三角形三心的奧秘講課教案.ppt

三角形三心的奧祕(mì) 內(nèi)心 外心 重心 3 17 2019 1 商人想設(shè)一座加油站 距離附近的學(xué)校 游樂園 醫(yī)院都一樣近 請(qǐng)問聰明的商人 應(yīng)該將加油站設(shè)在哪里呢 學(xué)校 游樂園 醫(yī)院 解答 設(shè)在外心處 加油站 3 17 2019 1 外心 1 外心的定義 A B C A B C A B C 綠 藍(lán) 紅 三邊中垂線交點(diǎn)即為 外心 o 三角形三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心 常用字母O表示 綠 3 17 2019 1 2 外心的位置 銳角三角形 在內(nèi)部 鈍角三角形 在外部 直角三角形 在斜邊中點(diǎn) 1 依三角形角度類型的區(qū)別而有不同的位置 3 17 2019 1 銳角 ABE的外心 圓O 在三角形的內(nèi)部 直角 ABD的外心 圓O 在三角形的斜邊中點(diǎn) 鈍角 ABC的外心 圓O 在三角形的外部 2 呈現(xiàn)在同一個(gè)圓中 3 17 2019 1 1 外心到三頂點(diǎn)等距離 2 若以外心為圓心 外心到三頂點(diǎn)的距離為半徑 可以畫出一個(gè)外接圓 3 稱此點(diǎn)為 外心 是因此點(diǎn)可畫出三角形的外接圓 4 任意三角形皆可找到其外心與外接圓 且為唯一 5 三角形ABC稱為圓O的圓內(nèi)接三角形 3 三角形的外心與外接圓 如圖 1 線段OA 線段OB 線段OC 2 圓O為 ABC的外接圓 3 O點(diǎn)為銳角 ABC的外心 ABC為圓O的圓內(nèi)接三角形 A B C O O O 3 17 2019 1 中垂線性質(zhì) 1 中垂線上任一點(diǎn)到此線段的兩端點(diǎn)等距離 2 若有一點(diǎn)到某線段兩端點(diǎn)的距離相等 則此點(diǎn)會(huì)在該線段的中垂線上 可用中垂線性質(zhì)證明 4 外心重要性質(zhì) 外心到三頂點(diǎn)等距離 P為中垂線上任一點(diǎn) 3 17 2019 1 5 三角形的外接圓與外心角度 A B C O A B C O D 1 若 A為銳角 BOC 2 A 2 若 A為鈍角 BOC 360 2 A O 3 17 2019 1 1 三角形三邊中垂線的交點(diǎn)稱為外心 O 2 外心到三頂點(diǎn)等距 以外心為圓心 可畫出該三角形的外接圓 3 直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)上 直角三角形的外接圓半徑R 1 2斜邊長 4 直角三角形中 若有一銳角是30 則它所對(duì)的邊是斜邊之半 6 外心?？贾攸c(diǎn) 3 17 2019 1 按我 用GGB找外心 7 動(dòng)手摺紙找外心 步驟1 摺出線段AB的中垂線 作法 將B點(diǎn)翻摺至A點(diǎn) 壓平后再展開 產(chǎn)生摺痕如圖示 3 17 2019 1 步驟2 摺出線段BC的中垂線 作法 將B點(diǎn)翻摺至C點(diǎn) 壓平后再展開 產(chǎn)生摺痕如圖示 3 17 2019 1 步驟3 摺出線段CA的中垂線 作法 將C點(diǎn)翻摺至A點(diǎn) 壓平后再展開 產(chǎn)生摺痕如圖示 三條中垂線的交點(diǎn)即外心O 3 17 2019 1 步驟4 比較OA OB OC三線段長度是否真的相同 3 17 2019 1 三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心 常用字母I表示 A B C A B C A B C 1 內(nèi)心的定義 內(nèi)心 三內(nèi)角平分線交點(diǎn)即為 內(nèi)心 I 3 17 2019 1 2 內(nèi)心的位置 任意三角形的內(nèi)心均在三角形的內(nèi)部 銳角三角形內(nèi)心 直角三角形內(nèi)心 鈍角三角形內(nèi)心 3 17 2019 1 1 內(nèi)心到三邊等距離 2 若以內(nèi)心為圓心 內(nèi)心到三邊的距離為半徑 可以畫出一個(gè)內(nèi)切圓 3 稱為 內(nèi)心 是因此點(diǎn)可畫出三角形的內(nèi)切圓 4 任意一個(gè)三角形 均可找到其內(nèi)心及內(nèi)切圓 且為唯一 3 三角形的內(nèi)心與內(nèi)切圓 3 17 2019 1 可用角平分線性質(zhì)證明 4 內(nèi)心重要性質(zhì) 內(nèi)心到三邊等距離 角平分線性質(zhì) 1 角平分在線的任一點(diǎn)到此角的兩邊等距離 2 若有一點(diǎn)到某角的兩邊等距離 則此點(diǎn)會(huì)在該角的角平分在線 3 17 2019 1 6 內(nèi)心常考重點(diǎn) 1 三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)稱為內(nèi)心 I 2 內(nèi)心到三角形的三邊等距 3 ABC面積 1 2 ABC周長 內(nèi)切圓半徑即A 1 2 r 設(shè) 為 ABC周長 r為內(nèi)切圓半徑 4 直角三角形的內(nèi)切圓半徑r 1 2 兩股和 斜邊 5 3 17 2019 1 按我 用GGB找內(nèi)心 7 動(dòng)手摺紙找內(nèi)心 步驟1 摺出角A的角平分線 將AC邊摺疊到與AB邊重合 步驟2 摺出角B的角平分線 將BC邊摺疊到與BA邊重合 最后攤開如圖示 3 17 2019 1 步驟3 摺出角C的角平分線 將CB邊摺疊到與CA邊重合 攤開 并將三條角平分線的交點(diǎn)命名為I點(diǎn) 3 17 2019 1 步驟4 從I點(diǎn)做出與三邊垂直的虛線 比較這三條虛線是否真的等長 3 17 2019 1 小灰鼠買了一塊奶酪 想分享給弟弟 小藍(lán)鼠 妹妹 小黃鼠 一起吃 牠該如何切割這塊奶酪 使得大家所分配到的大小都一樣呢 解答 沿著三中線切割成6塊 每人拿2塊 3 17 2019 1 重心 三角形三條中線的交點(diǎn)稱為重心 常用字母G表示 1 重心的定義 2 重心的位置 任何三角形的重心均在三角形的內(nèi)部 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 3 17 2019 1 1 無法由 重心 畫出圓 與外心可畫出外接圓 內(nèi)心可畫出內(nèi)切圓不同 2 稱為 重心 是因?yàn)樵擖c(diǎn)為此三角形的質(zhì)量中心 若用手指頂在重心位置 三角形會(huì)保持平衡 不會(huì)傾斜 3 重心到頂點(diǎn)的距離為重心到對(duì)邊中點(diǎn)的兩倍 3 重心重要特性 3 17 2019 1 按我 用GGB找重心 步驟1 摺出BC邊的中線 頂點(diǎn)A與BC邊中點(diǎn)的連線 4 動(dòng)手摺紙找重心 3 17 2019 1 步驟2 摺出AC邊的中線 頂點(diǎn)B與AC邊中點(diǎn)的連線 三中線交點(diǎn)即為重心G 步驟3 摺出AB邊的中線 頂點(diǎn)C與AB邊中點(diǎn)的連線 3 17 2019 1 A B C G D E F 三中線將原 分割成6塊等面積 GAF面積 GAE面積 GBF面積 GBD面積 GCD面積 GCE面積 重心與三頂點(diǎn)的連線 將原 分割成3塊等面積 GAB面積 GBC面積 GAC面積 A B C G 重心的三塊積 重心的六塊積 3 17 2019 1 5 重心?？贾攸c(diǎn) 1 三角形三中線的交點(diǎn)稱為重心 G 2 重心到一頂點(diǎn)的距離 等于重心到其對(duì)邊中點(diǎn)之距離的兩倍 3 重心與三頂點(diǎn)的連線 把原三角形的面積三等分 4 三中線會(huì)將原三角形的面積六等分 3 17 2019 1 直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn) 且 特殊