集為空集，求a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。（4）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。18、已知f(x)的定義域?yàn)?,1，且f(0)=f(1)，如果對于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)| 19、 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.解絕對值不等式題根4解不等式思路利用f(x)0) -af(x)2；(2)|26|3思路利用f(x)g(x) -g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)2或+1或無解，所以原不等式的解集是|(2)原不等式等價(jià)于3263即26所以原不等式的解集是|26收獲形如|型不等式這類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即：|或x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法來解.原不等式等價(jià)于：x-x2-2x2-3x-4或x-x2-2-(x2-3x-4)解得：1-x-3故原不等式解集為xx-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+0所以x-x2-2中的絕對值符號可直接去掉.故原不等式等價(jià)于x2-x+2x2-3x-4解得：x-3 原不等式解集為x-3（2）分析 不等式可轉(zhuǎn)化為-11求解，但過程較繁，由于不等式1兩邊均為正，所以可平方后求解.原不等式等價(jià)于19x2(x2-4)2 (x2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解絕對值不等式時(shí)，若f(x)中的f(x)的值的范圍可確定(包括恒正或恒非負(fù)，恒負(fù)或恒非正)，就可直接去掉絕對值符號，從而簡化解題過程.第2變 含兩個(gè)絕對值的不等式變題2解不等式（1）|1|5.思路（1）題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對值符號。（2）題可采用零點(diǎn)分段法去絕對值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平方后有：|1|+|即有2+11當(dāng)2+20即1時(shí)，不等式的解為(1)；當(dāng)2+2=0即=1時(shí)，不等式無解；當(dāng)2+20即1時(shí)，不等式的解為5.解：當(dāng)x-3時(shí)，原不等式化為(2-x)-(x+3)5-2x6x-3.當(dāng)-3x555無解.當(dāng)x2時(shí)，原不等式為(x-2)+(x+3)52x4x2.綜合得：原不等式解集為xx2或x-3.收獲1）形如|型不等式此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：|0且1)解析：易知11，換成常用對數(shù)得：于是11011(1)00解得012不等式|x+3|-|2x-1|2 當(dāng)-3x時(shí)4x+22故填。3求不等式的解集.解：因?yàn)閷?shù)必須有意義，即解不等式組，解得又原不等式可化為 (1)當(dāng)時(shí)，不等式化為即 綜合前提得：。(2)當(dāng)1x2時(shí)，即. 。(1) 當(dāng)時(shí)，(2) ，結(jié)合前提得：。綜合得原不等式的解集為第3變 解含參絕對值不等式變題3解關(guān)于x的不等式 思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個(gè)根號的無理根式不等式來解，運(yùn)算理較大。若化簡成，則解題過程更簡單。在解題過程中需根據(jù)絕對值定義對的正負(fù)進(jìn)行討論。解題原不等式等價(jià)于 當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)即時(shí)， x-6當(dāng)即時(shí)， xR收獲1）一題有多解，方法的選擇更重要。2）形如|()型不等式此類不等式的簡捷解法是等價(jià)命題法，即： 當(dāng)0時(shí)，|或； 當(dāng)=0時(shí)，|0 當(dāng)0時(shí)，|有意義。1解關(guān)于的不等式：分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對值時(shí)必須對末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)。2關(guān)于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。按絕對值定義直接去掉絕對值符號后，由于值的不確定，要以的不同取值分類處理。解：原不等式可化為46當(dāng)0時(shí)，進(jìn)一步化為，依題意有，此時(shí)無解。當(dāng)=0時(shí)，顯然不滿足題意。當(dāng)0時(shí)，依題意有綜上，=2。第4變 含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問題變題4若不等式|4|+|3|0時(shí)，先求不等式|4|+|3|有解時(shí)的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當(dāng)4時(shí)，原不等式化為4+3，即271 當(dāng)34時(shí)，原不等式化為4+31 當(dāng)3時(shí)，原不等式化為4+3即721綜合可知，當(dāng)1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)01時(shí)，|4|+|3|4|+|3|4+3|=1當(dāng)1時(shí)，|4|+|3|恒成立，求的取值范圍。思維點(diǎn)撥：要使|+1|2|對任意實(shí)數(shù)恒成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離，|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到2的距離，|+1|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點(diǎn)分段的方法改寫成分段函數(shù)，通過畫出圖象，觀察的取值范圍。解法一 根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)，1,2在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B，則原不等式即求|PA|PB|成立|AB|=3，即|+1|2|3故當(dāng)恒成立，從圖象中可以看出，只要3即可。故a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：經(jīng)過分析轉(zhuǎn)化，實(shí)質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應(yīng)比最小值小。解： 由絕對值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0, 即時(shí)取等號。故a0,不等式|x-4|+|x-3|a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析（一）|x-4|+|x-3|x-4(x-3)|=1 當(dāng)|x-4|+|x-3|1（二）如圖，實(shí)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1數(shù)按題意只須a1 A B P 0 3 4 x（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其圖象由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x（四）考慮|z-4|+|z-3|1時(shí)，表示復(fù)平面上以3、4為焦點(diǎn)，長軸長為a的橢圓內(nèi)部，當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，a1原不等式有解a1即為所求（五） 可利用零點(diǎn)分段法討論.將數(shù)軸可分為(-，3)，3，4，(4，+)三個(gè)區(qū)間.當(dāng)x3時(shí)，得(4-x)+(3-x).有解條件為1當(dāng)3x4時(shí)得(4-x)+(x-3)1當(dāng)x4時(shí)，得(x-4)+(x-3)ax4 即a1以上三種情況中任一個(gè)均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為a1.變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|a對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范圍評注：1、此題運(yùn)用了絕對值的定義，絕對值不等式的性質(zhì)，以及絕對值的幾何意義等多種方法。4、構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的方法，是行之有效的常用方法設(shè)0a,若滿足不等式的 一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。簡析略解：此例看不出明顯的恒成立問題，我們可以設(shè)法轉(zhuǎn)化: 設(shè)集合A， B= 由題設(shè)知AB，則： () 于是得不等式組： 又 ，最小值為； 最小值為； , 即 ：b的取值范圍是第5變 絕對值三角不等式問題變題5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：；，則當(dāng)時(shí)，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)，的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來表示,。因?yàn)橛梢阎獥l件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得收獲1） 二次函數(shù)的一般式中有三個(gè)參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個(gè)獨(dú)立條件“確定”這三個(gè)參數(shù). 2）本題變形技巧性強(qiáng)，同時(shí)運(yùn)用公式，及已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯?。要求同學(xué)們做題時(shí)要有敏銳的數(shù)學(xué)觀察能力。請你試試451已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|a-b|。分析：要證，考察左邊，是否能產(chǎn)生|a-b|。證明：|f(a)-f(b)|= （其中，同理）回顧：1、證題時(shí)，應(yīng)注意式子兩邊代數(shù)式的聯(lián)系，找出它們的共同點(diǎn)是證題成功的第一步。此外，綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)是證題成功的關(guān)鍵。如在本例中，用到了不等式的傳遞性，倒數(shù)性質(zhì)，以及“三角形不等式”等等。2、本題的背景知識與解析幾何有關(guān)。函數(shù)是雙曲線，的上支，而（即），則表示該圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率的絕對值。（學(xué)過有關(guān)知識后），很顯然這一斜率的范圍是在（-1，1）之間。2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a，的解集為空集，求a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a有解，求a的取值范圍。分析：“有解”即“解集非空”，可見（1）（2）兩小題的答案（集合）互為補(bǔ)集（全集為R）當(dāng)然可以用|x-3|+|x+1|=這種“去絕對值”的方法來解，但我們考慮到“三角形不等式”：|a|-|b|ab|a|+|b|知|x-3|+|x+1|x-3-x-1|=4這樣|x-3|+|x+1|4。解（略）回顧：本題是“絕對值不等式性質(zhì)定理”（即“三角形不等式”）的一個(gè)應(yīng)用。發(fā)展題：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a的解集非空，求a的取值范圍。3已知f(x)的定義域?yàn)?,1，且f(0)=f(1)，如果對于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，求證：|f(x1)-f(x2)|分析：題設(shè)中沒有給出f(x)的解析式，這給我們分析f(x)的結(jié)構(gòu)帶來困難，事實(shí)上，可用的條件只有f(0)=f(1) ，與|f(x1)-f(x2)|x1-x2|兩個(gè)。首先，若|x1-x2|，那么必有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|呢？考慮到0|x1-x2|1，則1-|x1-x2|，看來要證明的是|f(x1)-f(x2)|1-|x1-x2|成立！證明：不妨設(shè)x1x2，則0x1x21（1）當(dāng)|x1-x2|時(shí)，則有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|即|f(x1)-f(x2)|時(shí)，即x2-x1時(shí)，0x2-x11 必有1-|x1-x2|即1- x2+x1 也可寫成|1- x2|+|x1| (*) 另一方面|f(x1)-f(x2)|=|f(1)-f(x2)+f(x1)-f(0)|f(1)-f(x2)|+|f(x1)-f(0)|1- x2|+|x1-0| 則由（*）式知|f(x1)-f(x2)|成立 綜上所述，當(dāng)x1,x20,1時(shí)都有|f(x1)-f(x2)|成立。 已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，求證：當(dāng)時(shí)，有.分析：研究的性質(zhì)，最好能夠得出其解析式，從這個(gè)意義上說，應(yīng)該盡量用已知條件來表達(dá)參數(shù). 確定三個(gè)參數(shù)，只需三個(gè)獨(dú)立條件，本題可以考慮，這樣做的