北師大版必修二 2.2.2 圓的一般方程 課件（25張）.pptx

2 2圓的一般方程 1 圓的一般方程的定義當d2 e2 4f 0時 二元二次方程x2 y2 dx ey f 0表示一個圓 這時這個方程叫作圓的一般方程 做一做1 圓x2 y2 4x 0的圓心坐標和半徑分別為 a 0 2 2b 2 0 4c 2 0 2d 2 0 2解析 圓的方程可化為 x 2 2 y2 4 可知圓心坐標為 2 0 半徑為2 故選d 答案 d 2 方程x2 y2 dx ey f 0表示的圖形 做一做2 已知方程x2 y2 4x 4y 10 k 0表示圓 則k的取值范圍是 a k2c k 2d k 2解析 依題意有 4 2 42 4 10 k 0 解得k 2 答案 b 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 二元二次方程x2 y2 dx ey f 0一定是某個圓的方程 2 圓的方程中不能含有xy這樣的項 3 x2 y2 dx ey f 0一定表示圓的方程的條件為d2 e2 4f 0 4 若圓過原點 則在平面直角坐標系中該圓的一般方程式中常數(shù)項肯定為0 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 對圓的一般方程的理解 例1 已知方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0 若該方程表示圓 求m的取值范圍 分析 根據(jù)二元二次方程表示圓的條件建立關于m的不等式求解 解 若該方程表示圓 則d2 e2 4f 2m 2 2 2 4 m2 5m 0 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 反思感悟1 判斷方程x2 y2 dx ey f 0是否表示圓的兩種方法 1 配方法 對形如x2 y2 dx ey f 0的二元二次方程可以通過配方變形成 標準 形式后 觀察是否表示圓 并求圓心半徑 2 運用圓的一般方程的判斷方法求解 即通過判斷d2 e2 4f是否為正 確定它是否表示圓 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 變式訓練1下列方程中 表示圓的是 a x2 y2 2x 2y 2 0b x2 y2 2xy y 1 0c x2 2y2 2x 4y 3 0d x2 y2 4x 6y 6 0解析 二元二次方程若表示圓 須滿足x2 y2系數(shù)相同 沒有xy項 且d2 e2 4f 0 即可排除a b c 故選d 答案 d 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 探究二待定系數(shù)法求圓的一般方程 例2 abc的三個頂點的坐標分別為a 1 5 b 2 2 c 5 5 求 abc的外接圓的方程 分析 所求圓經(jīng)過a b c三點 因此三點的坐標應適合圓的方程 可設出一般方程代入點坐標解方程組即可確定圓的方程 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 解 設所求圓的方程為x2 y2 dx ey f 0 abc的外接圓的方程為x2 y2 4x 2y 20 0 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 反思感悟1 用待定系數(shù)法求圓的一般方程分三步 1 設出一般方程x2 y2 dx ey f 0 2 根據(jù)題意 列出關于d e f的方程組 3 解出d e f的值代入即得圓的一般方程 2 對圓的一般方程和標準方程的選擇 1 如果由已知條件容易求得圓心坐標和半徑或需用到圓心坐標或半徑來列方程組時 通常設圓的標準方程求解 2 如果已知條件與圓心坐標和半徑均無直接的關系 那么可通過設圓的一般方程求解 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 變式訓練2求圓心在直線3x 2y 0上 并且與x軸交于a 2 0 和b 6 0 兩點的圓的方程 故所求圓的方程為x2 y2 4x 6y 12 0 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 用圓的幾何性質求圓的方程 例3 經(jīng)過a 2 4 b 3 1 兩點 并且在x軸上截得的弦長等于6 求圓的方程 分析 由于圓心在線段ab的垂直平分線上 可以先求ab的中垂線方程 再設出圓心坐標 建立方程 最后求半徑 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 所以ab的中垂線方程為y x 1 于是設圓心的坐標為 a a 1 由圓的幾何性質知 a 3 2 a 2 2 32 a 1 2 解得a 1或a 3 當a 1時 圓心為 1 2 r2 13 所以圓的方程為 x 1 2 y 2 2 13 當a 3時 圓心為 3 4 r2 25 所求圓的方程為 x 3 2 y 4 2 25 綜上所述 圓的方程為 x 1 2 y 2 2 13或 x 3 2 y 4 2 25 反思感悟求圓的方程關鍵是確定圓心坐標和圓的半徑 已知圓上三點 可利用圓心是弦的垂直平分線的交點求圓心 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 變式訓練3 abc的三個頂點坐標分別為a 1 5 b 2 2 c 5 5 求其外接圓的方程 解 ab邊的垂直平分線的方程為x 7y 9 0 bc邊的垂直平分線的方程為x y 3 0 聯(lián)立 得 圓心坐標為 2 1 abc外接圓的方程為 x 2 2 y 1 2 25 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 正解 點a在圓外 因忽視二元二次方程表示圓的條件而致誤 典例 已知定點a a 2 在圓x2 y2 2ax 3y a2 a 0的外部 求a的取值范圍 錯解 點a在圓外 a2 4 2a2 3 2 a2 a 0 a 2 糾錯心得本題錯解的根本原因在于沒有把握住圓的一般方程的定義 二元二次方程x2 y2 dx ey f 0表示圓時 需d2 e2 4f 0 所以 本題除了點在圓外的條件以外 還應注意方程表示圓這一隱含條件 探究一 探究二 探究三 易錯辨析 變式訓練已知圓的方程為x2 y2 2x 0 點p x y 在圓上 求2x2 y2的最值 解 由x2 y2 2x 0得y2 x2 2x 0 解得0 x 2 所以2x2 y2 x2 2x x 1 2 1 0 8 當x 0時 2x2 y2取最小值0 當x 2時 2x2 y2取最大值8 故2x2 y2的最小值為0 最大值為8 1 2 3 4 5 1 若方程x2 y2 2ax by c 0表示圓心為c 2 2 半徑為2的圓 則a b c的值依次為 a 2 4 4b 2 4 4c 2 4 4d 2 4 4 答案 b 1 2 3 4 5 2 若x2 y2 x y m 0表示一個圓 則m的取值范圍是 解析 因為方程x2 y2 x y m 0表示圓 所以 1 2 12 4m 4m 2 0 即m 故選a 答案 a 1 2 3 4 5 3 經(jīng)過圓x2 2x y2 0的圓心c 且與直線x y 0垂直的直線方程是 解析 依題得圓x2 2x y2 0的圓心坐標為 1 0 因為直線x y 0的斜率為 1 所以所求直線的斜率為1 故所求的直線方程為x y 1 0 答案 x y 1 0 1 2 3 4 5 4 經(jīng)過點a 5 2 b 3 2 且圓心在直線2x y 3 0上的圓的方程為 所以所求圓的方程為 x 2 2 y 1 2 10 答案 x 2 2 y 1 2 10 1 2 3 4 5 5 根據(jù)下列條件求圓的方程 1 經(jīng)過點p 1 1 和坐標原點 且圓心在直線2x 3y 1 0上 2 圓心在直線y 4x上 且與直線l x y 1 0相切于點p 3 2 3 過三點a 1 12 b 7 10 c 9 2 解 1 設圓的標準方程為 x a 2 y b 2 r2 所以圓的標準方程為 x 4 2 y 3 2 25 1 2 3 4 5 2 解法1 設圓的標準方程為 x a 2 y b 2 r2 r 0 所以圓的方程為 x 1 2 y 4 2 8 解法2 過切點且與直線x y 1 0垂直的直線為y 2 x 3 與y 4x聯(lián)立可求得圓心坐標為 1