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二階微分方程：二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個不相等實根兩個相等實根一對共軛復根二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是 （1）其中是常數(shù)。方程（1）的通解為對應的齊次方程 （2）的通解Y和方程（1）的一個特解之和。即 .我們已解決了求二階常系數(shù)齊次線性方程通解的問題，所以，我們只需討論求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的方法。下面我們只介紹當方程（1）中的為如下兩種常見形式時求其特解的方法。一、由于方程（1）右端函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與次多項式的乘積，而指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積的導數(shù)仍是這類函數(shù)，因此，我們推測：方程（1）的特解應為( 是某個次數(shù)待定的多項式 )代入方程（1），得消去，得 （3）討論、如果不是特征方程的根。即 由于是一個次的多項式，欲使（3）的兩端恒等，那未必為一個次多項式，設為將之代入（3），比較恒等式兩端的同次冪的系數(shù)，就得到以為未知數(shù)的個線性方程的聯(lián)立方程組，解此方程組可得到這個待定的系數(shù)，并得到特解、如果是特征方程的單根。即 ，但 欲使（3）式的兩端恒等，那么必是一個次多項式。因此，可令 并且用同樣的方法來確定的系數(shù)。、如果是特征方程的二重根。 即 ，且 。欲使（3）式的兩端恒等，那么必是一個次多項式因此， 可令 并且用同樣的方法來確定的系數(shù)。綜上所述，我們有結論如果，則方程（1）的特解形式為其中是與同次的多項式，的取值應滿足條件例1求 的通解。解 特征方程為 特征根為 齊次方程的通解為 因為是特征單根，所以，設非齊次方程的特解為 則將上述三式代入原方程，得 ，比較恒等式兩端的系數(shù)，得解得 ， 因此 所以方程的通解為二、由于方程（1）右端函數(shù)為，這種形式得到非齊次方程的特解的過程稍微復雜些，所以我們這里就只給出結論其中，、是兩個次多項式，且 例2求方程 的通解。解 特征方程 特征根 齊次方程的通解為 這里，由于不是特征方程的根，所以設方

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