人教B版選修21 橢圓的幾何性質(zhì) 學(xué)案.doc

2.2.2橢圓的幾何性質(zhì)1掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的幾何意義(重點(diǎn))2會(huì)用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問(wèn)題(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)閱讀教材p43p44第5自然段，完成下列問(wèn)題.焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)_范圍_頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0) b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a) b1(b,0)，b2(b,0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)_，長(zhǎng)軸長(zhǎng)_焦點(diǎn)f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|_對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸為_(kāi)，對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)【答案】1(ab0)axa且bybbxb且aya2b2a2c坐標(biāo)軸原點(diǎn)1橢圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()a81 b9c18 d45【解析】由標(biāo)準(zhǔn)方程知a9，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a18.【答案】c2橢圓x2my21的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為()a. b2 c d4【解析】方程化為x21，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2，由題意，22，m.【答案】c教材整理2離心率閱讀教材p44“離心率”p44“例1”，完成下列問(wèn)題1定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比_叫做橢圓的_【答案】e離心率2性質(zhì)：離心率e的范圍是_當(dāng)e越趨近于1時(shí)，橢圓_；當(dāng)e越趨近于_時(shí)，橢圓就越趨近于圓【答案】(0,1)越扁01橢圓1的離心率為_(kāi)【解析】a216，b28，e.【答案】2已知橢圓的兩焦點(diǎn)為f1、f2，a為橢圓上一點(diǎn)，且0，af2f160，則該橢圓的離心率為_(kāi)【解析】0，af1af2，且af2f160.設(shè)|f1f2|2c，|af1|c，|af2|c.由橢圓定義知：cc2a，即(1)c2a.e1.【答案】1質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型根據(jù)橢圓的方程研究其幾何性質(zhì)若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為() a.1b1c.1 d1【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)解題【自主解答】由題意，得解得因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【答案】b1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類(lèi)型2焦點(diǎn)位置不確定的要分類(lèi)討論，找準(zhǔn)a與b，正確利用a2b2c2求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)要注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a，b，c，而應(yīng)是a，b，c的兩倍再練一題1已知橢圓方程為9x216y2144，求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)【解】已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1.a4，b3，c.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)分別為8和6，離心率e.焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1(，0)，f2(，0)；四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為a1(4,0)，a2(4,0)，b1(0，3)，b2(0,3).由幾何性質(zhì)求橢圓的方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓過(guò)點(diǎn)(3,0)，離心率e；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且焦距為8.【精彩點(diǎn)撥】(1)橢圓的焦點(diǎn)位置確定嗎？(2)基本量a、b、c分別為多少？怎樣求出？【自主解答】(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則a3，e，c，b2a2c2963.橢圓的方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b3，e，解得a227.橢圓的方程為1.所求橢圓的方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為1(ab0)如圖所示，a1fa2為等腰直角三角形，of為斜邊a1a2的中線(xiàn)(高)，且|of|c，|a1a2|2b，cb4，a2b2c232，故所求橢圓的方程為1.1用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用的方法是待定系數(shù)法2根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”，即先明確焦點(diǎn)的位置或分類(lèi)討論一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程3在求解a2、b2時(shí)常用方程(組)思想，通常由已知條件與關(guān)系式a2b2c2，e等構(gòu)造方程(組)加以求解再練一題2橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，一焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)【解析】2a10，c4，a225，b2a2c29.焦點(diǎn)在x軸上，故標(biāo)準(zhǔn)方程為1.【答案】1探究共研型橢圓的離心率探究已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為f1(c，0)，a(a,0)，b(0，b)是兩個(gè)頂點(diǎn)，如果f1到直線(xiàn)ab的距離為，求橢圓的離心率e.【提示】由a(a,0)，b(0，b)，得直線(xiàn)ab的斜率為kab，故ab所在的直線(xiàn)方程為ybx，即bxayab0.又f1(c,0)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理得8c214ac5a20，即821450.8e214e50.e或e(舍去)綜上可知，橢圓的離心率e.若橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，求該橢圓的離心率【精彩點(diǎn)撥】能否由已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程【自主解答】由題意得：2bac，4b2(ac)2，又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，32520，即52230，e.求e的值或范圍問(wèn)題就是尋求它們的方程或不等式，具體如下：(1)若已知a，c可直接代入e求得；(2)若已知a，b，則使用e求解；(3)若已知b，c，則求a，再利用(1)或(2)求解；(4)若已知a，b，c的關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程(不等式)求值(范圍)再練一題3若過(guò)橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)f1作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)p，f2為右焦點(diǎn)，若f1pf260，則橢圓的離心率為_(kāi)【解析】由題意，pf1f2為直角三角形，且f1pf260，所以|pf2|2|pf1|.設(shè)|pf1|x，則|pf2|2x，|f1f2|x，又|f1f2|2c，所以x.即|pf1|，|pf2|.由橢圓的定義知，|pf1|pf2|2a，所以2a，即e.【答案】構(gòu)建體系1已知橢圓1(ab0)與橢圓1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓1(ab0)的短軸長(zhǎng)與1的短軸長(zhǎng)相等，則()aa215，b216ba29，b225ca225，b29或a29，b225da225，b29【解析】由題意得，橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，且2a10，a5,2b6，b3，故a225，b29.【答案】d2已知中心在原點(diǎn)的橢圓c的右焦點(diǎn)為f(1,0)，離心率等于，則c的方程是()a.1b1c.1 d1【解析】右焦點(diǎn)為f(1,0)說(shuō)明兩層含義：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，c1.又離心率為，故a2，b2a2c2413，故橢圓的方程為1.【答案】d3已知橢圓e的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)f到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓e的離心率等于_【解析】根據(jù)題意得2b6，ac9或ac9(舍去)所以a5，c4，故e.【答案】4與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4的橢圓方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：15460031】【解析】橢圓9x24y236可化為1，因此可設(shè)待求橢圓為1.又b2，故m20，得1.【答案】15求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過(guò)點(diǎn)(3,0)，離心率e；(2)焦距為8，在y軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直【解】(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，因?yàn)閍3，e，所以c，從而b2a2c23，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，因?yàn)閎3，e，所以，所以a227.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知，得c4，b4，則a2b2c232，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為8，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()a.1b1c.1 d1【解析】由題意知2b8，得b4，所以b2a2c216，又e，解得c3，a5，又焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故選c.【答案】c2橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成等邊三角形，則它的離心率為()a. bc. d【解析】由題意知a2c，e.【答案】a3曲線(xiàn)1與1(0kb0)的不垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，m為ab的中點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則kabkom_.【解析】設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則中點(diǎn)坐標(biāo)m，得kab，kom，kabkom，b2xa2ya2b2，b2xa2ya2b2，得b2(xx)a2(yy)0，即.【答案】8已知p(m，n)是橢圓x21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則m2n2的取值范圍是_【解析】因?yàn)閜(m，n)是橢圓x21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以m21，即n222m2，所以m2n22m2，又1m1，所以12m22，所以1m2n22.【答案】1,2三、解答題9(1)求與橢圓1有相同的焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8，兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(6,0)，(6,0)，求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】(1)c，所求橢圓的焦點(diǎn)為(，0)，(，0)設(shè)所求橢圓的方程為1(ab0)e，c，a5，b2a2c220，所求橢圓的方程為1.(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，2c8，c4，又a6，b2a2c220.橢圓的方程為1.10設(shè)橢圓1(ab0)與x軸交于點(diǎn)a，以oa為邊作等腰三角形oap，其頂點(diǎn)p在橢圓上，且opa120，求橢圓的離心率【解】不妨設(shè)a(a,0)，點(diǎn)p在第一象限內(nèi)，由題意知，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)是，設(shè)p，由點(diǎn)p在橢圓上，得1，y2b2，即p，又opa120，所以poa30，故tanpoa，所以a3b，所以e.能力提升1設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)p，若f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()a. b1c2 d【解析】設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，由題意得|pf2|2c，即2c，得離心率e1，故選b.【答案】b2“m3”是“橢圓1的離心率為”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【解析】橢圓1的離心率為，當(dāng)0m4時(shí)，得m，即“m3”是“橢圓1的離心率為”的充分不必要條件【答案】a3已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a，點(diǎn)b在橢圓上，且bfx軸，直線(xiàn)ab交y軸于點(diǎn)p.若2，則橢圓的離心率是_【解析】由2，得|ao|2|fo|(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，即a2c，則離心率e.【答案】4已知點(diǎn)a，b分別是橢圓1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)f是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上，且位于x軸上方，papf.(1)求點(diǎn)p的坐標(biāo)；(2)設(shè)m是橢圓長(zhǎng)軸ab上的一點(diǎn)，且m到直線(xiàn)ap的距離等于|mb|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)m的距離d的最小值【解】(1)由已知可得a(6,0)，b