蘇教版選修22 2.2.2 間接證明 學(xué)案.doc

22.2間 接 證 明1問題：在今天商品大戰(zhàn)中，廣告成了電視節(jié)目中的一道美麗的風(fēng)景線，幾乎所有的廣告商都熟諳這樣的命題變換藝術(shù)如宣傳某種食品，其廣告詞為：“擁有的人們都幸福，幸福的人們都擁有”該廣告詞實際說明了什么？提示：說的是：“不擁有的人們不幸?！?已知正整數(shù)a，b，c滿足a2b2c2.求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)問題1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？提示：不能問題2：a、b、c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？還滿足條件a2b2c2嗎？提示：都是奇數(shù)若a、b、c都是奇數(shù)，則不能滿足條件a2b2c2.1間接證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種不是直接證明的方法通常稱為間接證明反證法就是一種常用的間接證明方法，間接證明還有同一法、枚舉法等2反證法(1)反證法證明過程反證法證明時，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用下面的框圖表示：(2)反證法證明命題“若p則q”的步驟反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立1反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法2可能出現(xiàn)矛盾的四種情況：(1)與題設(shè)矛盾；(2)與反設(shè)矛盾；(3)與公理、定理或已被證明了的結(jié)論矛盾；(4)在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論用反證法證明否定性命題例1已知平面上四點，沒有三點共線，求證：以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形思路點撥本題證明的命題是否定性命題，解答時先假設(shè)四個三角形都是銳角三角形，再分情況去推出矛盾精解詳析假設(shè)以每三點為頂點的四個三角形都是銳角三角形，記這四個點為a、b、c、d，考慮abc，點d的位置分為在abc之內(nèi)或之外兩種情況(1)如果點d在abc之內(nèi)(如圖(1)，根據(jù)假設(shè)圍繞點d的三個角都是銳角，其和小于270，這與一個周角等于360矛盾(2)如果點d在abc之外(如圖(2)，根據(jù)假設(shè)a，b，c，d都小于90，這和四邊形內(nèi)角之和等于360矛盾綜上所述原結(jié)論成立一點通(1)結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題正面比較模糊，而反面比較具體，適于應(yīng)用反證法(2)反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一個否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”反證法屬“間接解題方法”1實數(shù)a、b、c不全為0等價于 (填序號)a，b，c全不為0；a，b，c中最多只有一個為0；a，b，c中只有一個不為0；a，b，c中至少有一個不為0.解析：“不全為0”等價于“至少有一個不為0”答案：2.如圖，正方體abcda1b1c1d1中，點m是a1d1的中點，點n是cd的中點，用反證法證明直線bm與直線a1n是兩條異面直線解：假設(shè)直線bm與a1n共面則a1d1平面a1bnd1，且平面a1bnd1平面abcdbn，由正方體特征知a1d1平面abcd，故a1d1bn，又a1d1bc，所以bnbc.這與bnbcb矛盾，故假設(shè)不成立所以直線bm與直線a1n是兩條異面直線3已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：， 不成等差數(shù)列證明：假設(shè)，成等差數(shù)列，則2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，所以()20.即，從而abc，與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾，故， ， 不成等差數(shù)列用反證法證明惟一性命題例2求證：兩條相交直線有且只有一個交點思路點撥“有且只有一個”的否定分兩種情況：“至少有兩個”、“一個也沒有”精解詳析假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種可能：無交點或不只有一個交點若直線a，b無交點，則ab或a，b是異面直線，與已知矛盾若直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點a和b，這樣同時經(jīng)過點a，b就有兩條直線，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾綜上所述，兩條相交直線有且只有一個交點一點通證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和惟一性當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個”“惟一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其惟一性就較為簡單明了4證明方程2x3有且僅有一個根證明：2x3，xlog23，這說明方程有一個根下面用反證法證明方程2x3的根是惟一的，假設(shè)方程2x3有兩個根b1、b2(b1b2)，則2b13,2b23.兩式相除得：2b1b21.如果b1b20，則2b1b21，這與2b1b21相矛盾如果b1b20，則2b1b21.求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)思路點撥本題要證a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)，具體有一個負數(shù)？兩個負數(shù)？三個負數(shù)？還是四個負數(shù)？都有可能，誰是負數(shù)也都有可能所以正面證明很復(fù)雜，可考慮用反證法精解詳析假設(shè)a、b、c、d都不是負數(shù)，即a0，b0，c0，d0.abcd1，b1a0，d1c0.acbdac(1a)(1c)2ac(ac)1(aca)(acc)1a(c1)c(a1)1.a(c1)0，c(a1)0.a(c1)c(a1)11，即acbd1.與acbd1相矛盾假設(shè)不成立a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)一點通(1)對于否定性命題或結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“不可能”等字樣時，常用反證法(2)常用的“原結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個反設(shè)詞一個也沒有(不存在)至少有兩個至多有n1個至少有n1個6已知a，b，c(0,1)，求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.證明：假設(shè)(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于.a，b，c(0,1)，1a0,1b0,1c0，.同理，.三式相加，得，即，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于.7用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，那么方程f(x)0在區(qū)間a，b上至多只有一個實數(shù)根證明：假設(shè)方程f(x)0在區(qū)間a，b上至少有兩個根，設(shè)，為其中的兩個實根因為，不妨設(shè)，又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，所以f()180，這與三角形內(nèi)角和為180矛盾，故假設(shè)錯誤所以一個三角形不能有兩個直角假設(shè)abc中有兩個直角，不妨設(shè)a90，b90.上述步驟的正確順序為 解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為.答案：5用反證法證明命題“若x2(ab)xab0，則xa且xb”時，應(yīng)假設(shè)為 解析：對“且”的否定應(yīng)為“或”，所以“xa且xb”的否定應(yīng)為“xa或xb”答案：xa或xb二、解答題6(陜西高考)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解：(1)設(shè)an的前n項和為sn，當(dāng)q1時，sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，sna1a1qa1q2a1qn1，qsna1qa1q2a1qn，得，(1q)sna1a1qn，sn，sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kn ，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列7設(shè)f(x)x2axb，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.證明：假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|，則有于是有由、得4a2，由、得6a4.、顯然相互矛盾，所以假設(shè)不成立，所以原命題正確8已知p直線a.求證：過點