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專題十七 應(yīng)用題(1) 【典題導(dǎo)引】例1. 某地發(fā)生某種自然災(zāi)害,使當(dāng)?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴灸巢块T對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后,決定往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì). 已知每投放質(zhì)量為個(gè)單位的藥劑后,經(jīng)過天該藥劑在水中釋放的濃度(毫克/升)滿足,其中當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化;當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于(毫克/升)且不高于(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化.(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為,試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天?(2)如果投放的藥劑質(zhì)量為,為了使在天(從投放藥劑算起包括第天)之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化,試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量的取值范圍.解:(1)由題設(shè):投放的藥劑質(zhì)量為,自來水達(dá)到有效凈化或或,即. 即如果投放的藥劑質(zhì)量為,自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)6天; (2)由題設(shè):, ,且, 且,即投放的藥劑質(zhì)量的取值范圍為.例2. 為營造優(yōu)美的環(huán)境,某單位決定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉如圖,該花壇的邊界是兩個(gè)半徑為米的圓弧圍成,兩圓心、之間的距離為米(1)如圖甲,在花壇中建矩形噴泉,四個(gè)頂點(diǎn),均在圓弧上,于點(diǎn)設(shè),求矩形的寬為多少時(shí),可使噴泉的面積最大;(2)如圖乙,在花壇中間鋪設(shè)一條寬為米的觀賞長廊以作休閑之用,則矩形噴泉變?yōu)閮蓚€(gè)全等的等腰三角形,其中,米若,求噴泉的面積的取值范圍O1O2MBACD觀 賞 長 廊N例2圖乙MBACDO1例2圖甲O2解:(1)在直角中,則,矩形的面積,令,則,令,得設(shè),且,列表如下:0極大值當(dāng),即時(shí),矩形的面積最大(2)由(1)易得,噴泉的面積,由知,函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),噴泉的面積的取值范圍是(單位:平方米)例3.某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品,用半徑為的圓形包裝紙包裝要求如下:正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合,包裝紙不能裁剪,沿底邊向上翻折,其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn),如圖所示設(shè)正三棱錐的底面邊長為,體積為(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中,的最大值是多少?并求此時(shí)例3圖的值解:(1)正三棱錐展開如圖所示當(dāng)按照底邊包裝時(shí)體積最大 設(shè)正三棱錐側(cè)面的高為,高為由題意得:,解得 例3答案圖則, 正三棱錐體積(2)設(shè), 求導(dǎo)得,令,得, 當(dāng)時(shí),隨著的增加而增大, 當(dāng)時(shí),隨著的增加而減小, 當(dāng)時(shí),取得極大值也是最大值,此時(shí) 即當(dāng)?shù)酌孢呴L為8cm時(shí),正三棱錐的最大體積為32cm3例4. 如圖,一塊弓形薄鐵片,點(diǎn)為的中點(diǎn),其所在圓的半徑為(圓心 在弓形內(nèi)),將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片 (不計(jì)損耗), ,且點(diǎn)、在上,設(shè) (1)求矩形鐵片的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;M例4答案圖 (2)當(dāng)矩形鐵片的面積最大時(shí),求的值M例4答案圖例4圖MFOE解:(1)設(shè)矩形鐵片的面積為,當(dāng)時(shí)(如圖),當(dāng)時(shí)(如圖), 故綜上得,矩形鐵片的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為(2)當(dāng)時(shí),求導(dǎo),得令,得記區(qū)間內(nèi)余弦值等于的角為(唯一存在)列表:0極大值又當(dāng)時(shí),在上是單調(diào)減函數(shù), 當(dāng),即時(shí),矩形的面積最大【歸類總結(jié)】解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是認(rèn)真讀題,縝密審題,確切理解題意,明確問題的實(shí)際背景;然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括,將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題;二是要合理選取參變量,設(shè)定變量之后,就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系,建立相應(yīng)的函數(shù)模型,最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解解函數(shù)應(yīng)用題的四步曲:(1)閱讀理解,審清題意:分析出已知什么,求什么,從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題;(2)數(shù)學(xué)建模:弄清題目
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