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第37課 平面向量綜合應(yīng)用一、點(diǎn)擊小題1平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn)A(3, 1),B(1, 3), 若點(diǎn)C滿足,其中a,bR且ab1,則點(diǎn)C的軌跡方程為x2y5=02在邊長為的等邊ABC中,D為BC邊上一動點(diǎn),則的取值范圍是解:因?yàn)镈在BC上,所以設(shè)BDx,0x1,則l所以(+),因?yàn)?x1,所以,即的取值范圍數(shù)3 若a、b、c均為單位向量,且ab0,則|a+bc|的最小值為 解:|a+bc|2a2+b2+c2+2ab2bc2ca32(a+b)c,因?yàn)閍b0,且|a|b|c|1,所以|a+c|,所以(a+b)c|a+b|c|coscos,所以|a+bc|232cos,所以當(dāng)cos1時(shí),|a+bc|2最小為32(1)2,所以|a+bc|min14已知點(diǎn)P是ABC的中位線EF上任意一點(diǎn),且EF/BC,實(shí)數(shù)x,y滿足0,設(shè)ABC,PBC,PCA,PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記,則l2l3取最大值時(shí),2x+y的值為_.解:由題意知S1SS2+S3,l2l3,當(dāng)且僅當(dāng)S2S3時(shí)取等號,此時(shí)點(diǎn)P在EF的中點(diǎn),所以0,由向量加法的四邊形法則可得,所以0,即0,又0,所以xy,所以x+2y5在RtABC中,C90,AC4,BC2,D是BC的中點(diǎn),那么 _;若E是AB的中點(diǎn),P是ABC(包括邊界)內(nèi)任一點(diǎn)則的取值范圍是_2;9,9解:,將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中,則,設(shè)P(x,y),則,令,則,做直線,平移直線,由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線的截距最大,但此時(shí)z最小,當(dāng)直線 經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),直線的截距最小,此時(shí)z最大即z的最下值為,最大值為,即的取值范圍是9,9二、例題精講例1已知向量a=(coslq, cos(10l)q),b(sin(10l)q,sinlq),l、qR(1)求|a|2+|b|2的值;(2)若ab ,求q,(3),求證:ab解:(1)|a|=,| b |=,|a|2+|b|22(2)ab,coslq sin(10l)q+ cos(10l)q sinlq 0 sin(10l)q+lq)=0,sin10q0,10qk,kZ,q,kZ (3),coslqsinlq cos(10l)qsin(10l)q =cossincos()sin() =cossin-sincos=0, ab 例2已知平面向量a(,1),b(,)(1)若存在實(shí)數(shù)k和t,便得xa(t23)b, ykatb,且xy,試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t);(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論,確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間解:(1)法一:由題意知x(,), y(tk,tk),又xy故x y(tk)(tk)0整理得:t33t4k0,即kt3t.法二:a(,1),b(, ), . 2,1且abxy,x y0,即k2t(t23)20,t33t4k0,即kt3t(2)由(1)知:kf(t) t3t k f (t) t2,令k 0得1t1;令k 0得t1或t1故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 ),單調(diào)遞增區(qū)間是(,1)和(1,)例3已知向量(),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若,且,求;(2)若|2|對任意實(shí)數(shù)a,b都成立,求實(shí)數(shù)l的取值范圍解:(1)若,由得0,故sin(b),(2)若|2|對任意實(shí)數(shù)a,b都成立,則(lcosa+sinb)2+(lsinacosb)24對任意實(shí)數(shù)a,b都成立,即l2+1+2lsin(ba)4對任意實(shí)數(shù)a,b都成立,或解得l3或l3例4已知向量m(1,1),向量n與向量m的夾角為,且mn1.(1)求向量n ; (2)若向量n與q(1,0)共線,向量p(2cos2,cosA),其中A、C為ABC的內(nèi)角,且A、B、C依次成等差數(shù)列,求|n+p|的取值范圍解:(1)設(shè)n(x,y)由mn1,得x+y1 又向量n與向量m的夾角為,故x2+y21 由、解得或,n(1,0)或n(0,1)(2)向量n與q(1,0)共線,知n(1,0); 由A、B、C依次成等差數(shù)列,知2BA+C,又A+B+Cp,故B,A+C,0An+p(1+22cos2,cosA)(c

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