人教B版選修12 反證法 課件（18張）.ppt

2 2 2反證法 1 了解反證法是間接證明中最基本和最常用的一種方法 2 熟練掌握用反證法證題的三個(gè)步驟 1 反設(shè) 2 歸謬 3 結(jié)論 3 認(rèn)識(shí)反證法在數(shù)學(xué)證明中的重要作用 學(xué)會(huì)用反證法證題 并能根據(jù)題目的類(lèi)型合理選擇證明問(wèn)題的方法 學(xué)會(huì)尋找問(wèn)題中的矛盾 進(jìn)行正確推理 反證法一般地 由證明p q轉(zhuǎn)向證明 q r t t與假設(shè)矛盾 或與某個(gè)真命題矛盾 從而判定 q為假 推出q為真的方法 叫做反證法 知識(shí)拓展 1 反證法的實(shí)質(zhì) 證明命題的否定為假 所以命題為真 2 應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的一般步驟 分清命題的條件和結(jié)論 作出與命題結(jié)論相矛盾的假定 由假定出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾的結(jié)果 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因 在于開(kāi)始所作的假定不真 于是原結(jié)論成立 從而間接地證明命題為真 3 反證法的適用情形 否定性命題 唯一性問(wèn)題 至多至少問(wèn)題 4 用反證法證明命題得出矛盾的方法 與假定矛盾 與數(shù)學(xué)公理 定理 公式 定義或已被證明了的結(jié)論矛盾 與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾 5 反證法常用的否定形式 做一做1 命題 a b是實(shí)數(shù) 若 a 1 b 1 0 則a b 1 用反證法證明時(shí) 應(yīng)假設(shè) 解析 a b 1 是 a 1 且b 1 又因?yàn)?p且q 的否定為 非p或非q 所以 a b 1 的否定為 a 1或b 1 答案 a 1或b 1 做一做2 用反證法證明命題 若x2 a b x ab 0 則x a 且x b 時(shí) 應(yīng)假設(shè) 答案 x a或x b 如何理解反證法 剖析 反證法證題的特征 通過(guò)導(dǎo)出矛盾 歸結(jié)謬誤 而使命題得證 反證法的原理是 否定之否定等于肯定 反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾 從而說(shuō)明原結(jié)論正確 即證明命題的逆否命題成立 否定結(jié)論 對(duì)結(jié)論的反面要一一否定 不能遺漏 否定一個(gè)反面之反證法稱(chēng)為歸謬法 否定兩個(gè)或兩個(gè)以上反面之反證法稱(chēng)為窮舉法 要注意用反證法解題時(shí) 結(jié)論的否定在推理論證中可以作為已知使用 導(dǎo)出矛盾是指在假設(shè)的前提下 邏輯推理結(jié)果與 已知條件 假設(shè) 公理 定理或顯然成立的事實(shí) 等相矛盾 用反證法證明不等式 常用的否定形式有 的反面為 的反面為 的反面為 的反面為 的反面為 反證法屬邏輯方法范疇 它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中 第一個(gè)否定是指 否定結(jié)論 第二個(gè)否定是指 邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè) 反證法屬 間接解題方法 書(shū)寫(xiě)格式易錯(cuò)之處是 假設(shè) 易錯(cuò)寫(xiě)成 設(shè) 反證法不是直接證明結(jié)論 而是先否定結(jié)論 在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上運(yùn)用演繹推理 導(dǎo)出矛盾 從而肯定結(jié)論的正確性 題型一 題型二 題型三 題型四 否定性命題的證明 例題1 設(shè)數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列 sn是它的前n項(xiàng)和 求證 數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 分析 本題是否定性命題 可以嘗試用反證法證明 證明 證法一 反證法 假設(shè)數(shù)列 sn 是等比數(shù)列 則 s1s3 即 1 q 2 a1 a1 1 q q2 因?yàn)閍1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 這與q 0矛盾 故數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 證法二 要證數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 只需證明snsn 2 因?yàn)閟n 1 a1 qsn sn 2 a1 qsn 1 所以 a1 qsn 1 a1 qsn sn 1 a1 sn sn 1 a1an 1 0 所以數(shù)列 sn 不是等比數(shù)列 題型一 題型二 題型三 題型四 反思本題的解答依據(jù)是等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì) 體現(xiàn)了特殊化思想和正難則反的思維策略 題型一 題型二 題型四 題型三 至多 至少問(wèn)題的證明 例題2 求證 當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí) 關(guān)于x的一元二次方程x2 5x m 0與2x2 x 6 m 0至少有一個(gè)方程有實(shí)根 分析 從正面證明難以入手 考慮應(yīng)用反證法證明 證明 假設(shè)上述兩個(gè)方程都無(wú)實(shí)根 則 因?yàn)闈M(mǎn)足 的實(shí)數(shù)m不存在 所以當(dāng)m r時(shí) 所給兩個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根 反思凡含有 至少 至多 等詞語(yǔ)的命題宜采用反證法證明 題型一 題型二 題型三 題型四 唯一性命題的證明 例題3 已知 直線(xiàn)a b為兩條相交直線(xiàn) 求證 a與b有且只有一個(gè)交點(diǎn) 分析 有且只有 唯一 等問(wèn)題?？紤]應(yīng)用反證法證明 證明 假設(shè)結(jié)論不成立 即有兩種可能 無(wú)交點(diǎn) 至少有兩個(gè)交點(diǎn) 若直線(xiàn)a b無(wú)交點(diǎn) 則a b或a b異面 這與已知 a b為兩條相交直線(xiàn) 矛盾 若直線(xiàn)a b至少有兩個(gè)交點(diǎn)a和b 這樣同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)a b就有兩條直線(xiàn) 這與 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn) 相矛盾 綜上所述 兩條相交直線(xiàn)a b有且只有一個(gè)交點(diǎn) 反思結(jié)論以 有且只有 只有一個(gè) 唯一存在 等形式出現(xiàn)的命題 由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾 所以用反證法證其唯一性簡(jiǎn)單明了 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn) 運(yùn)用反證法證明命題時(shí) 第一步否定結(jié)論易錯(cuò) 因?yàn)橛行┙Y(jié)論的對(duì)立面不易確定 從而出錯(cuò) 解決的方法是 1 利用集合思想檢驗(yàn) 2 對(duì)特殊的關(guān)鍵詞 要記住它的否定形式 例題4 用反證法證明命題 若ab不是偶數(shù) 則整數(shù)a b都不是偶數(shù) 時(shí) 應(yīng)假設(shè) 錯(cuò)解 整數(shù)a b不都是偶數(shù) 錯(cuò)因分析 整數(shù)a b不都是偶數(shù)包括的情況是 a是偶數(shù) b是奇數(shù) a是奇數(shù) b是偶數(shù) a b都是奇數(shù) 顯然 假設(shè)并不是結(jié)論的對(duì)立面 所以不正確 題目中 整數(shù)a b都不是偶數(shù) 即 整數(shù)a b都是奇數(shù) 故假設(shè)為 整數(shù)a b不都是奇數(shù) 正解 整數(shù)a b不都是奇數(shù) 12345 答案 d 12345 2用反證法證明 自然數(shù)a b c中恰有一個(gè)偶數(shù) 時(shí)的正確假設(shè)為 a a b c都是奇數(shù)b a b c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)c a b c都是偶數(shù)d a b c中至少有兩個(gè)偶數(shù)解析 a b c三個(gè)數(shù)的奇偶性有以下幾種情況 全是奇數(shù) 有兩個(gè)奇數(shù) 一個(gè)偶數(shù) 有一個(gè)奇數(shù) 兩個(gè)偶數(shù) 全是偶數(shù) 因?yàn)橐穸?所以假設(shè)應(yīng)為 a b c全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 答案 b 12345 3兩條異面直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)的射影不可能是 a 兩條平行直線(xiàn)b 兩條相交直線(xiàn)c 一點(diǎn)與一條直線(xiàn)d 同一條直線(xiàn)解析 假設(shè)兩條直線(xiàn)在同一個(gè)平面內(nèi)的射影是同一條直線(xiàn) 則這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系為平行或相交或重合 這均與兩條直線(xiàn)異面矛盾 故異面直線(xiàn)在同一個(gè)平面中的射影不可能為同一條直線(xiàn) 答案 d 12345 4用反證法證明命題 如果a b n ab可被5整除 那么a b中至少有一個(gè)能被5整除 時(shí) 假設(shè)的內(nèi)容是 解析 至少有一個(gè) 的反設(shè)詞是 一個(gè)都沒(méi)有 即 都不能 答案 a b都不能被5整除 12345 5求證 當(dāng)x2 bx c2 0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí) bc 0 分析 bc 0的否定形式為bc 0 包括 b 0 c 0 b 0 c 0 b 0 c 0三種情況 故需要分類(lèi)討論 證明 假設(shè)bc 0 1 若b 0 c 0 方程變?yōu)閤2 0 則x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的