蘇教版必修五 第3章第四節(jié) 基本不等式2 基本不等式的應(yīng)用 學(xué)案.doc_第1頁
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高中數(shù)學(xué)基本不等式的應(yīng)用一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說明基本不等式的應(yīng)用1. 掌握基本不等式 (a0,b0);2. 能用基本不等式求解簡(jiǎn)單的最大(?。┲祮栴}(指只用一次基本不等式,即可解決的問題);3. 能用基本不等式求解簡(jiǎn)單的最大(?。┲祮栴}。選擇題填空題基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn),也是近幾年高考的熱點(diǎn)。注意應(yīng)用均值不等式,求函數(shù)的最值三個(gè)條件缺一不可。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn):對(duì)由基本不等式推導(dǎo)出的命題的理解,以及利用此命題求某些函數(shù)的最值。突破重點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)基本不等式的理解。難點(diǎn):理解利用基本不等式求最值時(shí)的三個(gè)條件“一正、二定、三相等”。考點(diǎn):利用基本不等式求最值1. 由兩個(gè)重要不等式可推得下面結(jié)論:已知,則 如果是定值,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值; 如果是定值,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取最小值?!疽c(diǎn)詮釋】(1)利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí),強(qiáng)調(diào)三要素:正數(shù);定值;等號(hào)成立的條件。特別式子中等號(hào)不成立時(shí),則不能應(yīng)用重要不等式,而改用函數(shù)的單調(diào)性求最值。(2)不能僅僅關(guān)注基本不等式的形式構(gòu)造,而應(yīng)注意統(tǒng)一的整體變換?!竞诵耐黄啤坷弥匾坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí),定值條件的構(gòu)造技巧:利用均值不等式求函數(shù)的最值應(yīng)滿足三個(gè)條件:即“一正、二定、三相等”。“一正”,是指所求最值的各項(xiàng)都是正值?!岸ā?,是指含變量的各項(xiàng)的和或者積必須是常數(shù)?!叭嗟取?,是指具備不等式中等號(hào)成立的條件,使函數(shù)取得最大或最小值。在具體的題目中,“正數(shù)” 條件往往從題設(shè)條件中獲得解決,“相等”條件也易驗(yàn)證確定,而要獲得“定值”條件卻常常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn),它需要一定的靈活性和變形技巧,因此“定值”條件決定著基本不等式應(yīng)用的可行性,這是解題的關(guān)鍵。 常用構(gòu)造定值條件的技巧變換. 加項(xiàng)變換;. 拆項(xiàng)變換;. 統(tǒng)一換元;. 平移后利用基本不等式。 利用基本不等式求最值的實(shí)質(zhì)是:有界并能達(dá)到。2. 其他形式:(1)若ar,br,則a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立;(2)若a0,b0,則ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立; (3)若a0,b0,則,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立。3. 恒等變形:為了利用基本不等式,有時(shí)對(duì)給定的代數(shù)式要進(jìn)行適當(dāng)變形,比如:(1)當(dāng)x2時(shí),x(x2)2224。(2)當(dāng)0x時(shí),x(83x) (3x)(83x)?!倦S堂練習(xí)】 已知正數(shù)a、b滿足abab3,求ab的取值范圍是_。思路分析:思路一:將b代入消元; 思路二:利用基本不等式得關(guān)于ab的不等式。答案:法一由abab3,得b,由b0,得0,a0,a1,aba(a1)5259,當(dāng)且僅當(dāng)a1,即a3時(shí),取等號(hào),此時(shí)b3,ab的取值范圍是9,)。法二:由于a、b為正數(shù),ab2,abab323,即()2230,3,故ab9,當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí),取等號(hào),ab的取值范圍是9,)。技巧點(diǎn)撥:1. 本題中,要求ab的取值范圍,在使用已知條件等式的方法上靈活多樣,但最終都?xì)w結(jié)為基本不等式的應(yīng)用。2. 利用基本不等式,求字母參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵是怎樣由等式通過放縮得出不等式。例題1 (基本不等式的變形應(yīng)用)求y的最大值。思路分析:由2(定值),利用基本不等式的變形:,可求。答案:由,知定義域?yàn)閤1,1,又1x1x2(定值),y2,當(dāng)且僅當(dāng)1x1x即x0時(shí),等號(hào)成立。ymax2。技巧點(diǎn)撥:1. 本例中,由于2(定值),因而不宜使用基本不等式,應(yīng)該使用不等式的變式。2. 對(duì)于基本不等式及其變式,在利用這些不等式求最值時(shí),要保證一側(cè)為定值,并保證等號(hào)成立,要根據(jù)已知條件和所求,靈活地選取公式。例題2 (利用基本不等式求函數(shù)的最值)(1)已知x2,求yx的最小值;(2)已知0x,求yx(12x)的最大值。思路分析:(1)將原式變形為yx22,再利用基本不等式;(2)將原式變形為y2x(12x),再利用基本不等式。答案:(1)x2,x20,yxx22224, 當(dāng)且僅當(dāng)x2 (x2),即x3時(shí),ymin4。(2)0x,12x0,yx(12x)2x(12x), 當(dāng)且僅當(dāng)2x12x(0x),即x時(shí),ymax。技巧點(diǎn)撥:本例中,對(duì)要求最值的函數(shù)式,通過適當(dāng)?shù)刈冃?,使式子變?yōu)楹蜑槎ㄖ祷蚍e為定值的式子,然后運(yùn)用基本不等式求最值?!疽族e(cuò)警示】多次使用基本不等式時(shí),等號(hào)不同時(shí)成立致誤忽視最值取得的條件致誤例題 已知a、b均為正實(shí)數(shù),且ab1,求y的最小值。易錯(cuò)分析:在求最值時(shí)兩次使用基本不等式,其中的等號(hào)不能同時(shí)成立,導(dǎo)致最小值不能取到。思路分析:(1)求函數(shù)最值問題,可以考慮利用基本不等式,但是利用基本不等式,必須保證“正、定、等”,而且還要符合已知條件。(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性,但要注意變量的取值范圍。答案:方法一:y當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),y取最小值,最小值為方法二:yab2,令tab,即t,又f(t)t在上是單調(diào)遞減的,當(dāng)t時(shí),f(t)min,此時(shí),ab,當(dāng)ab時(shí),y有最小值技巧點(diǎn)撥:(1)這類題目感到比較容易下

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