蘇教版 選修22 1．2 導數(shù)的運算 教案.doc

12 導數(shù)的運算一、學習內(nèi)容、要求及建議知識、方法要求學習建議導數(shù)的運算理解熟記常見函數(shù)的導數(shù)，熟練掌握函數(shù)和、差、積(包括數(shù)乘)、商的導數(shù)的運算法則，會求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)(首先了解內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的有關(guān)概念)二、預習指導1預習目標(1)熟記常見函數(shù)的導數(shù)；(2)掌握函數(shù)和、差、積(包括數(shù)乘)、商的導數(shù)的運算法則；(3)了解內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的有關(guān)概念，會求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)2預習提綱(1)回憶上一節(jié)導數(shù)的概念，思考利用導數(shù)的定義求一些簡單函數(shù)的導數(shù)的流程(2)閱讀課本寫出下列常見函數(shù)的導數(shù)：一次函數(shù)；常數(shù)函數(shù)；冪函數(shù)，正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；指數(shù)函數(shù)和；對數(shù)函數(shù)和試寫出函數(shù)的和、差、積、商的求導法則簡單復合函數(shù)的導數(shù)： 復合函數(shù)： 由幾個函數(shù)復合而成的函數(shù)，叫復合函數(shù)由函數(shù)與復合而成的函數(shù)一般形式是，其中u稱為中間變量，設函數(shù)u=(x)在點x處有導數(shù)，函數(shù)y=f(u)在點x的對應點u處有導數(shù)，則復合函數(shù)在點x處也有導數(shù)，且 (3)課本第24頁例1與例2的解題過程給你怎樣的啟示?3典型例題例1 利用導數(shù)的定義求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y=x2x ；(2)分析： 首先計算的值，再化簡，然后計算當無限趨近于0時，無限趨近于的常數(shù)解：(1)，當時，所以 (2)=， ，當時，即點評： 當無限趨近于0時，討論的變化趨勢時，可以看作為變量，其余的可作為常量例2 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1) y=x3 ； (2) ；(3) ； (4)；(5)；(6)分析： 對于簡單函數(shù)的求導，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)的關(guān)系式為可以直接應用公式的基本函數(shù)的模式，如y= x3；=等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導公式求導，以免在求導過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算錯誤解： (1) (x3)=3x31=3x2；(2) ；(3) ；(4)；(5)；(6) 點評： 運算的準確是數(shù)學能力高低的重要標志，要從思想上提高認識，養(yǎng)成思維嚴謹、步驟完整的解題習慣，不僅要會求，而且要解題規(guī)范、結(jié)果準確例3 求曲線在點a處的切線方程分析： 先用公式求出的導數(shù)，然后利用導函數(shù)求出曲線在點處的切線斜率，最后應用點斜式寫出方程解： 所求切線的斜率所求切線的方程為，即答：曲線在點的切線方程為點評： 利用常見函數(shù)的導數(shù)公式可以求出y=xn()、y=sinx及y=cosx上任一點(定義域內(nèi))處的切線斜率，從而可得任一點處的切線方程例4 已知曲線y=上的一點，求(1)點p處的切線方程；(2)過點p的切線方程分析： 考慮兩個問題之間的差異，問題實質(zhì)上是問題的一個部分，關(guān)鍵是要確定切點是什么解：(1)，因為點在曲線上且，所以點p處的切線的斜率為4，點p處的切線方程為，即12x3y16=0，(2)當點p為切點時，由知道該切線方程是12x3y16=0，若p點不是切點時，設切點為，此時有，得或(舍去)，過點p的切線的斜率為1，過點p的切線方程為，即3x3y2=0，綜上所述，過點p的切線方程為：12x3y16=0或3x3y2=0點評： 雖然點p在曲線上，但未必是切點，故可分p點是否為切點兩種情況討論本題也可以先設出切點坐標，根據(jù)切點在曲線上、已知點在切線上、切點處的導數(shù)等于切線的斜率這三個條件列出三個方程，解方程組求出切點坐標，同學們可以自已嘗試一下例5 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2) y=xex；(3)； (4) y=tanx； (5) y=sinxcosx； (6) y=(3x21)(2x)； (7) y=(1x2)cosx分析： 仔細觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣求導運算法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導公式，不具備求導條件可進行適當?shù)暮愕茸冃谓猓?(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) y=(3x21)(2x)=(3x21)(2x)(3x21)(2x)=32x(2x)(3x21)(1)=9x212x1(7) y=(1x2)cosx=(1x2)cosx(1x2)(cosx)=2xcosx(1x2)(sinx)=2xcosx(1x2)sinx點評： 通過本例可以看出，深刻理解和掌握導數(shù)運算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點，才能準確有效地進行求導運算，在解決新問題時做到舉一反三、促類旁通例6 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)分析： 利用復合函數(shù)的求導運算法則，弄清各個小題的外函數(shù)y=f(u)，及內(nèi)函數(shù)u=g(x)的表達式，有的問題也可以先化簡再求導解：(1)令u=4x3，則y=，故；(2)；(3)(4)， = (5)= 點評： 復合函數(shù)的導數(shù)運算一定要注意中間變量，不要忘記中間變量對自變量的求導例7 如圖，酒杯的形狀為倒立的圓錐杯深8cm，上口寬6cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，當水深為4 cm時，求水升高的瞬時變化率分析：我們可以利用瞬時變化率的定義(解法一)，也可以將水深為4 cm的時刻，將水面附近的高度極小的臺體近似看做圓柱體，然后對體積增量比時間增量取極限，體現(xiàn)出局部“以直代曲”的思想(解法二)；或者還可以建立函數(shù)關(guān)系式直接對時間求導得到(解法三，應該注意的是：高度是時間的函數(shù)，涉及到復合函數(shù)的求導法則)解：法一 設時刻s時，杯中的水的體積為cm3，水面半徑為cm，水深為cm，則，記水升高的瞬時變化率為，從而由，當時，解得法二 水面高度為cm，可求得水面的半徑為cm設水面高度增加時，水的體積增加，從而，故，當時，得到，于是法三 仿解法一得到，即，兩邊對求導得，當時，解得點評：解法一和解法二實質(zhì)都是利用導數(shù)的定義求導，而解法三是利用常見函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法則求導4自我檢測(1)函數(shù)的導數(shù)是 (2)函數(shù)的導數(shù)是 (3)函數(shù)的導數(shù)是 (4)函數(shù)的導數(shù)是 (5)函數(shù)的導數(shù)是 (6)已知函數(shù)圖象上a處的切線與的夾角為45，則點a的橫坐標是 (7)已知函數(shù)的導數(shù)為，則 (8)若對任意，則是 (9)求下列函數(shù)的導數(shù)； f (x)=sinx2； y=sin2(2x)三、課后鞏固練習a組1已知y=2，求= 2函數(shù)y=的導數(shù)是 3若函數(shù)f(x)=x3，則= 4設，則 5設函數(shù)，若，則的值為 6若對任意，則 7 若圓的半徑以2 cm/s的等速度增加，則圓半徑r=10 cm時，圓面積增加的速度是_ 8填空： (1) (2)(3) (4)9求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y(2x23)(3x2) ； (2)； (3)；(4)； (5)y=x2cosx (6)f(x)=；(7)f(x)=； (8)f(x)= 10若f(x)=sincosx，則f ()等于 11設，求的值_12二次函數(shù)的導函數(shù)，且，則在r上恒成立時的取值范圍是 13直線是曲線的一條切線，則實數(shù)b 14設函數(shù)，=9，則a=_ 15已知函數(shù)f(x)=2cos2x1，則 16函數(shù)y=(3sinx)4是由 兩個函數(shù)復合而成的17函數(shù)的導函數(shù) ；函數(shù)的導函數(shù) 18已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則 19曲線y=ex在x=處的切線的斜率為 20曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是 21過原點作曲線y=ex的切線，則切點的坐標為 ，切線的斜率為 22曲線在點處的切線的斜率為 23與直線2x6y1=0垂直，且與曲線y=x33x21相切的直線方程是 b組24已知函數(shù)f(x)f()cosxsinx，則f()的值為25已知f1(x)sinxcosx，記f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn(x)fn1(x)(nn*，n2)，則f1()f2()f2009()26拋物線y=x2和直線y=x1之間的最短距離是 27若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則a=_28曲線y=x24x上有兩點a(4，0)、b(2，4)求：(1)割線ab的斜率kab及ab所在直線的方程；(2)在曲線ab上是否存在點c，使過c點的切線與ab所在直線平行?若存在，求出c點的坐標；若不存在，請說明理由29已知曲線，求過點p(2，4)的切線方程 30a(0，0)，b(2，2)是拋物線y=x2x上兩點，在拋物線y=x2x上a與b間的求一點p，使apb面積最大31當a滿足什么條件時，過點(1，a)可作曲線y=x21的兩條切線32設f(x)=(x1)(2x1)3，求，33求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=； (2)y=(3x5)6； (3)y=(3x8)734求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=； (2)y=；(3)y=35(1)曲線y=lnax(a0)在與x軸交點a處的切線l方程是什么? (2)在(1)中，過點a且與直線l垂直的直線m，試求直線l，m與y軸圍成三角形的面積s(a)的表達式36水以20立方米/分的速度流入一圓錐形容器，設容器深30米，上底直徑12米，試求當水深10米時，水面上升的速度c組37設，求的值38用求導的方法求和：12x3x2nxn1(x1)39已知曲線y=x2(x)(a0)，在點m()處的切線l與x軸的交點為(，0)，求證：當時，40設函數(shù)f(x)ax(a，bz)，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y3(1)求f(x)的解析式；(2)證明：函數(shù)yf (x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；(3)證明：曲線yf(x)上任一點的切線與直線x1和直線yx所圍的三角形的面積為定值，并求出此定值知識點題號注意點求函數(shù)的導數(shù)119，3234注意函數(shù)的構(gòu)成，運算函數(shù)還是復合函數(shù)；導數(shù)的應用2031，35注意在某點處的切線還是過點作函數(shù)的切線的區(qū)別綜合問題3640靈活應用導數(shù)知識四