人教B版選修21 3.2.2 平面的法向量與平面的向量表示 作業(yè).doc

課時(shí)分層作業(yè)(二十三)平面的法向量與平面的向量表示(建議用時(shí)：45分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1設(shè)平面的法向量為(1，2,2)，平面的法向量為(2，4)，若，則等于()a2 b4c2 d4d，(1，2,2)m(2，4)，4.2若平面，的法向量分別為a(1,2,4)，b(x，1，2)，并且，則x的值為()a10 b10 c. db因?yàn)?，所以它們的法向量也互相垂直，所以ab(1,2,4)(x，1，2)0，即x280，解得x10.3已知(2,2,1)，(4,5,3)，則平面abc的一個(gè)單位法向量可表示為()aa(1,2，2)bacadac設(shè)平面的法向量為a(x，y，z)，則有，令z1，得y1，x，a故平面abc的一個(gè)單位法向量為a.4已知(3,1,2)，平面的一個(gè)法向量為n(2，2,4)，點(diǎn)a不在平面內(nèi)，則直線ab與平面的位置關(guān)系為 () 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242291】aabbabcab與相交但不垂直dabd因?yàn)閚2(3)(2)1420，所以n.又點(diǎn)a不在平面內(nèi)，n為平面的一個(gè)法向量，所以ab，故選d.5如圖3215所示，在三棱錐pabc中，pabc，pbac，點(diǎn)g是p在平面abc內(nèi)的射影，則g是abc的()圖3215a內(nèi)心b外心c垂心d重心c連接ag，bg(圖略)，則ag，bg分別為ap，bp在平面abc內(nèi)的射影因?yàn)閜abc，所以由三垂線定理的逆定理知agbc，同理，bgac，所以g是abc的垂心故選c.6已知l，且l的方向量為(2，8,1)，平面的法向量為(1，y,2)，則y_.l，(2，8,1)(1，y,2)0，而218y20，y.7若a，b，c是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量a(x，y，z)，則xyz_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242292】23(4)由題意，知，.由于a為平面的法向量，所以a0，a0，即，所以，所以xyzyy23(4)8已知點(diǎn)p是平行四邊形abcd所在的平面外一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對(duì)于結(jié)論：apab；apad；是平面abcd的法向量；.其中正確的是_(填序號(hào))(1,2，1)(2，1，4)122(1)(1)(4)0，apab，即正確(1,2，1)(4,2,0)1422(1)00.apad，即正確又abada，ap平面abcd，即是平面abcd的一個(gè)法向量，正確不正確9.如圖3216所示，已知四棱錐pabcd的底面是直角梯形，abcbcd90，abbcpbpc2cd，側(cè)面pbc底面abcd.求證：pabd.圖3216證明如圖，取bc的中點(diǎn)o，連接ao交bd于點(diǎn)e，連接po.因?yàn)閜bpc，所以pobc.又平面pbc平面abcd，平面pbc平面abcdbc，所以po平面abcd，所以ap在平面abcd內(nèi)的射影為ao.在直角梯形abcd中，由于abbc2cd，易知rtabortbcd，所以beooabdbadbcdba90，即aobd.由三垂線定理，得pabd.10已知正方體abcda1b1c1d1中，e為棱cc1上的動(dòng)點(diǎn)(1)求證：a1ebd；(2)若平面a1bd平面ebd，試確定e點(diǎn)的位置【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242293】解以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，以da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則d(0,0,0)，a(a,0,0)，b(a，a,0)，c(0，a,0)，a1(a,0，a)，c1(0，a，a)設(shè)e(0，a，e)(0ea)(1)(a，a，ea)，(a，a,0)，a2a2(ea)00，即a1ebd.(2)設(shè)平面a1bd，平面ebd的法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(a，a,0)，(a,0，a)，(0，a，e)即取x1x21，得n1(1，1，1)，n2.由平面a1bd平面ebd得n1n2.n1n220，即e.當(dāng)e為cc1的中點(diǎn)時(shí)，平面a1bd平面ebd.能力提升練1已知a(1,0,0)、b(0,1,0)、c(0,0,1)，則平面abc的一個(gè)單位法向量是 ()a.bc.dd(1,1,0)，(1,0,1)設(shè)平面abc的一個(gè)法向量為n(x，y，z)令x1，則y1，z1，n(1,1,1)，單位法向量為.2已知平面內(nèi)有一點(diǎn)m(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量為n(6，3,6)，則下列點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242294】ap(2,3,3)bp(2,0,1)cp(4,4,0)dp(3，4,4)a設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)p(x，y，z)，則(x1，y1，z2)n(6，3,6)是平面的法向量，n，n6(x1)3(y1)6(z2)6x3y6z21，由n0得6x3y6z210，2xy2z7.把各選項(xiàng)的坐標(biāo)代入上式可知a選項(xiàng)適合3如圖3217所示，已知po平面abc，且o為abc的垂心，則ab與pc的關(guān)系是_圖3217垂直o為abc的垂心，coab.又oc為pc在平面abc內(nèi)的射影，由三垂線定理知abpc.4設(shè)u，v分別是平面，的法向量，u(2,2,5)，當(dāng)v(3，2,2)時(shí)，與的位置關(guān)系為_(kāi)；當(dāng)v(4，4，10)時(shí)，與的位置關(guān)系為_(kāi)u，v分別為平面，的法向量且u(2,2,5)，當(dāng)v(3，2,2)時(shí)，uv64100，uv，即，當(dāng)v(4，4，10)時(shí)，v2，uv，即.5如圖3218所示，在三棱錐pabc中，abac，點(diǎn)d為bc的中點(diǎn)，po平面abc，垂足o落在線段ad上已知bc8，po4，ao3，od2.圖3218(1)證明：apbc；(2)若點(diǎn)m是線段ap上一點(diǎn)，且am3，試證明平面amc平面bmc. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：33242295】證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則o(0,0,0)，a(0，3,0)，b(4,2,0)，c(4,2,0)，p(0,0,4)，(1)(0,3,4)，(8,0,0)，所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即apbc.(2)由(