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文檔簡介
2數(shù)集 確界原理 一 有界集 二 確界 三 確界的存在性定理 四 非正常確界 確界原理本質(zhì)上體現(xiàn)了實數(shù)的完備 性 是本章學(xué)習(xí)的重點與難點 返回 記號與術(shù)語 一 有界集 定義1 因此S無上界 例1 例2 證 二 確界 定義2 若數(shù)集S有上界 則必有無窮多個上界 而其 中最小的一個具有重要的作用 最小的上界稱為 上確界 同樣 若S有下界 則最大的下界稱為下 確界 注2 注1條件 i 說明是的一個上界 條件 ii 說明 比小的數(shù)都不是的上界 從而是最小的上 界 即上確界是最小的上界 定義3 注2 證先證supS 1 例2 以下確界原理也可作公理 不予證明 雖然我們定義了上確界 但并沒有證明上確界的 存在性 這是由于上界集是無限集 而無限數(shù)集 不一定有最小值 例如 0 無最小值 三 確界存在性定理 證法一設(shè)S是有上界的非空集合 為敘述方便起 見 不妨設(shè)S含有非負數(shù) 定理1 1 確界原理 證明分以下四步 1 S是有上界的集合 從而S 也是有上界的集合 是正規(guī)小數(shù)表示 證法二不妨設(shè) 事實上 例3 證明 數(shù)集A有上確界 數(shù)集B有下確界 由定義 上確界supA是最小的上界 因此 任意 一數(shù)x都是B的下界 因此由確界原理 A有上確 界 B有下確界 例4 y B supA y 這樣 supA又是B的一個下界 而infB是最大的下界 因此supA infB 于是 且 因此 因此 這就證明了 四 非正常確界 2 推廣的確界原理 非空數(shù)集必有上 下確界 例2設(shè)數(shù)集 求證 證設(shè) 于是 2 1 數(shù)集S有上界 則S的所有上界
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