北師大版必修4 2.7.2向量的應用舉例 教案.doc

教學設計7.2 向量的應用舉例整體設計教學分析 向量與物理學天然相聯(lián).向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及幾何中的有向線段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它與物理學中的力學、運動學等有著天然的聯(lián)系,將向量這一工具應用到物理中,可以使物理題解答更簡捷、更清晰.并且向量知識不僅是解決物理許多問題的有利工具,而且用數(shù)學的思想方法去審視相關物理現(xiàn)象,研究相關物理問題,可使我們對物理問題的認識更深刻.物理中有許多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,這些物理現(xiàn)象都可以用向量來研究. 用向量研究物理問題的相關知識.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它們的合成與分解就是向量的加、減法,運動的疊加亦用到向量的合成;(2)動量是數(shù)乘向量;(3)功即是力與所產(chǎn)生位移的數(shù)量積. 用向量知識研究物理問題的基本思路和方法.通過抽象、概括,把物理現(xiàn)象轉化為與之相關的向量問題;認真分析物理現(xiàn)象,深刻把握物理量之間的相互關系;利用向量知識解決這個向量問題,并獲得這個向量的解;利用這個結果,對原物理現(xiàn)象作出合理解釋,即用向量知識圓滿解決物理問題.教學中要善于引導學生通過對現(xiàn)實原型的觀察、分析和比較,得出抽象的數(shù)學模型.例如,物理中力的合成與分解是向量的加法運算與向量分解的原型.同時,注重向量模型的運用,引導解決現(xiàn)實中的一些物理和幾何問題.這樣可以充分發(fā)揮現(xiàn)實原型對抽象的數(shù)學概念的支撐作用.三維目標1.通過力的合成與分解的物理模型,速度的合成與分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相關問題的步驟,明了向量在物理中應用的基本題型,進一步加深對所學向量的概念和向量運算的認識.2.通過對具體問題的探究解決,進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識,提高應用數(shù)學的能力.體會數(shù)學在現(xiàn)實生活中的重要作用.養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學,善于發(fā)現(xiàn)物理及其他科目中的數(shù)學及思考領悟各學科之間的內(nèi)在聯(lián)系的良好習慣.重點難點 教學重點:1.運用向量的有關知識對物理中力的作用、速度的分解進行相關分析和計算.2.歸納利用向量方法解決物理問題的基本方法. 教學難點:將物理中有關矢量的問題轉化為數(shù)學中向量的問題.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(情境導入)生活中,道路、路標體現(xiàn)了向量與位移、速度、力等物理量之間的密切聯(lián)系.說明了向量的研究對象及研究方法.那么向量究竟是怎樣應用于物理的呢？它就像高速公路一樣,是一條解決物理問題的高速公路.在學生渴望了解的企盼中,教師展示物理模型,由此展開新課.思路2.(問題導入)你能舉出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,學生很容易就舉出來.進一步,你能舉出應用向量來分析和解決物理問題的例子嗎?你是怎樣解決的？教師由此引導:向量是有廣泛應用的數(shù)學工具,對向量在物理中的研究,有助于進一步加深對這方面問題的認識.我們可以通過對下面若干問題的研究,體會向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新課.推進新課應用示例例1 在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上做引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力.你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎?圖1活動:這個日常生活問題可以抽象為如圖1所示的數(shù)學模型,引導學生由向量的平行四邊形法則,力的平衡及解直角三角形等知識來思考探究這個數(shù)學問題.這樣物理中用力的現(xiàn)象就轉化為數(shù)學中的向量問題.只要分析清楚f、g、三者之間的關系(其中,f為f1、f2的合力),就得到了問題的數(shù)學解釋. 在教學中要盡可能地采用多媒體,在信息技術的幫助下讓學生來動態(tài)地觀察|f|、|g|、之間在變化過程中所產(chǎn)生的相互影響.由學生獨立完成本例后,與學生共同探究歸納出向量在物理中的應用的解題步驟,也可以由學生自己完成,還可以用信息技術來驗證. 用向量解決物理問題的一般步驟是:問題的轉化,即把物理問題轉化為數(shù)學問題;模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學模型;參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學模型的有關解理論參數(shù)值;問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關的物理現(xiàn)象.解:不妨設|f1|=|f2|,由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識,可以知道cos. 通過上面的式子,我們發(fā)現(xiàn):當由0到180逐漸變大時,由0到90逐漸變大,cos的值由大逐漸變小,因此|f1|由小逐漸變大,即f1,f2之間的夾角越大越費力,夾角越小越省力.點評:本例是日常生活中經(jīng)常遇到的問題,學生也會有兩人共提一個旅行包以及在單杠上做引體向上運動的經(jīng)驗.本例的關鍵是作出簡單的受力分析圖,啟發(fā)學生將物理現(xiàn)象轉化成模型,從數(shù)學角度進行解釋,這就是本例活動中所完成的事情.教學中要充分利用好這個模型,為解決其他物理問題打下基礎.得到模型后就可以發(fā)現(xiàn),這是一個很簡單的向量問題,這也是向量工具優(yōu)越性的具體體現(xiàn).變式訓練某人騎摩托車以20 km/h的速度向西行駛,感到風從正南方向吹來,而當其速度變?yōu)?0 km/h時,他又感到風從西南方向吹來,求實際的風向和風速.圖2解:如圖2所示.設v1表示20km/h的速度,在無風時,此人感到的風速為-v1,實際的風速為v,那么此人所感到的風速為v+(-v1)=v-v1.令=-v1,=-2v1,實際風速為v.+=,=v-v1,這就是騎車人感受到的從正南方向吹來的風的速度.+=,=v-2v1,這就是當車的速度為40km/h時,騎車人感受到的風速.由題意得dca=45,dbab,ab=bc,dca為等腰三角形,da=dc,dac=dca=45.da=dc=bc=20.|v|=20 km/h.答:實際的風速v的大小是20km/h,方向是東南方向.例2 如圖3所示,利用這個裝置(沖擊擺)可測定子彈的速度,設有一砂箱懸掛在兩線下端,子彈擊中砂箱后,陷入箱內(nèi),使砂箱擺至某一高度h.設子彈和砂箱的質量分別為m和m,求子彈的速度v的大小.圖3解:設v0為子彈和砂箱相對靜止后開始一起運動的速度,由于水平方向上動量守恒,所以m|v|=(m+m)|v0|.由于機械能守恒,所以(m+m)v02=(m+m)gh.聯(lián)立解得|v|=.又因為m相對于m很小,所以|v|,即子彈的速度大小約為.例3 一架飛機從a地向北偏西60的方向飛行1 000 km到達b地,然后向c地飛行.設c地恰好在a地的南偏西60,并且a,c兩地相距2 000 km,求飛機從b地到c地的位移.圖4解:如圖4,設a在東西基線和南北基線的交點處.依題意,的方向是北偏西60,=1 000 km;的方向是南偏西60,=2 000 km,所以bac=60.過點b作東西基線的垂線,交ac于d,則abd為正三角形.所以bd=cd=1 000 km,cbd=bcd=bda=30.所以abc=90,bc=acsin60=2 000=1 000(km),=1 000 km.答:飛機從b地到c地的位移大小是1 000km,方向是南偏西30.例4 已知力f與水平方向的夾角為30(斜向上),大小為50 n,一個質量為8 kg的木塊受力f的作用在動摩擦因數(shù)=0.02的水平平面上運動了20 m.問力f和摩擦力f所做的功分別為多少?(g=10 m/s2)圖5解:如圖5,設木塊的位移為s,則fs=fscos30=5020=500(j).將力f分解,它在鉛垂方向上的分力f1的大小為f1=fsin30=50=25(n),所以,摩擦力f的大小為f=(g-f1)=(80-25)0.02=1.1(n).因此fs=fscos180=1.120(-1)=-22(j).答:f和f所做的功分別是500j和-22 j.知能訓練1.一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行,已知河水流速為2 km/h,則經(jīng)過3小時,該船實際航程為( )a.2 km b.6 km c.km d.8 km2.如圖6,已知兩個力的大小和方向,則合力的大小為 n;若在圖示坐標系中,用坐標表示合力f,則f=_.圖63.一艘船以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,而該船實際航行的方向與水流方向成30角,求水流速度與船的實際速度.解答:1.b點評:由于學生還沒有學習正弦定理和余弦定理,所以要通過作高來求.2. (5,4)3.解:如圖7所示,設表示水流速度,表示船垂直于對岸的速度,表示船的實際速度,aoc=30,|=5 km/h.圖7因為四邊形oacb為矩形,所以|=|cot30=|cot30=58.66 km/h,|=10 km/h.答:水流速度為8.66 km/h,船的實際速度為10 km/h.點評:轉化為數(shù)學模型,畫出向量圖,在直角三角形中解出.課堂小結1.與學生共同歸納總結利用向量解決物理問題的步驟.問題的轉化,即把物理問題轉化為數(shù)學問題;模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學模型;參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學模型的有關解理論參數(shù)值;問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關的物理現(xiàn)象.2.與學生共同歸納總結向量在物理中應用的基本題型.力、速度、加速度、位移都是向量;力、速度、加速度、位移的合成與分解對應相應向量的加減;動量mv是數(shù)乘向量,沖量tf也是數(shù)乘向量;功是力f與位移s的數(shù)量積,即w=fs.作業(yè)1.課本習題27 a組4,b組2.2.歸納總結物理學中哪些地方可用向量.設計感想1.本教案設計的指導思想是:由于本節(jié)重在解決兩個問題,一是如何把物理問題轉化成數(shù)學問題,也就是將物理量之間的關系抽象成數(shù)學模型;二是如何用建立起來的數(shù)學模型解釋和回答相關的物理現(xiàn)象.因此本教案設計的重點也就放在怎樣讓學生探究解決這兩個問題上.而把這個探究的重點又放在這兩個中的第一個上,也就是引導學生認真分析物理現(xiàn)象、準確把握物理量之間的相互關系.通過抽象、概括,把物理現(xiàn)象轉化為與之相關的向量問題,然后利用向量知識解決這個向量問題.2.經(jīng)歷是最好的老師.充分讓學生經(jīng)歷分析、探究并解決實際問題的過程,這也是學習數(shù)學,領悟思想方法的最好載體.學生這種經(jīng)歷的實踐活動越多,解決實際問題的方法就越恰當而簡捷.教科書中對本節(jié)的兩個例題的處理方法,都不是先給出解法,而是先進行分析,探索出解題思路,再給出解法,就足以說明這一點.3.突出數(shù)形結合的思想.教科書例題都是先畫圖進行分析的,本教案的設計中也突出了這一點.讓學生在活動的時候就先想到畫圖,并在這個活動中,體會數(shù)形結合的應用,體會數(shù)學具有廣泛的應用,體會向量這個工具的優(yōu)越性.備課資料一、向量與重心問題 假如有兩個質點m1,m2,它們的質量分別是m1,m2,由物理學知識,這兩個質點的重心m在線段m1m2上,并且分此線段為與質量成反比例的兩部分,即或m1現(xiàn)設點m1、m2、m,對應的向量分別是r1、r2、r,則上式可以寫成m1(r-r1)=m2(r2-r).所以r=,點m處的質量為m1+m2.現(xiàn)求三個質點的重心問題.三個質點m1、m2、m3的質量分別是m1、m2、m3,所對應的向量分別是r1、r2、r3,我們可設m1,m2的重心在點d處,該處對應的向量為rd=,該點的質量為m1+m2,然后求點d與點m3的重心m所對應的向量r,易得r=.二、備用習題1.作用于同一點的兩個力f1和f2，|f1|=5,|f2|=3,夾角為60，則f1+f2的大小為_.2.一條漁船距對岸為4 km,現(xiàn)正以2 km/h的速度向垂直于對岸的方向劃去,到達對岸時,船的實際航程為8 km,求河水的流速.3.在半徑為15 cm的均勻鐵板上,挖出一個圓洞,已知圓洞的圓心和鐵板中心相距8 cm,圓洞的半徑是5 cm,求挖去圓洞后所剩下鐵板的重心.4.如圖13所示,重力為g的均勻小球放在傾角為的斜面上,球被與斜面夾角為的木板擋住,球面、木板均光滑,若使球對木板的壓力最小,求木板與斜面間夾角的大小.圖13參考答案:1.72.如圖14所示,設表示船垂直于對岸的速度,則+=,圖14知就是漁船實際航行的速度.因為航行的時間為42=2(h),所以在rtabc中,|=2 km/h,|=82=4 km/h,則|=km/h.答:河水的流速為km/h.3.如圖15所示,建立平面直角坐標系,兩圓的圓心分別為o1(0,0),o2(8,0),圓o2是挖去的圓,不妨設鐵板的密度為=1,則小圓的質量m1=25,挖去圓洞后,鐵板的質量為m2=(225-25)=200,設所求的重心為o