線性代數(shù)歷年試卷 全 .doc

線性代數(shù)教學(xué)大綱教學(xué)內(nèi)容和基本要求行列式理解二階、三階行列式的定義，熟練掌握它們的計(jì)算；知道全排列及全排列的逆序數(shù)的定義，會(huì)計(jì)算排列的逆序數(shù)，知道對(duì)換及對(duì)換對(duì)于排列的奇偶性的影響；了解階行列式的定義，會(huì)用行列式的定義計(jì)算簡單的階行列式；掌握行列式的性質(zhì)，熟練掌握行列式按行、列展開公式，了解行列式的乘法定理；掌握不很復(fù)雜的低階行列式及簡單的高階行列式的計(jì)算；理解Cramer法則，掌握用Cramer法則求方程組的解的方法。矩陣?yán)斫饩仃嚨母拍睿焕斫饩仃嚨募臃?、?shù)乘、乘法運(yùn)算及矩陣的轉(zhuǎn)置及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練掌握上述運(yùn)算；理解零矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)角陣、三角陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的定義及其運(yùn)算性質(zhì)； 理解矩陣的可逆性的概念，掌握矩陣可逆的判別方法，掌握逆矩陣的性質(zhì)；了解伴隨矩陣的概念，熟練掌握伴隨矩陣的性質(zhì)，掌握利用伴隨矩陣計(jì)算矩陣的逆矩陣；了解分塊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，掌握簡單的分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。矩陣的初等變換與Gauss消元法理解矩陣的初等行變換與Gauss消元法的關(guān)系，理解矩陣的初等變換及矩陣的等價(jià)關(guān)系的概念；了解矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的概念，理解矩陣的初等變換與矩陣的乘法間的關(guān)系；了解可逆矩陣與初等矩陣間的關(guān)系，掌握用初等變換求逆矩陣的方法，會(huì)求簡單的矩陣方程的解；理解矩陣的秩的概念，熟練掌握矩陣的秩的求法，理解矩陣運(yùn)算前后的秩之間的關(guān)系；熟練掌握用矩陣的秩判斷線性方程組的相容性及討論解的情況的方法。向量組的線性相關(guān)性理解向量的概念，理解線性組合和線性表示的概念；理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念以及有關(guān)性質(zhì)，掌握向量組的線性相關(guān)性的判別方法；理解向量組的秩的概念，理解向量組的秩與矩陣的秩間的關(guān)系，熟練掌握向量組的秩的性質(zhì)；理解向量組的最大線性無關(guān)組的概念，理解向量組的最大線性無關(guān)組與向量組的秩間的關(guān)系，會(huì)求向量組的最大線性無關(guān)組；理解齊次線性方程組有非零解的充要條件，理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法；理解非齊次線性方程組有解的充要條件，理解非齊次線性方程組與相應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，熟練掌握非齊次線性方程組的通解的表達(dá)式的求法；知道向量空間、子空間、向量空間的基及維數(shù)的概念，會(huì)判斷向兩空間的子集是否構(gòu)成子空間，會(huì)求由一向量組生成的子空間及一齊次線性方程組的解空間的基及它們的維數(shù)；知道坐標(biāo)變換公式，會(huì)求兩組基間的過渡矩陣。相似矩陣和二次型理解向量的內(nèi)積、長度及正交性的概念，了解向量內(nèi)積的基本性質(zhì)；理解向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，熟練掌握Schimidt正交化方法；理解正交矩陣的概念，了解正交矩陣的性質(zhì)；理解矩陣的特征值、特征向量的概念，熟練掌握矩陣的特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的求法，理解特征多項(xiàng)式、特征值、特征向量的性質(zhì)；理解矩陣的相似性概念，理解兩矩陣相似的必要條件；熟練掌握矩陣相似于對(duì)角陣的充要條件，并熟練掌握相應(yīng)的對(duì)角陣及相似變換矩陣的求法；熟練掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，熟練掌握求正交矩陣將實(shí)對(duì)稱矩陣化成對(duì)角陣的方法；理解二次型及二次型的矩陣的概念，熟練掌握二次型的矩陣的求法；理解可逆線性變換及二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的概念，了解二次型的規(guī)范形的概念；理解矩陣間的合同關(guān)系的概念；理解二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形與二次型的矩陣的特征值的關(guān)系，熟練掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，掌握用可逆線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；理解慣性定理的結(jié)論，掌握判斷實(shí)對(duì)稱矩陣合同的方法；理解正定性的概念，熟練掌握判斷二次型、實(shí)對(duì)稱矩陣是否正定的方法。01-02學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一（33%）填空題（表示單位矩陣，表示零矩陣，指矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣）：設(shè)，則 ； ；設(shè)矩陣，則行列式 ；若向量組，則當(dāng)參數(shù) 時(shí)，線性相關(guān)；矩陣的伴隨矩陣=；設(shè)矩陣及均可逆，則 ；分塊矩陣的逆矩陣為；設(shè)矩陣。若齊次線性方程組的解空間是2維的，則齊次線性方程組的解空間是 維的；與向量，均正交的一個(gè)單位向量為 ；已知矩陣，則當(dāng)數(shù)滿足條件 時(shí)，是正定的；若n階實(shí)對(duì)稱矩陣滿足，且有兩個(gè)不同的特征值, 則當(dāng)參數(shù)滿足條件 時(shí)，矩陣是正定的；二（12%）求矩陣方程的解，其中，。三（12%）設(shè)3階方陣有特征值，是其相應(yīng)于特征值 的特征向量，是其相應(yīng)于特征值的特征向量。求。若3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值也是，證明：與必定相似。四（12%）設(shè)線性方程組問：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出其通解（寫成向量形式）。五（12%）矩陣。求一問：是否存在秩大于2的矩陣使得？為什么？六（12%）設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣求參數(shù)；求一正交矩陣七（7%）證明題：設(shè) 是矩陣的兩個(gè)互異的特征值，是的屬于的線性無關(guān)的特征向量，是的屬于的特征向量。證明：線性無關(guān)。已知階方陣相似于對(duì)角陣，并且，矩陣的特征向量均是矩陣的特征向量（注：，的特征值未必相同）。證明03-04學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷（24%）填空題：假設(shè)矩陣，則。假設(shè)向量組A：，則當(dāng)參數(shù)滿足條件 時(shí)，向量組A的秩為1； 時(shí)A的秩為2； 時(shí)A的秩為3。若向量是矩陣的特征向量，則。設(shè)矩陣，且，則參數(shù)滿足條件 。若矩陣與對(duì)角陣相似，則滿足條件 。若是正交矩陣，則滿足條件 。若對(duì)滿足條件的實(shí)對(duì)稱矩陣， 都是正定矩陣，則實(shí)數(shù)必定滿足條件 。（8%）求矩陣的行列式的值。（15%）已知矩陣，向量。若是線性方程組的解，試求的值，并求這時(shí)的通解；若有無窮多組解，但不是的解，求的值。（15%）解矩陣方程 。其中，。（15%）設(shè)二次型寫出二次型的矩陣；求一正交變換將化成標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形。（12%）設(shè)3階矩陣的特征值是（二重）和，且，是的相應(yīng)于特征值2的特征向量，是的相應(yīng)于特征值是4的特征向量。求矩陣及。（5%）已知矩陣，。問：當(dāng)參數(shù)滿足什么條件時(shí)，矩陣方程有解，但無解？（6%）證明題：已知向量組可以由線性表示。若向量組的秩為2，證明：線性無關(guān)。設(shè)2階方陣，且，。若不全為零，證明：不與任何對(duì)角陣相似。04-05學(xué)年第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一、27%）填空題若矩陣,，且，則的值分別為；設(shè)對(duì)任意列向量，則矩陣 ；設(shè)階方陣， 若的行列式 ，則矩陣的行列式 ；設(shè)為階可逆方陣，階矩陣的逆矩陣為 ；齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 ；若二次型是正定的，則參數(shù)的取值范圍是；若矩陣是正交矩陣, 則參數(shù)的值分別為 ；假設(shè)階矩陣的特征值為。則行列式的值為 ；若實(shí)二次型的矩陣分別為，則的正慣性指數(shù)相同，負(fù)慣性指數(shù)也相同的充分必要條件是參數(shù)滿足 。二（14%）假設(shè)階矩陣滿足。證明矩陣及均可逆，并分別求及；證明：若，矩陣肯定不可逆。三（14%）假設(shè)矩陣，。已知線性方程組有無窮多組解。試求參數(shù)的值，并求方程組的通解（要求用的一特解及相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示）。四（15%）已知矩陣相似于對(duì)角陣。求的值，并求的特征值及相應(yīng)的特征向量；求一可逆矩陣，使得為對(duì)角陣，并寫出相應(yīng)的對(duì)角陣；問：是否存在正交矩陣，使得為對(duì)角陣？試說明你的理由。五（12%）已知矩陣，矩陣，求矩陣，使得。六（12%）假設(shè)3維向量；。已知向量組與向量組等價(jià)。求的秩及其一個(gè)最大線性無關(guān)組，并求參數(shù)的值；令矩陣，求滿足的矩陣。七（6%）假設(shè)階矩陣滿足。證明：關(guān)于矩陣的秩有等式，并且相似于對(duì)角陣；若，試求行列式的值。05-06第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷一、30%）填空題（表示相應(yīng)的單位矩陣）設(shè)3階矩陣的行列式,矩陣， 則矩陣的行列式 ；若矩陣滿足，則的逆矩陣 ；若向量組的秩為2，則參數(shù)滿足條件 ；假設(shè)3階矩陣的特征值為，矩陣，其中，是的伴隨矩陣，則的行列式 ；若矩陣與矩陣相似，則 ； 設(shè)是3階實(shí)對(duì)稱矩陣的相應(yīng)于某個(gè)非零二重特征值的特征向量。若不可逆，則的另一個(gè)特征值為 ，相應(yīng)的一個(gè)特征向量為 ；已知3元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2, 并且，是的3個(gè)解向量,其中,則的通解是 ；若4階方陣的秩都等于1，則矩陣的行列式 ；若矩陣與矩陣合同，則參數(shù)滿足條件 。（10%）計(jì)算下述行列式的值：（15%）設(shè)線性方程組 。問：當(dāng)參數(shù)取何值時(shí), 線性方程組有唯一解？當(dāng)參數(shù)取何值時(shí)，線性方程組有無窮多組解？當(dāng)線性方程組有無窮多組解時(shí)，求出其通解。（12%）假設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求。（10%）已知向量組線性無關(guān)，問：參數(shù)滿足什么條件時(shí)，向量組線性相關(guān)？（15%）已知二次型寫出二次型的矩陣； 求一正交變換，將變成其標(biāo)準(zhǔn)形（并寫出的相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形）； 求當(dāng)時(shí)的最大值。（8%）證明題：設(shè)向量組中，線性相關(guān)，線性無關(guān)，證明：能由線性表示。設(shè)是階正定矩陣,證明：矩陣也是正定矩陣。06-07第三學(xué)期線性代數(shù)期終考試試卷(18%)填空題（表示單位矩陣）假設(shè)，則 ；矩陣的逆矩陣 ；若矩陣的行列式等于，矩陣，則矩陣的行列式 ；齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是 ；向量組，的一個(gè)極大線性無關(guān)組是 ；若矩陣合同，則參數(shù)滿足條件 。（12%）選擇題假設(shè)是同階方陣，數(shù)，則正確的命題是（ ）（A）； （B）；（C） ； （D）。假設(shè)矩陣，則不與相似的矩陣為（ ）（A）； （B）； （C）； （D）假設(shè)都是非零矩陣且，則正確的命題是（ ） （A）的行向量組線性相關(guān)； （B）的行向量組線性相關(guān)； （C）的行向量組都線性相關(guān)； （D）的列向量組都線性相關(guān)。（16%）設(shè)線性方程組 參數(shù)取何值時(shí)，線性方程組有唯一解？取何值時(shí)，方程組沒有解？當(dāng)取何值時(shí)，方程組有無窮多組解？當(dāng)方程組有無窮多組解時(shí)，求其通解。（16%）設(shè)，并且，求及。（14%）已知向量是矩陣的一個(gè)特征向量。求參數(shù)的值，并求的相應(yīng)于特征向量的特征值；問：矩陣是否相似于對(duì)角陣？說明你的理由。 （14%）已知矩陣。求一正交矩陣使得為對(duì)角陣； （10%）假設(shè)維實(shí)行向量，矩陣。證明：是對(duì)稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)； 當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得是正定矩陣。05-06學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)補(bǔ)考試卷一(30%)填空題設(shè)3階矩陣，。若的行列式，則的行列式 ；與向量及都正交的單位向量為 ；矩陣的伴隨矩陣 ；假設(shè)，則= ；= ；若為階方陣，則方陣的逆矩陣 ；已知矩陣，若不可逆，則參數(shù)滿足條件 ，這時(shí)，的秩為 ； 假設(shè)階方陣滿足，則是可逆的，且 ；假設(shè)矩陣相似于對(duì)角陣，并且2是的一個(gè)二重特征值，則參數(shù)的值分別等于 。二（12%）已知矩陣。求的行列式的值；根據(jù)的不同的值，求的秩及列向量組的極大線性無關(guān)組。三（12%）假設(shè)，。求矩陣方程的解。四（14%）假設(shè)矩陣，。問：當(dāng)參數(shù)取什么值時(shí)，線性方程組有唯一解、有無窮多組解、無解？當(dāng)線性方程組有無窮多組解時(shí)，求出其通解。五（14%）已知三階方陣與矩陣相似，求參數(shù)的值，并求一可逆矩陣，使得。六（12%）設(shè)二次型求一可逆線性變換將變成其標(biāo)準(zhǔn)形；根據(jù)參數(shù)的不同取值，討論的秩及正、負(fù)慣性指數(shù)；問：當(dāng)參數(shù)取什么值時(shí)，是正定二次型？ 七（6%）假設(shè)是階正交陣。若是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：的特征值只能是1和，并且，若，則肯定是的特征值。07-08學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)轉(zhuǎn)系考試試卷一 (18%)填空題（表示單位矩陣）設(shè)，若和都是對(duì)稱矩陣，則的值分別為 ；若矩陣的特征值是，則的伴隨矩陣的行列式等于 ；如果矩陣 相似于對(duì)角陣，則參數(shù)必滿足條件 ；如果矩陣是正定的，則參數(shù)滿足條件 ；對(duì)秩為的矩陣，非齊次線性方程組的解集合中，線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)為 ；如果將實(shí)對(duì)稱矩陣按合同關(guān)系分類，使得兩個(gè)矩陣在同一類的充分必要條件是它們是合同的，則實(shí)對(duì)稱矩陣全體可以分成的合同類的個(gè)數(shù)為二(12%)選擇題對(duì)于矩陣，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)不可能是 （A）； （B）； （C）； （D）假設(shè)是矩陣的屬于不同特征值的特征向量，則線性無關(guān)的充分必要條件是（A）； （B）； （C）； （D）下列論斷中，正確的一項(xiàng)為（）存在實(shí)對(duì)稱矩陣，使得，但；（）存在實(shí)對(duì)稱矩陣，使得，但；（）存在實(shí)對(duì)稱